2025-2026学年七年级数学下册期中自测卷（一 )《初中数学名校真题全刷：月考・期中・期末真卷》（浙教版）

**基本信息** 以文化情境与生活实践为载体，覆盖平移、二元一次方程、平行线等核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平移（第1题）、科学记数法（第2题）、二元一次方程（第3题）|结合《哪吒》剧照考平移，《九章算术》粟米问题考方程组建模| |填空题|6/18|整式运算（第12题）、平移性质（第15题）|含参数问题（第11题）、角平分线规律探究（第16题）| |解答题|8/72|规律探究（第21题）、租车方案（第23题）、数形结合（第24题）|“康居数”定义新运算（第22题）、国防教育基地租车情境应用题（第23题）|

2025-2026学年七年级数学下册期中自测卷（一 ) （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：七年级下第1章-第3章（浙教版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上大放异彩，迅速成为众人关注的焦点，它不仅是部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任．哪吒的剧照如图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是（    ） A．B． C． D． 2．某种病毒毒种的直径约为毫米，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列方程为二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知于点，若，，点是线段上一动点，则线段的长度可能是（   ） A．4 B．4.9 C．9.1 D．7 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（   ） A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离． 其中正确的说法有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，在中，，分别在边，上，连结，，若，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于，的二元一次方程组给出下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．① B．② C．①② D．都不正确 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知，则的取值范围是___． 12．在的展开式中，不含的一次项，则的值为____________． 13．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值是_____． 14．计算：______． 15．如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为____ ． 16．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）解方程组 (1) (2) 19．（8分）如图，平移三角形，使得点移动到点，点移动到点，点移动到点，作出平移后的三角形． (1)在图中画出三角形； (2)若，，则= ． 20．（8分）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，    （1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数． 21．（10分）观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 22．（10分）若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“康居数”，a与b是x的一个康居分解． 例如：因为，所以5是“康居数”，3与2是5的康居分解； 再如：也是“康居数”．（其中x，y是正整数），所以M也是“康居数”，与y是M的一个康居分解． (1)判断：9________“康居数”（填“是”或“不是”）； (2)设两个连续正奇数和（其中n是正整数）是正整数y的一个康居分解，那么y能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明； (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），若N是“康居数”，则k的值为________． 23．（10分）福清市龙翔教育基地是一所国防教育示范基地，被福建省科学技术协会、福建省委宣传部联合授予“福建省科普教育基地”称号．某中学七年级打算在五一期间前往该基地参加社会实践活动，组织部学生在老师的带领下，到某出租车公司商谈租车事宜．在商谈过程中，他们获得以下两个信息： 租车价格信息 出租车公司有，两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息． 记录单 型车/辆 型车/辆 租金总费用/元 记录单1 1 1 800 记录单2 3 2 1900 车型座位信息 已知型客车每辆24个座位，型客车每辆42个座位．经过调查研究，确定两种租车方案．方案一：全部租用型客车，则全体人员刚好坐满．方案二：全部租用型客车，则可以少租（比全部租用型车）9辆，且剩余18个座位． 根据以上信息，完成下列任务． 任务： (1)根据“租车价格信息”，计算，两种型号客车每辆的租金分别是多少元． (2)请根据“车型座位信息”，填写以下表格中的空格内容． 设方案二全部租用型客车辆，则可列表如下： 租用车辆数 每车座位数 剩余座位数 七年级总人数 全部租用型客车 24 0 全部租用型客车 42 18 依上表，可列方程________________，解得_______________，则七年级总人数为_______________． (3)根据以上信息，在上面两个方案中，确定费用最低的具体租车方案． 24．（10分）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； （2）若，，求的值． 【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下册期中自测卷（一 ) （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：七年级下第1章-第3章（浙教版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上大放异彩，迅速成为众人关注的焦点，它不仅是部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任．哪吒的剧照如图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移前后，图形的大小，形状，方向都不变，只是位置发生改变，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，由该图平移得到的图形是： 2．某种病毒毒种的直径约为毫米，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，需遵循科学记数法的形式，其中，为负整数，其绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：， 故选：C． 3．下列方程为二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数为1，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、方程中，未知数x的次数不是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程是二元一次方程，符合题意； 4．如图，已知于点，若，，点是线段上一动点，则线段的长度可能是（   ） A．4 B．4.9 C．9.1 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解概念，知道垂线段最短．根据垂线段最短得出的范围，再选择合适的值即可． 【详解】解：∵点是线段上一动点，， ∴， 即， ∴的长度可能是7， 故选D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：A．，故A错误； B．与不是同类项，不能合并或直接运算得到，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 6．如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内错角的定义判断即可． 【详解】解：由图得，和是内错角的是， 7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出二元一次方程组是解题的关键． 根据桶容量为10斗，得，根据总米数7斗，得即可得到方程组． 【详解】解：∵桶容量为10斗， ∴， ∵出米率为，y斗谷子出斗米，加上原有x斗米，共得米7斗， ∴， ∴可得方程组：， 故选：A． 8．给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离． 其中正确的说法有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、垂直的性质及点到直线的距离等概念，熟练掌握相关知识是关键． 根据平面几何知识逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：对于（1）， 只有当两条直线平行时，被第三条直线所截同位角才相等，故（1）错误； 对于（2），在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，题干缺少前提条件“在平面内”，故（2）错误； 对于（3），在平面内，一条直线若与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交，故（3）正确； 对于（4）， 从直线外一点到直线的垂线段的长度即为该点到直线的距离，故（4）正确； ∴ 正确的说法有（3）（4），共2个． 故选：C． 9．如图，在中，，分别在边，上，连结，，若，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质与判定，熟练运用平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．利用平行线的性质定理和判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．已知关于，的二元一次方程组给出下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．① B．② C．①② D．都不正确 【答案】C 【分析】先解方程组得到解为，，然后逐一验证两个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； ∴①②都正确． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，根据得，进行计算即可得，掌握零指数幂是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：． 解得． 故答案为：． 12．在的展开式中，不含的一次项，则的值为____________． 【答案】 【分析】利用多项式与多项式相乘的运算法则得到展开式，根据一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： 由于展开式中，不含的一次项， 则 解得． 13．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，根据题意得：，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 14．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方逆运算，利用指数运算法则，将原式化为同指数幂的乘积，再计算底数乘积的幂． 【详解】解： 故答案为：． 15．如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为____ ． 【答案】18 【分析】利用平移的性质得到，，，从而可得，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到，与交于点D，连接，若，， ∴，，， ∵， ∴ ． 16．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了绝对值，负整数指数幂和零指数幂，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，负整数指数幂和零指数幂，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式，平方差公式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）解方程组 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是正确解答的关键． （1）根据加减消元法将①②，消去，进而求出的值，代入求出即可； （2）将原方程化简为，再利用加减消元法消去的值，再代入求出的值即可． 【详解】（1）解：， ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：原方程组可变为， ①②得，， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以原方程组的解为． 19．（8分）如图，平移三角形，使得点移动到点，点移动到点，点移动到点，作出平移后的三角形． (1)在图中画出三角形； (2)若，，则= ． 【答案】(1)作图见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键； 对于（1），确定平移方向是，平移距离是，画出图形即可； 对于（2），根据平移的性质得，可得答案． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：∵， ∴． 故答案为：3． 20．（8分）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，    （1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数． 【答案】（1）详见解析；（2）30°． 【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可． 【详解】证明：（1）∵AB∥DG， ∴∠BAD=∠1， ∵∠1+∠2=180°， ∴∠2+∠BAD=180°， ∴AD∥EF； （2）∵∠1+∠2=180°，∠2=150°， ∴∠1=30°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠GDC=∠1=30°， ∵AB∥DG， ∴∠B=∠GDC=30°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法并判断出EF∥AD是解题的关键． 21．（10分）观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式写成第个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）将原式变形为，利用，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； （3）解：原式 ． 22．（10分）若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“康居数”，a与b是x的一个康居分解． 例如：因为，所以5是“康居数”，3与2是5的康居分解； 再如：也是“康居数”．（其中x，y是正整数），所以M也是“康居数”，与y是M的一个康居分解． (1)判断：9________“康居数”（填“是”或“不是”）； (2)设两个连续正奇数和（其中n是正整数）是正整数y的一个康居分解，那么y能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明； (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），若N是“康居数”，则k的值为________． 【答案】(1)是 (2)能，见解析 (3) 【分析】（1）根据“康居数”定义：正整数可表示为（为正整数且）则为康居数．，满足条件，进而即可判断； （2）由康居分解定义，（为正整数），展开得，为正整数，故是8的倍数，能被8整除； （3）对进行运算，得．要使为康居数，需常数项为0，即，解得，且满足． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，是正整数且，符合“康居数”的定义， ∴9是康居数； （2）解：能，理由如下： 由题意得，， ∵，（n为正整数，且）， ∴ ， ∴y是8的倍数，能被8整除； （3）解：由题意得， ∵N能表示为两个正整数的平方差，即（，均为正整数）， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴（符合题意）， ∴． 【点睛】本题以“康居数”新定义为载体，核心是利用平方差公式，通过展开、配方等代数变形，紧扣定义完成判断与求解，关键是将式子转化为平方差形式． 23．（10分）福清市龙翔教育基地是一所国防教育示范基地，被福建省科学技术协会、福建省委宣传部联合授予“福建省科普教育基地”称号．某中学七年级打算在五一期间前往该基地参加社会实践活动，组织部学生在老师的带领下，到某出租车公司商谈租车事宜．在商谈过程中，他们获得以下两个信息： 租车价格信息 出租车公司有，两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息． 记录单 型车/辆 型车/辆 租金总费用/元 记录单1 1 1 800 记录单2 3 2 1900 车型座位信息 已知型客车每辆24个座位，型客车每辆42个座位．经过调查研究，确定两种租车方案．方案一：全部租用型客车，则全体人员刚好坐满．方案二：全部租用型客车，则可以少租（比全部租用型车）9辆，且剩余18个座位． 根据以上信息，完成下列任务． 任务： (1)根据“租车价格信息”，计算，两种型号客车每辆的租金分别是多少元． (2)请根据“车型座位信息”，填写以下表格中的空格内容． 设方案二全部租用型客车辆，则可列表如下： 租用车辆数 每车座位数 剩余座位数 七年级总人数 全部租用型客车 24 0 全部租用型客车 42 18 依上表，可列方程________________，解得_______________，则七年级总人数为_______________． (3)根据以上信息，在上面两个方案中，确定费用最低的具体租车方案． 【答案】(1)300元，500元 (2)；13；528 (3)全部租用B型客车13辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用， 对于（1），先设A型号客车每辆的租金是x元，B型号客车每辆的租金为y元，根据题意列出方程组，求出解； 对于（2），根据题意用含有m的代数式补全表格，再结合一元一次方程求出m，即可解决此题； 对于（3），比较方案一和方案二需要的租金，即可解答. 【详解】（1）解：先设A型号客车每辆的租金是x元，B型号客车每辆的租金为y元，根据题意，得 ， 解得， 所以先设A型号客车每辆的租金是300元，B型号客车每辆的租金为500元； （2）解：根据题意，列表如下： 租用车辆数 每车座位数 剩余座位数 七年级总人数 全部租用A型客车 24 0 全部租用B型客车 m 42 18 依上表，得， 解得， 则七年级总人数为． 故答案为：；13；528； （3）解：方案一需要付的租金为（元）； 方案二需要付的租金为（元）， ∵， ∴费用最低的租车费方案为全部租用B型客车13辆． 24．（10分）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； （2）若，，求的值． 【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】知识回顾：，；拓展探究：（1）；（2）；解决问题：4 【分析】本题考查了完全平方公式，图形面积，平方根，熟练掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据图1和图2中阴影部分面积的两种计算方法即可得出结论； 拓展探究：（1）根据图3中阴影部分的面积的两种计算方法：方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：大正方形减去四个小长方形的面积为，即可得出三个代数式，，之间的等量关系； （2）根据（1）的结论可求出的值，再计算平方根即可得； 解决问题：设正方形和的边长分别为和，再根据，两正方形的面积和为20，可得，，然后利用完全平方公式求出的值，利用直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：知识回顾：图1的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：大正方形面积为；方式二：两个小正方形和两个小长方形面积之和为； 所以图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 图2的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：用大正方形减去两个小长方形的面积，再加上一个小正方形的面积为； 所以图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 故填：，； 拓展探究：（1）图3的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：大正方形减去四个小长方形的面积为； 所以图3中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； （2），， ， ， ， ． ， ． 解决问题：设正方形和的边长分别为和， ，两正方形的面积和为20， ，． ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $