浙江省宁波外国语学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

**基本信息** 以2026春晚机器人精度（科学记数法）、航模成本计算（分式方程）等真实情境为载体，通过基础运算（如负指数幂）、推理探究（如“和谐数”定义辨析）及数形结合（如面积验证乘法公式），考查七年级下册整式、分式、因式分解等核心知识，体现数学眼光（抽象能力）、思维（推理意识）与语言（模型意识）的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题20分|科学记数法、整式运算、分式方程|第1题结合机器人科技情境，第10题新定义“和谐数”考查推理| |填空题|8题24分|因式分解、幂的运算、分式求值|12题用提公因式法简便计算，17题结合平方差公式变形| |解答题|6题56分|整式化简、应用题（航模成本）、数形结合|22题航模利润计算体现应用意识，24题以华罗庚名言引入面积法验证公式| |附加题|2题10分|复杂分式化简、判别式求最值|26题通过方程有解条件探究最值，提升思维深度|

浙江省宁波外国语学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（每题2分，共20分） 1．（2分）在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达0.00002米．数据0.00002用科学记数法表示为（　　） A．2×10﹣5 B．0.2×10﹣5 C．2×10﹣4 D．0.2×10﹣4 2．（2分）下列运算正确的是（　　） A． B．（﹣a）3＝﹣a3 C．（2a2+a）÷a＝2a D．（3a）2＝6a2 3．（2分）学校采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，可列出方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2分）若关于x的多项式x2+mx﹣2含有因式x﹣1，则实数m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 5．（2分）如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为（　　） A．ac+bc B．（a﹣c）（b﹣c） C．ab﹣（a﹣c）（b﹣c） D．ac+bc+c2 6．（2分）关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．3 7．（2分）如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为12，a+b＝6，则a﹣b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2分）从A地到B地有两条路，每条路都有6km，其中第一条路是平路，第二条路有3km的上坡路，3km的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，则（　　） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 9．（2分）已知a，b满足等式：x＝4a2﹣12ab+9b2，y＝8a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A．x≤y B．x＜y C．x＞y D．x≥y 10．（2分）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． ①如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则a1+a2+⋯+an一定是8的倍数； ②若m﹣n＝11，则（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn不是“和谐数”； ③m，n为正整数，且m＞n，若92﹣（m﹣n）2和m+n+1都是“和谐数”，则4mn也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）计算3﹣2的值是 　 　 ． 12．（3分）872+87×13的值为　 　 ． 13．（3分）已知x2+ax+4是完全平方式，则实数a＝　 　 ． 14．（3分）若27x＝32x+1，则x＝　 　 ． 15．（3分）若2x﹣y＝0，则分式的值为　 　 ． 16．（3分）照相机成像应用了一个重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝　 　 ． 17．（3分）实数a，b，c满足a+b+c＝27，a2+b2+c2＝225，则＝　 　 ． 18．（3分）已知2a＝18，3b＝12，则的值为　 　 ． 三、解答题（共56分） 19．（12分）化简： （1）（6m3p2）÷（3mp）； （2）（x+1）2﹣x（x﹣2）； （3）； （4）． 20．（12分）因式分解： （1）3a2﹣9ab； （2）x3﹣5x2+6x； （3）16m4﹣8m2n2+n4； （4）x3+2x2﹣4x﹣8． 21．（6分）先化简，再求值： ，其中x可在1，2，3三个数中任选一个合适的数． 22．（8分）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高10%，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． （1）每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 23．（8分）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个含k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且abc≠0，求的值． 解：令，则a＝5k，b＝4k，c＝3k，∴． 根据材料回答问题： （1）若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． （2）若且abc≠0，求的值． 24．（10分）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①（a+b）2＝a2+2ab+b2 ②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为　 　 ； （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： 若x满足（x﹣15）（30﹣x）＝10，求（2x﹣45）2的值． （3）如图丁，在线段CE上取一点D且CD＞DE，分别以CD，DE为边作正方形ABCD，DEFG，连结BG，EG，AF． ①若阴影部分的面积和为33，四边形AGEF的面积为13，求CE的长度． ②若P为边AD上一点，连结PC，PE，线段PD的长度为4，CD，DE的长度为正整数，且△CPE与四边形AGEF的面积相等，求CE的长度． 附加题（共10分，折半计入总分） 25．（5分）＝　 　 ． 26．（5分）已知a，b，c满足a2+b2+c2+1＝ab+3ac，则c2的最小值为　 　 ． 浙江省宁波外国语学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C B D A D B 一、选择题（每题2分，共20分） 1．（2分）在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达0.00002米．数据0.00002用科学记数法表示为（　　） A．2×10﹣5 B．0.2×10﹣5 C．2×10﹣4 D．0.2×10﹣4 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示方法进行判断． 【解答】解：数据0.00002用科学记数法表示为：2×10﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，掌握形式为a×10﹣n，其中1≤a＜10，n为整数是关键． 2．（2分）下列运算正确的是（　　） A． B．（﹣a）3＝﹣a3 C．（2a2+a）÷a＝2a D．（3a）2＝6a2 【答案】B 【分析】根据负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、整式的除法逐项分析判断即可． 【解答】解：A、2a﹣1＝，原计算错误，不符合题意； B、（﹣a）3＝﹣a3，原计算正确，符合题意； C、（2a2+a）÷a＝2a+1，原计算错误，不符合题意； D、（3a）2＝9a2，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、整式的除法，熟练掌握以上知识点是关键． 3．（2分）学校采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，可列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学实验器材和运动器材单价间的关系，可得出运动器材的单价为（800﹣x）元，利用数量＝总价÷单价，结合用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵科学实验器材和运动器材的单价之和为800元，且科学实验器材单价为x元， ∴运动器材的单价为（800﹣x）元． 根据题意得：． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．（2分）若关于x的多项式x2+mx﹣2含有因式x﹣1，则实数m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【答案】C 【分析】利用十字相乘法得出﹣2可以分成﹣1和2相乘，﹣1+2＝m，得出m的值即可． 【解答】解：∵关于x的多项式x2+mx﹣2含有因式x﹣1， ∴﹣2可以分成﹣1和2相乘， ∴﹣1+2＝1， ∴m＝1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了十字相乘法的应用，根据已知正确分解6进而得出是解题关键． 5．（2分）如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为（　　） A．ac+bc B．（a﹣c）（b﹣c） C．ab﹣（a﹣c）（b﹣c） D．ac+bc+c2 【答案】C 【分析】先表示出阴影部分的面积，再根据整式的运算法则进行化简，最后判断即可． 【解答】解：阴影部分的面积是ac+bc﹣c2， A、ac+bc不是阴影部分的面积，故本选项不符合题意； B、（a﹣c）（b﹣c）是空白部分的面积，不是阴影部分的面积，故本选项不符合题意； C、ab﹣（a﹣c）（b﹣c）＝ab﹣ab+ac+bc﹣c2＝ac+bc﹣c2，故本选项符合题意； D、ac+bc+c2不是阴影部分的面积，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式和列代数式，能根据已知图形列出代数式是解此题的关键． 6．（2分）关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，再根据分式方程的增根的定义可得x＝3，将其代入得到的整式方程中解得m的值即可． 【解答】解：原方程去分母得：2﹣x＝﹣m﹣2（x﹣3）， ∵原方程有增根， ∴x﹣3＝0， 则x＝3， 那么2﹣3＝﹣m， 解得：m＝1． 故选：B． 【点评】本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键． 7．（2分）如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为12，a+b＝6，则a﹣b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解． 【解答】解：∵正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b， ∴正方形ABCD的面积是a2，正方形GECF的面积是b2， ∵BE＝DF＝a﹣b， ∴ ＝ ＝， ∴a2﹣b2＝24， ∴（a+b）（a﹣b）＝24， ∵a+b＝6， ∴a﹣b＝24÷6＝4， 答：a﹣b的值为4． 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是熟练运用平方差公式解决问题． 8．（2分）从A地到B地有两条路，每条路都有6km，其中第一条路是平路，第二条路有3km的上坡路，3km的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，则（　　） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 【答案】A 【分析】根据时间＝速度÷时间，可得走第一条路和第二条路的时间，二者作差即可求出花费时间的多少． 【解答】解：小丽走第一条路的时间为：t1＝（小时）． 小丽走第一条路的时间为：t2＝（小时）． （小时）． 故选：A． 【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是注意题中相关量要用合适的分式表示出来． 9．（2分）已知a，b满足等式：x＝4a2﹣12ab+9b2，y＝8a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A．x≤y B．x＜y C．x＞y D．x≥y 【答案】D 【分析】利用作差法判断即可． 【解答】解：∵x﹣y＝4a2﹣12ab+9b2﹣（8a﹣12b﹣4）＝（2a﹣3b）2﹣4（2a﹣3b）+4＝[（2a﹣3b）﹣2]2， ∴[（2a﹣3b）﹣2]2≥0， ∴x≥y． 故选：D． 【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10．（2分）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． ①如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则a1+a2+⋯+an一定是8的倍数； ②若m﹣n＝11，则（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn不是“和谐数”； ③m，n为正整数，且m＞n，若92﹣（m﹣n）2和m+n+1都是“和谐数”，则4mn也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据“和谐数”的定义，观察规律，逐项判断即可． 【解答】解：①观察“和谐数列”可知，设下标为n，则被减数的底数为2n+1，减数的底数为2n﹣1， 即an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n， ∴a1+a2+…+an＝8×1+8×2+…+8×n ＝8×（1+2+…+n）， ∴a1+a2+…+an是8的倍数；故①正确； ②（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn＝m2﹣49+n2﹣2mn ＝（m﹣n）2﹣49 ＝（m﹣n）2﹣72， 当m﹣n＝11时，（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn＝72＝8×9， 若m﹣n＝11，则（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn是“和谐数”，故②错误； ③∵92﹣（m﹣n）2是“和谐数”， ∴m﹣n＝7， ∵m+n+1是“和谐数”， ∴m+n+1＝8k，即m+n＝8k﹣1， ∴m＝4k+3，n＝4k﹣4， ∴4mn＝4（4k﹣4）（4k+3）＝8（8k2﹣2k﹣6）是“和谐数”， 故③正确， 上述结论正确的个数是2， 故选：B． 【点评】本题考查平方差公式，完全平方公式，新定义下数字规律的探索，设参消元的知识，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，灵活应用公式进行计算． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）计算3﹣2的值是 　　 ． 【答案】． 【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案． 【解答】解：原式＝， 故答案为：． 【点评】本题考查负整数指数幂的意义，解题的关键是熟练运用负整数指数幂的意义，本题属于基础题型． 12．（3分）872+87×13的值为　8700　 ． 【答案】8700． 【分析】先提公因数，然后计算括号内的式子，再算括号外的乘法即可． 【解答】解：872+87×13 ＝87×（87+13） ＝87×100 ＝8700， 故答案为：8700． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13．（3分）已知x2+ax+4是完全平方式，则实数a＝　±4　 ． 【答案】±4． 【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答． 【解答】解：∵x2+ax+4是完全平方式， ∴x2+ax+4＝（x±2）2， ∴x2+ax+4＝x2±4x+4， ∴a＝±4， 故答案为：±4． 【点评】本题考查了完全平方式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14．（3分）若27x＝32x+1，则x＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：∵27x＝32x+1， ∴33x＝32x+1， ∴3x＝2x+1， ∴x＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握运算法则是关键． 15．（3分）若2x﹣y＝0，则分式的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意得出y＝2x，再将y＝2x代入分式进行计算即可． 【解答】解：由2x﹣y＝0得，y＝2x， 则＝＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的值，准确的计算是解题的关键． 16．（3分）照相机成像应用了一个重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝　　 ． 【答案】 【分析】利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【解答】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键． 17．（3分）实数a，b，c满足a+b+c＝27，a2+b2+c2＝225，则＝　72　 ． 【答案】72． 【分析】将已知等式变形，利用平方差公式分解后，代入所求分式计算即可． 【解答】解：∵a2+b2+c2＝225， ∴b2+c2＝225﹣a2＝（15+a）（15﹣a）， a2+c2＝225﹣b2＝（15+b）（15﹣b）， a2+b2＝225﹣c2＝（15+c）（15﹣c）， ∴原式＝++ ＝15+a+15+b+15+c ＝45+（a+b+c） ＝45+27 ＝72． 故答案为：72． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握等式的恒等变形是关键． 18．（3分）已知2a＝18，3b＝12，则的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意得出2a+1＝36，3b+1＝36，据此得出a，b的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为2a＝18，3b＝12， 所以2a+1＝36，3b+1＝36， 则， 所以2×3＝， 则6＝， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的值及幂的乘方与积的乘方，巧用幂的乘方与积的乘方公式是解题的关键． 三、解答题（共56分） 19．（12分）化简： （1）（6m3p2）÷（3mp）； （2）（x+1）2﹣x（x﹣2）； （3）； （4）． 【答案】（1）2m2p； （2）4x+1； （3）﹣x3y3+4xy2﹣2x； （4）﹣xy． 【分析】（1）单项式除以单项式：系数相除，同底数幂分别相除，结果为 2m2p； （2）先展开完全平方公式，再去括号合并同类项，结果为 4x+1； （3）单项式乘多项式：用单项式分别乘多项式的每一项，结果为﹣x3y3+4xy2﹣2x； （4）先因式分解，再将除法转化为乘法，约分后结果为﹣xy． 【解答】解：（1）（6m3p2）÷（3mp） ＝（6÷3）×（m3÷m）×（p2÷p） ＝2m2p； （2）（x+1）2﹣x（x﹣2） ＝x2+2x+1﹣（x2﹣2x） ＝x2+2x+1﹣x2+2x ＝4x+1； （3） ＝ ＝﹣x3y3+4xy2﹣2x； （4） ＝ ＝ ＝﹣xy． 【点评】本题考查了分式的乘除法、整式的混合运算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 20．（12分）因式分解： （1）3a2﹣9ab； （2）x3﹣5x2+6x； （3）16m4﹣8m2n2+n4； （4）x3+2x2﹣4x﹣8． 【答案】（1）3a（a﹣3b）； （2）x（x﹣2）（x﹣3）； （3）（2m+n）2（2m﹣n）2； （4）（x+2）2（x﹣2）． 【分析】（1）提取公因式3a即可； （2）提取公因式x，再十字相乘法因式分解即可； （3）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （4）分组分解后再用公式法因式分解即可． 【解答】解：（1）3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b）； （2）x3﹣5x2+6x＝x（x2﹣5x+6）＝x（x﹣2）（x﹣3）； （3）16m4﹣8m2n2+n4＝（4m2﹣n2）2＝（2m+n）2（2m﹣n）2； （4）x3+2x2﹣4x﹣8＝x2（x+2）﹣4（x+2）＝（x+2）（x2﹣4）＝（x+2）2（x﹣2）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 21．（6分）先化简，再求值： ，其中x可在1，2，3三个数中任选一个合适的数． 【答案】x+1，4． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝[﹣]• ＝（﹣）• ＝• ＝x+1， ∵x﹣1≠0，x﹣2≠0， ∴x≠1，2， ∴当x＝3时，原式＝3+1＝4． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 22．（8分）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高10%，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． （1）每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【答案】（1）每个“神舟”模型的成本是110元，每个“天宫”模型的成本是100元； （2）该航模店共获利润1050元． 【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本是x元，则每个“神舟”模型的成本是（1+10%）x元，利用数量＝总价÷单价，结合购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每个“天宫”模型的成本），再将其代入（1+10%）x中，即可求出每个“神舟”模型的成本； （2）利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可求出结论． 【解答】解：（1）设每个“天宫”模型的成本是x元，则每个“神舟”模型的成本是（1+10%）x元， 根据题意得：﹣＝12， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意， ∴（1+10%）x＝（1+10%）×100＝110（元）． 答：每个“神舟”模型的成本是110元，每个“天宫”模型的成本是100元； （2）根据题意得：150×（﹣5）+150×0.8×5+150×﹣3000 ＝150×（20﹣5）+150×0.8×5+150×8﹣3000 ＝150×15+150×0.8×5+150×8﹣3000 ＝2250+600+1200﹣3000 ＝1050（元）． 答：该航模店共获利润1050元． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23．（8分）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个含k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且abc≠0，求的值． 解：令，则a＝5k，b＝4k，c＝3k，∴． 根据材料回答问题： （1）若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． （2）若且abc≠0，求的值． 【答案】（1）； （2）8或﹣1． 【分析】（1）设2x＝3y＝4z＝k，得到x＝k，y＝k，z＝k，代入，即可求值； （2）设＝k，得到2（a+b+c）＝2（a+b+c）k，当a+b+c≠0时，得到k＝1，得到a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b，求出＝8；当a+b+c＝0时，得到a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，求出＝﹣1，于是得到答案． 【解答】解：（1）设2x＝3y＝4z＝k， ∴x＝k，y＝k，z＝k， ∴＝＝； （2）设＝k， ∴a+b＝2ck，b+c＝2ak，c+a＝2bk， ∴a+b+b+c+c+a＝2（a+b+c）k， ∴2（a+b+c）＝2（a+b+c）k， 当a+b+c≠0时，k＝1， ∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b， ∴＝＝8； 当a+b+c＝0时， a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b， ∴＝＝﹣1， ∴的值为8或﹣1． 【点评】本题考查比例的性质，多项式乘多项式，关键是引入参数“k”，来解决问题． 24．（10分）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①（a+b）2＝a2+2ab+b2 ②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为　①②③　 ； （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： 若x满足（x﹣15）（30﹣x）＝10，求（2x﹣45）2的值． （3）如图丁，在线段CE上取一点D且CD＞DE，分别以CD，DE为边作正方形ABCD，DEFG，连结BG，EG，AF． ①若阴影部分的面积和为33，四边形AGEF的面积为13，求CE的长度． ②若P为边AD上一点，连结PC，PE，线段PD的长度为4，CD，DE的长度为正整数，且△CPE与四边形AGEF的面积相等，求CE的长度． 【答案】（1）①②③； （2）185； （3）①12；②18或25． 【分析】（1）甲图：通过边长为a+b的正方形分割，验证完全平方和公式．乙图：通过边长为a﹣b的正方形分割，验证完全平方差公式．丙图：通过两个正方形面积差，验证（a+b）2与（a﹣b）2的关系； （2）将2x﹣45转化为已知条件（x﹣15）和（30﹣x）的差，利用完全平方公式的变形计算； （3）①设CD和DE的长度为未知数，根据阴影面积和与四边形面积列方程，求解后得到CE的长度；②设CD和DE的长度为未知数，根据△CPE与四边形面积相等的条件，化简得出DE的长度，结合正整数条件确定CE的长度． 【解答】解：（1）甲图：边长为a+b的正方形分割为a2、b2和两个ab矩形，对应（a+b）2＝a2+2ab+b2（公式①）， 乙图：边长为a﹣b的正方形面积为a2﹣2ab+b2，对应（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（公式②）， 丙图：通过（a+b）2与（a﹣b）2的面积差验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab（公式③）； 故答案为：①②③； （2）设m＝x﹣15，n＝30﹣x， 则m+n＝15，mn＝10， m﹣n＝x﹣15﹣（30﹣x）＝2x﹣45， （2x﹣45）2 ＝（m﹣n）2 ＝（m+n）2﹣4mn ＝152﹣4×10 ＝185； （3）①设CD＝a，DE＝b， AG＝a﹣b， 阴影面积和为：＝33， 即， 所以a2﹣ab+b2＝66， AGEF的面积为13， 所以＝13， 即， 所以ab＝26， a2+b2＝92， （a+b）2＝a2+b2+2ab＝92+2×26＝144， 因为a＞0，b＞0， CE＝a+b＝＝12； 答：CE的长度是12； ②设CD＝a，DE＝b，PD＝4， 由△CPE与四边形AGEF面积相等，得： ＝， 2a+2b＝， 所以a+b＝， 即， 因为CD，DE的长度为正整数， 所以a、b的长度为正整数， 所以a＝12，b＝6或a＝20，b＝5， CE＝12+6＝18或CE＝20+5＝25． 答：CE的长度是18或25． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式、一元一次方程的应用，解决本题的关键是运用数形结合的思想解决问题． 附加题（共10分，折半计入总分） 25．（5分）＝　　 ． 【答案】． 【分析】先分别对分子分母进行因式分解然后约分即可． 【解答】解：分子：（24+22+1）（44+42+1）（64+62+1）（84+82+1）（104+102+1）（124+122+1） ＝（22+2+1）（22﹣2+1）（42+4+1）（42﹣4+1）（62+6+1）（62﹣6+1）（82+8+1）（82﹣8+1）（102+10+1）（102﹣10+1）（122+12+1）（122﹣12+1） ＝7×3×21×13×43×31×73×57×111×91×157×133， 分母：（34+32+1）（54+52+1）（74+72+1）（94+92+1）（114+112+1）（134+132+1） ＝（32+3+1）（32﹣3+1）（52+5+1）（52﹣5+1）（72+7+1）（72﹣7+1）（92+9+1）（92﹣9+1）（112+11+1）（112﹣11+1）（132+13+1）（132﹣13+1） ＝13×7×31×21×57×43×91×73×133×111×183×157， 原式＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 26．（5分）已知a，b，c满足a2+b2+c2+1＝ab+3ac，则c2的最小值为　　 ． 【答案】． 【分析】将其转化为关于b的等式，结合b有解，用根的判别式得出关于a，c的不等式，再结合所得不等式有解，求出c2的最小值即可． 【解答】解：因为a2+b2+c2+1＝ab+3ac， 所以b2﹣ab+a2+c2+1﹣3ac＝0． 因为b是实数， 则此方程有解， 所以Δ＝（﹣a）2﹣4（a2+c2+1﹣3ac）≥0， 整理得，3a2﹣12ac+4c2+4≤0， 因为此不等式有解， 所以Δ′＝（﹣12c）2﹣4×3×（4c2+4）≥0， 解得c2≥． 当c2＝时，Δ′＝0，此时a＝， 再代入Δ＝0得，b＝， 代入原式后成立， 所以c2的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了非负数的性质：偶次方，巧用判别式法是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $