上海市静安区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 上海市静安区八年级下学期期中数学试卷，涵盖四边形、坐标系、几何变换等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，渗透抽象能力、推理意识与空间观念，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题18分|多边形内角和、坐标系点坐标、平行四边形判定|第5题结合尺规作图与平行四边形性质，考查几何直观| |填空题|12题36分|中点四边形、矩形菱形性质、重心性质|第18题正方形动态问题，培养分类讨论思维| |解答题|7题66分|多边形内角和计算、三角形形状判断、几何证明、折叠问题|24题以传统折纸为情境，融合几何变换与勾股定理；25题四边形综合题分情况讨论直角三角形，发展逻辑推理与模型观念|

上海市静安区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（3分）从某多边形的一个顶点引出的所有对角线把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形的形状是（　　） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 2．（3分）在平面直角坐标系中，点A在第二象限，距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点A的坐标为（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2） 3．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 4．（3分）下列命题，是真命题的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE＝∠DCE，AD＝5，则DE长是（　　） A．3 B．4 C． D． 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AB边上靠近点B的三等分点，点F是BC边上靠近点C的三等分点，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为（　　） A． B． C． D．2 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．（3分）七边形的内角和为　 　 °． 8．（3分）已知点A（1，0），B（﹣3，﹣1），则线段AB的长为　 　 ． 9．（3分）点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m+n＝　 　 ． 10．（3分）如果一个四边形的两条对角线的长都是4cm，那么顺次联结这个四边形的各边中点所得的四边形的周长等于 　 　 cm． 11．（3分）矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为6cm，则较长的边长为　 　 cm． 12．（3分）如图，矩形ABCD对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝110°，则∠OAB＝　 　 °． 13．（3分）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC＝2，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为　 　 ． 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为 　 　 ． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是△ABC的重心，如果AB＝10，那么点C与点O的距离为　 　 ． 16．（3分）如图，△ABC中，∠ACE＝∠ECB，AE⊥EC，F是边AB的中点，AE＝3，EC＝4，BC＝7，那么FE的长是 　 　 ． 17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，B（﹣1，0），C（0，，如果AC∥x轴，那么点D的坐标为　 　 ． 18．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且MN＝8，则BM的值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共7题，第19～21题，每题8分，第22～24题，每题10分，第25题12分，共66分） 19．（8分）一个多边形的内角和是外角和的5倍，求这个多边形的边数． 20．（8分）在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（﹣4，4），C（4，0），通过计算判断△ABC的形状． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣2，0），（4，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接AC、BD、CD． （1）写出点C，D的坐标，并求出四边形ABDC的面积． （2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 23．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． 24．（10分）折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张长方形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2）． 问题1：重叠部分的△ABC的形状　 　 （是、不是）等腰三角形． 问题2：若AB＝4cm，BC＝5cm，则重叠部分△ABC的面积为　 　 cm2． （2）折纸2：如图3，长方形纸片ABCD，AB＝5，BC＝6，若点M为射线BC上一点，将△ABM沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为B′，当点B′恰好落在BC的垂直平分线上时，求BM的长． 25．（12分）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，BE平分∠ABC，交边AD于点E． （1）如图1，如果点E与点D重合，AD＝AB，求证：四边形ABCD是正方形； （2）如果AB＝5，AD＝4， ①如图2，时，求∠EBC的度数； ②当△BEC是直角三角形时，求DE的长． 上海市静安区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C B D B A 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（3分）从某多边形的一个顶点引出的所有对角线把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形的形状是（　　） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】根据从n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个n边形分成了（n﹣2）个三角形进行计算． 【解答】解：从某多边形的一个顶点引出的所有对角线把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形的边数为：6+2＝8． 故选：C． 【点评】从n边形的一个顶点引出的所有对角线有（n﹣3）条，把这个n边形分成了（n﹣2）个三角形． 2．（3分）在平面直角坐标系中，点A在第二象限，距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点A的坐标为（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2） 【答案】C 【分析】平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第二象限点的符号特征求解即可． 【解答】解：设A（x，y）， ∵点A距离x轴2个单位长度， ∴|y|＝2， ∴y＝±2， ∵点A距离y轴3个单位长度， ∴|x|＝3， ∴x＝±3， ∵点A在第二象限， ∴x＝﹣3，y＝2， ∴A（﹣3，2）． 故选：C． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键． 3．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 【答案】B 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 4．（3分）下列命题，是真命题的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C、D进行判断． 【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项为假命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项为假命题； D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项为真命题． 故选：D． 【点评】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE＝∠DCE，AD＝5，则DE长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知直线DF是线段MN的垂直平分线，然后根据平行四边形的性质和勾股定理求DE的长即可． 【解答】解：由作图可知：直线DF是线段MN的垂直平分线， ∴DE⊥AB，即∠DEA＝90°． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝8． ∴∠CDE＝∠DEA＝90°，即DE⊥CD． ∵∠BCE＝∠DCE，且AB∥CD， ∴∠DCE＝∠BEC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC＝5． ∵AB＝8， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3． 在Rt△ADE中，据勾股定理：DE2＝AD2﹣AE2， ∴DE＝． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质和基本作图，解题的关键是熟悉尺规作图． 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AB边上靠近点B的三等分点，点F是BC边上靠近点C的三等分点，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接CN并延长交AD于点G，连接EG，根据中点定义，矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，再证△GND≌△CNF，得到GN＝CN，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图，M，N分别是EC，FD的中点，连接CN并延长交AD于点G，连接EG， ∴DN＝FN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB＝BC，BC＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠GDN＝∠CFN， 在△GND和△CNF中， ， ∴△GND≌△CNF（ASA）， ∴GN＝CN，即N是CG的中点， ∴MN是△CEG的中位线， ∴． ∵点E是AB边上靠近点B的三等分点，点F是BC边上靠近点C的三等分点，AB＝6，BC＝9， ∴，，AG＝AD﹣DG＝6， 在Rt△AEG中，由勾股定理得：， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．（3分）七边形的内角和为　900　 °． 【答案】900． 【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°进行计算即可． 【解答】解：七边形的内角和为（7﹣2）×180°＝900°， 故答案为：900． 【点评】本题考查多边形的内角和，掌握n边形的内角和为（n﹣2）×180°是正确解答的关键． 8．（3分）已知点A（1，0），B（﹣3，﹣1），则线段AB的长为　　 ． 【答案】． 【分析】已知在平面直角坐标系中有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则这两点间的距离公式为，根据两点之间的距离公式求解即可得． 【解答】解：在平面直角坐标系中，若两点坐标为A（1，0），B（﹣3，﹣1）， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，坐标与图形性质，熟练掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式是解题关键． 9．（3分）点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m+n＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点确定m、n的值，然后代数式求值即可． 【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称， ∴m＝3，n＝﹣2， ∴m+n＝3+（﹣2）＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，掌握关于x轴对称的两个点关的横坐标相同、纵坐标符号相反成为解题的关键． 10．（3分）如果一个四边形的两条对角线的长都是4cm，那么顺次联结这个四边形的各边中点所得的四边形的周长等于 　8　 cm． 【答案】8． 【分析】根据三角形的中位线定理即可求得所得四边形的各边长度都是原四边形的对角线的一半，从而求解． 【解答】解：如图所示， ∵E、F、G、H分别是ABCD四边的中点， ∴EF＝AC＝2cm，FG＝BD＝2cm，GH＝AC＝2cm，EH＝BD＝2cm， ∴顺次连接这个四边形各边的中点所得四边形的周长等于2×4＝8（cm）． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了中点四边形的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理，难度不大． 11．（3分）矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为6cm，则较长的边长为　6　 cm． 【答案】6． 【分析】利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合夹角60°构造等边三角形，求出对角线长度后用勾股定理计算较长边． 【解答】解：矩形对角线互相平分且相等，设对角线交点为O， 则OA＝OB＝OO＝OD；已知对角线夹角∠AOB＝60°，且OA＝OB， 故△AOB为等边三角形， 因此OA＝OB＝AB＝6cm（AB为较短边）；对角线AC＝2OA＝12cm； 在Rt△ABC中，由勾股定理得较长边BC＝． 故答案为：6． 【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（3分）如图，矩形ABCD对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝110°，则∠OAB＝　55　 °． 【答案】55 【分析】由四边形ABCD是矩形，推出OA＝OB，推出∠OAB＝∠OBA，由∠AOD＝110°，∠AOD＝∠OAB+∠OAB，推出∠OAB＝∠OBA＝55°． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠AOD＝110°，∠AOD＝∠OAB+∠OAB， ∴∠OAB＝∠OBA＝55° 故答案为55． 【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13．（3分）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC＝2，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为　　 ． 【答案】． 【分析】由AE⊥BC于点E，得∠AEB＝∠AEC＝90°，则AB2﹣BE2＝AE2＝AC2﹣CE2，由菱形的性质得BC＝AB＝，则BE＝﹣CE，而AC＝2，则（）2﹣（﹣CE）2＝22﹣CE2，求得CE＝，则AE＝＝．另外，也可以连接BD交AC于点O，求出OB的长，再根据面积等式求出AE的长． 【解答】解：∵AE⊥BC于点E， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴AB2﹣BE2＝AE2＝AC2﹣CE2， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝，AC＝2， ∴BC＝AB＝， ∴BE＝﹣CE， ∴（）2﹣（﹣CE）2＝22﹣CE2， 解得CE＝， ∴AE＝＝＝， 故答案为：． 【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理等知识，根据AB2﹣BE2＝AE2＝AC2﹣CE2正确地列出方程是解题的关键． 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为 　　 ． 【答案】． 【分析】先在Rt△BCD中，由勾股定理求出BD＝，进而得OB＝OD＝BD＝，则BP＝，然后根据CP＝BC﹣BP即可得出答案． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O， ∴BC＝DC＝2，∠BCD＝90°，OB＝OD＝BD， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝＝， ∴OB＝OD＝BD＝， ∵BP＝OB， ∴BP＝， ∴CP＝BC﹣BP＝， ∴CP的长为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是△ABC的重心，如果AB＝10，那么点C与点O的距离为　　 ． 【答案】． 【分析】连接CO，延长CO交AB于D，由三角形重心的性质得到D是AB的中点，OC＝CD，由直角三角形斜边中线的性质求出CD＝AB＝5，即可得到OC的长． 【解答】解：连接CO，延长CO交AB于D， ∵点O是△ABC的重心， ∴D是AB的中点，OC＝CD， ∵ACB＝90°，AB＝10， ∴CD＝AB＝5， ∴OC＝CD＝ ∴点C与点O的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质． 16．（3分）如图，△ABC中，∠ACE＝∠ECB，AE⊥EC，F是边AB的中点，AE＝3，EC＝4，BC＝7，那么FE的长是 　1　 ． 【答案】1． 【分析】延长AE，交BC于H，根据勾股定理求出AC，证明△AEC≌△HEC，根据全等三角形的性质得到AE＝EH，HC＝AC＝5，进而求出BH，再根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：如图，延长AE，交BC于H， ∵AE⊥EC， ∴∠AEC＝HEC＝90°， ∵AE＝3，EC＝4， ∴AC＝＝＝5， 在△AEC和△HEC中， ， ∴△AEC≌△HEC（ASA）， ∴AE＝EH，HC＝AC＝5， ∴BH＝BC﹣HC＝7﹣5＝2， ∵AF＝FB，AE＝EH， ∴FE是△ABH的中位线， ∴FE＝BH＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，B（﹣1，0），C（0，，如果AC∥x轴，那么点D的坐标为　（﹣3，2）　 ． 【答案】（﹣3，2）． 【分析】利用矩形性质与平行条件：矩形对角线互相平分，且AC∥x轴，因此A、E、C纵坐标相同（均为C的纵坐标．由BE＝CE（矩形对角线平分），结合B（﹣1，0）、C（0，，列方程求出E的横坐标，得到E（一．E是BD的中点，根据中点坐标公式，由B（﹣1，0）和，计算出D的横、纵坐标． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE＝EC，BE＝ED，AC∥x轴，， ∴A、E纵坐标都是． ∵B（﹣1，0），E是BD中点， 设 由BE＝CE：， 解得 x＝﹣2， ∴． ∵E是BD中点，设D（m，n），由中点公式：，， ∴m＝﹣3，n＝2． 故答案为：（﹣3，2）． 【点评】本题考查矩形的性质，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且MN＝8，则BM的值为 　或　 ． 【答案】或． 【分析】依题意有以下两种情况：①当点M在线段BD上时，设MN交CD于点O，过点O作OH⊥BD于点H，先求出BD＝ ，由平行四边形性质得OD＝OC＝CD＝2，OM＝ON＝MN＝4，证明△OHD是等腰直角三角形，由勾股定理得DH＝OH＝OD＝，再由勾股定理求出MH＝得DM＝DH+MH＝，继而得BM＝；②当点M在BD的延长线上时，设MN交CD于点O，过点O作OH⊥BD于点H，同①得BD＝ ，DH＝OH＝，MH＝，由此得DM＝MH﹣DH＝，继而得BM＝，综上所述即可得出BM的值． 【解答】解：依题意有以下两种情况： ①当点M在线段BD上时，设MN交CD于点O，过点O作OH⊥BD于点H，如图1所示： ∴∠OHD＝∠OHM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4，BD为对角线， ∴AD＝CD＝AB＝4，∠A＝90°，∠BDC＝45°， ∴△ABD是直角三角形， 由勾股定理得：BD＝＝＝， ∵四边形MCND为平行四边形，MN＝8， ∴OD＝OC＝CD＝2，OM＝ON＝MN＝4， 在△OHD中，∠OHD＝90°，∠BDC＝45°， ∴△OHD是等腰直角三角形， ∴DH＝OH， 由勾股定理得：OD＝＝DH， ∴DH＝OH＝OD＝＝， 在△OHM中，∠OHM＝90°， 由勾股定理得：MH＝＝＝， ∴DM＝DH+MH＝， ∴BM＝BD﹣DM＝）＝； ②当点M在BD的延长线上时，设MN交CD于点O，过点O作OH⊥BD于点H，如图2所示： 同①得：BD＝，，DH＝OH＝，MH＝， ∴DM＝MH﹣DH＝， ∴BM＝BD+DM＝＝， 综上所述：BM的值为或． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握腰直角三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 三、解答题（本大题共7题，第19～21题，每题8分，第22～24题，每题10分，第25题12分，共66分） 19．（8分）一个多边形的内角和是外角和的5倍，求这个多边形的边数． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可． 【解答】解：设多边形的边数为n， 由题意得，（n﹣2）•180°＝5×360°， 解得n＝12． 故这个多边形的边数是12． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 20．（8分）在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（﹣4，4），C（4，0），通过计算判断△ABC的形状． 【答案】△ABC是等腰直角三角形． 【分析】由勾股定理求出BC、AC、AB的长度，然后利用勾股定理的逆定理判定△ABC的形状． 【解答】解：∵点A（2，6），B（﹣4，4），C（4，0）， ∴AB＝＝2，BC＝＝4，AC＝＝2， ∴AB＝AC，AC2+AB2＝（2）2+（2）2＝80＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形． 【点评】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣2，0），（4，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接AC、BD、CD． （1）写出点C，D的坐标，并求出四边形ABDC的面积． （2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点C坐标为（0，2），点D坐标为（6，2），四边形ABCD的面积为12； （2）（2，0）或（6，0）． 【分析】（1）根据平移时点的坐标变化规律及平行四边形的面积公式即可解决问题； （2）根据△DEC的面积是△DEB面积的3倍求出BE的长，据此即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为点A，B的坐标分别是（﹣2，0），（4，0）且C，D两点由A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到， 所以点C坐标为（0，2），点D坐标为（6，2），AB∥CD，AB＝CD， 则四边形ABCD是平行四边形， 所以四边形ABCD的面积为：[4﹣（﹣2）]×2＝12； （2）由题知， ，． 因为△DEC的面积是△DEB面积的3倍， 所以6＝3BE， 则BE＝2． 因为点B坐标为（4，0）， 则4﹣2＝2，4+2＝6， 所以点E坐标为（2，0）或（6，0）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移及三角形的面积，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 22．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质得出DF＝CF，再根据平行四边形的判定得出即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB， ∴BE＝CD； （2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE， ∴AF＝EF， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（ASA）， ∴DF＝CF， 又∵AF＝EF， ∴四边形ACED是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 23．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； （2）先求出AE＝5，由勾股定理进而得到AF＝3，再由中位线定理得到OE＝AB＝AD＝5，得到FG＝5，最后BG＝AB﹣AF﹣FG＝2． 【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形可知：点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB， ∴平行四边形OEFG为矩形． （2）解：由条件可知：AE＝， ∵∠EFA＝90°，EF＝4， ∴在Rt△AEF中，AF＝＝3． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝10， ∴OE＝AB＝5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG＝OE＝5， ∴BG＝10﹣3﹣5＝2． 故答案为：OE＝5，BG＝2． 【点评】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 24．（10分）折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张长方形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2）． 问题1：重叠部分的△ABC的形状　是　 （是、不是）等腰三角形． 问题2：若AB＝4cm，BC＝5cm，则重叠部分△ABC的面积为　2　 cm2． （2）折纸2：如图3，长方形纸片ABCD，AB＝5，BC＝6，若点M为射线BC上一点，将△ABM沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为B′，当点B′恰好落在BC的垂直平分线上时，求BM的长． 【答案】（1）问题1：是； 问题2：2； （2）BM的长为15或． 【分析】（1）问题1：利用翻折的性质和矩形的性质即可得出等腰三角形； 问题2：利用等腰三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形面积公式求解即可； （2）利根据题意分两种情况进行讨论，当点B′落在矩形ABCD外部时，利用翻折的性质和线段垂直平分线的性质，表示出相关线段的长度，利用勾股定理得出B′N＝4，设MB′＝MB＝x，然后利用勾股定理即可得出答案；当点B′落在矩形ABCD内部时，同上述思路即可得出答案． 【解答】解：（1）问题1：在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠， ∴∠BAC＝∠BAD， ∵BC∥AD， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴重叠部分的△ABC的形状是等腰三角形， 故答案为：是； 问题2：如图2.2，过点C作CE⊥AB交AB于点E， ∴BE＝AB＝2， 在直角三角形BCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝， ∴S△ABC＝×AB•CE＝×4×， 故答案为：2； （2）①当点B′落在矩形ABCD外部时，如图4， 设BC的垂直平分线交AD于点N，交BC于点H， 则∠ANB′＝∠BHB′＝90°． 由题意，得AB＝AB′＝5， ∠AB′M＝∠B＝90°，AD＝BC＝6， ∴AN＝DN＝AD＝3， 在直角三角形AB′N中，由勾股定理得：B′N＝＝4， ∴B′H＝B′N+NH＝4+5＝9， 设MB′＝MB＝x，HM＝BM﹣BH＝x﹣3， ∴（x﹣3）2+92＝x2， ∴x＝15； ∴BM＝15； ②当点B′落在矩形ABCD内部时，如图5， 设BC的垂直平分线交AD于点N，交BC于点H， 则∠ANB′＝∠BHB′＝90°，BH＝BC＝3， ∵NH是BC的垂直平分线，B′在NH上，BC＝6， 在Rt△ANB′中，AB′＝AB＝5， ∵AN＝BC＝3， ∴NB′＝4， 在Rt△B′HM中，B′H＝NH﹣NB′＝1， MH＝3﹣x，MB′＝BM＝x， ∴（3﹣x）2+1＝x2， ∴x＝， ∴BM＝， ∴BM的长为15或． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形和翻折的结合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图﹣角平分线，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并掌握分类讨论的数学思想． 25．（12分）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，BE平分∠ABC，交边AD于点E． （1）如图1，如果点E与点D重合，AD＝AB，求证：四边形ABCD是正方形； （2）如果AB＝5，AD＝4， ①如图2，时，求∠EBC的度数； ②当△BEC是直角三角形时，求DE的长． 【答案】（1）∵∠A＝90°，AB∥CD，∠ADC＝90°， 又∵AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵BE平分∠ABC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 又AD＝AB， ∴四边形ABCD是正方形； （2）①22.5°； ②DE的长为2或． 【分析】（1）根据已知条件得出∠ADB＝∠ABD＝45°，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出∠ABD＝∠CBD＝45°，则∠ADC＝∠ABC＝90°，得出四边形ABCD是矩形，根据AD＝AB，即可得出四边形ABCD是正方形； （2）①如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD是矩形，Rt△BCF 中，勾股定理求得BF，取BC的中点，得出△FBC是等腰直角三角形，则∠CBF＝45°，根据角平分线的定义，即可求解； ②当∠ECB＝90°时，如图所示，过点B作BG⊥DC 交DC的延长线于点G，则四边形ABGD是矩形，设DE＝x，EC＝AE＝AD﹣DE＝4﹣x，在Rt△CBG中，勾股定理求得CG，因为Rt△DCE 中，DE2+DC2＝EC2，勾股定理建立方程，解方程即可求解；当∠CEB＝90°时，如图所示，过点E作EH⊥BC于点H，根据角平分线的性质得出EH＝EA•DE＝EA＝AD＝2，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠A＝90°，AB∥CD，∠ADC＝90°， 又∵AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵BE平分∠ABC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 又AD＝AB， ∴四边形ABCD是正方形； （2）①解：如图所示，过点C作CF⊥AB于点F， ∵AB∥CD，∠A＝90°， ∴∠D＝90°， 又CF⊥AB， ∴四边形AFCD是矩形， ∵AD＝4， ∴CF＝AD＝4， 在Rt△BCF中， BF＝＝4， 取BC的中点G，连接FG，则BG＝CG＝FG＝BC＝2， ∴FB＝CF， ∴△FBC是等腰直角三角形， ∴∠CBF＝45°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABC＝22.5°； ②当∠ECB＝90°时，如图所示，过点B作BG⊥DC交DC的延长线于点G，则四边形ABGD是矩形， ∵∠A＝90°， ∴EA⊥AB， ∵BE平分∠ABC， ∴EC＝EA， 在Rt△AEB和Rt△CEB中， ， ∴Rt△AEB≌Rt△CEB（HL）， ∴CB＝AB＝5， 设DE＝x，则EC＝AE＝AD﹣DE＝4﹣x， 在Rt△CBG中，CG＝＝3， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣3＝2， ∴Rt△DCE中，DE2+DC2＝EC2，即 x2+22＝（4﹣x）2， 解得x＝， ∴DE＝； 当∠CEB＝90°时，如图所示，过点E作EH⊥BC于点H， 设∠BAE＝α，则∠EBC＝α， ∴∠DEC＝180°﹣90°﹣∠AEB＝90°﹣（90°﹣α）＝α， ∵EH⊥BC， ∴∠HEB＝90°﹣α，∠CEH＝∠CEB﹣∠HEB＝α， ∴∠DEC＝∠HEC， ∴EC是∠DEH的角平分线， ∴DC＝HC， 在Rt△DEC和Rt△HEC中， ， ∴Rt△DEC≌Rt△HEC（HL）， ∴DE＝EH， 又EB是∠ABC的角平分线， ∴EA⊥AB，EH⊥BC， ∴EH＝EA•DE＝EA＝AD＝2， 综上所述当△BEC 是直角三角形时，DE的长为2或． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了角平分线的定义以及性质，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $