2026年高考数学模拟卷（十）（全国Ⅱ卷）

2026年高考数学模拟卷（十） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁辽阳·二模）已知复数，，a，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆·三模）记为等差数列的前项和.若，，则（    ） A．-6 B．-3 C．3 D．6 4．（2026·海南·模拟预测）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知，则（    ） A．3 B． C．2 D． 6．（2026·山西太原·二模）已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点.若，则与的面积的比值是（   ） A． B．3 C． D．9 8．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南昭通·模拟预测）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·山西晋中·模拟预测）已知棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（   ） A．正方体的外接球半径为 B．，，，四点共面 C．直线与所成角的余弦值为 D．过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 11．（2026·云南昭通·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．与双曲线有两个交点 D．的内心在轴上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若数列 满足 ，则 _____. 13．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知一组数据，，，，满足，，则这组数据的方差是________. 14．（2026·山西太原·二模）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，．若，则的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，，求的值域和单调区间. 16．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，，且，，，点满足. (1)当时，证明：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 17．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知是数列的前项和，， (1)命题：若 （i） ，则 （ii） . ①是以2为公差的等差数列； ②对任意，. 从①②中选择一个填在（i），另一个填在（ii），使得命题为真命题，并证明.（若写两种选择，则按第一种选择给分） (2)在（1）的条件下，求数列的通项. 18．（2026·山西太原·二模）已知函数. (1)若在处的切线经过点，求的值； (2)讨论函数零点的个数； (3)若函数有三个不同的零点，求这三个零点的乘积. 19．（2026·重庆·模拟预测）已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条直线交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（十） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 而，所以． 2．（2026·辽宁辽阳·二模）已知复数，，a，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则， 所以，解得，则. 3．（2026·新疆·三模）记为等差数列的前项和.若，，则（    ） A．-6 B．-3 C．3 D．6 【答案】A 【分析】方法一：由等差数列的性质得：，，成等差数列，则，求解即可. 方法二：利用等差数列前项和公式，列出方程，求解即可. 【详解】方法一：因为为等差数列的前项和，则，，也成等差数列， 所以，即，解得. 方法二：设等差数列的首项为，公差为， 则，解得，则. 4．（2026·海南·模拟预测）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误； 对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误； 对于选项C，因为，所以， 可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到， 所以，选项C正确； 对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误； 5．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，解得， 所以. 6．（2026·山西太原·二模）已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性，逐项判断即可. 【详解】因为， 所以由正态分布的对称性知， 所以，不能判断，故A错误； 由知，，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为大小未知，所以不能判断，故D错误. 7．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点.若，则与的面积的比值是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】设抛物线方程为，直线：，根据题意可求出点，，由坐标可知与轴平行，与轴平行，从而由抛物线定义可知，，故可得，最后结合即可求解. 【详解】不妨设抛物线方程为，焦点，顶点，准线， 设直线：，代入抛物线方程，可得， 设，，由韦达定理得. 直线：，即，令，得，所以， 所以与轴平行，由抛物线定义得， 同理可得，与轴平行，且. 由，，与轴平行，与轴平行，可得， 设准线与轴交于点，则， 因为，所以，所以，， 所以，， 所以，. 8．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分、讨论解不等式即可． 【详解】对任意，，，， 当时，，恒成立； 当时，，，分别作出和的图象， 结合图象可知，不等式等价于，解不等式，可得， 综上，实数的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南昭通·模拟预测）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量基本运算的坐标表示，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，向量，，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B正确； 对于C选项，向量，，所以， 又，所以与不共线，故C错误； 对于D选项，因为，，所以， 所以，故D正确. 综上所述，选项ABD均正确. 10．（2026·山西晋中·模拟预测）已知棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（   ） A．正方体的外接球半径为 B．，，，四点共面 C．直线与所成角的余弦值为 D．过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 【答案】AC 【分析】对于A，根据正方体外接球半径为体对角线的一半；对于B，根据四点共面的判定判断即可；对于C，利用余弦定理求异面直线的夹角即可；对于D，由题可知，截面半径最小为，再求面积即可． 【详解】解：对于A，正方体的外接球半径，故A正确． 对于B，设的中点为，则,则，，，四点共面， 点不在平面内，所以，，，四点不共面，故B错误． 对于C，如图，连接，，，则，，， 在中，，故C正确． 对于D，如图，连接，记为的中点，过点作的垂线，交于点． 在中，，，， 则，所以． 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中， 半径最小为，所以半径最小的圆的面积为，故D错误． 11．（2026·云南昭通·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．与双曲线有两个交点 D．的内心在轴上 【答案】BC 【分析】设双曲线的右焦点为，则，结合双曲线定义可求，，判断A，在中由余弦定理列方程求，判断B，结合关系求得双曲线的渐近线方程，根据直线与渐近线斜率大小关系结合图象判断C，利用反证法排除D. 【详解】对于A，设双曲线的右焦点为，连接， 由双曲线的对称性及直线过原点可得关于原点对称，又关于原点对称， 所以四边形是平行四边形，故， 因为，所以， 又，解得，，A错误， 对于B，因为，所以. 由余弦定理得， 所以，B正确， 对于C，由，，则双曲线的渐近线方程为， 因为，所以与双曲线有两个交点，C正确， 对于D，假设的内心在轴上，则有，，直线过坐标原点， 所以，即需要，矛盾，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若数列 满足 ，则 _____. 【答案】 【详解】由得，， 所以数列周期为3，故. 13．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知一组数据，，，，满足，，则这组数据的方差是________. 【答案】3.6/ 【分析】结合题设中的数据，根据平均数和方差的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由可知，，，，的平均数， 方差 . 14．（2026·山西太原·二模）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，．若，则的离心率为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到直线的方程，并将其与双曲线的方程联立，利用根与系数的关系将用表示出来，再根据化简，即可得到双曲线的离心率. 【详解】设，易知直线的方程为，联立方程，得消去得， 故， 因为点且斜率为的直线与的右支交于，两点，则， 即，因为，所以 所以， 的中点的横坐标，， 所以，又， 即，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，，求的值域和单调区间. 【答案】(1) (2)值域为；单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）结合角的范围利用同角三角函数关系求得，然后利用两角差的正弦公式求解即可. （2）先利用两角和差的正弦公式化简函数，然后利用正弦函数性质求解值域和单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. 故 . （2） . 当时，， 所以，故的值域为. 由，解得，所以的单调递增区间为； 由，解得，所以的单调递减区间为. 16．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，，且，，，点满足. (1)当时，证明：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据面面垂直判定定理得出平面底面，再应用面面垂直性质定理证明线面垂直即可； （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面与平面的法向量，再应用二面角的余弦公式计算求解. 【详解】（1）设与交于点，连接，如图. 由，得， 又，所以. 当时，，所以， 又底面，所以底面， 又平面，所以平面底面， 由题意知， 因为，所以， 所以， 所以，即，底面， 又平面底面，所以平面. （2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. 由已知得，，，， 当时，，， 所以，，，. 设平面的法向量为， 则即， 令，则，. 设平面的法向量为， 则即， 令，则，. 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知是数列的前项和，， (1)命题：若 （i） ，则 （ii） . ①是以2为公差的等差数列； ②对任意，. 从①②中选择一个填在（i），另一个填在（ii），使得命题为真命题，并证明.（若写两种选择，则按第一种选择给分） (2)在（1）的条件下，求数列的通项. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】情形一：（1）首先根据等差数列的定义可求出，然后根据与的关系即可证明； （2）根据与的关系即可求解. 情形二：（1）首先根据与的关系求出，然后根据等差数列的定义即可证明； （2）根据与的关系即可求解. 【详解】（1）情形一：选择证明：若是以2为公差的等差数列，则. 若是以2为公差的等差数列， 则， 得到，当时，， 对任意，，.     情形二：选择证明：若对任意，，则是以2为公差的等差数列. 由，得，化简得， 得到是以1为首项，4为公比的等比数列，，     ，， 故是以2为公差的等差数列. （2）情形一：当时，， 当时，，不满足，     . 情形二：当时，， 当时，，不满足， . 18．（2026·山西太原·二模）已知函数. (1)若在处的切线经过点，求的值； (2)讨论函数零点的个数； (3)若函数有三个不同的零点，求这三个零点的乘积. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)1 【分析】（1）根据导数求切线的斜率和切线的方程来进行参数的求解； （2）通过构建辅助函数，研究辅助函数的单调性，从而判断原函数的单调性，然后根据单调性和极值点来判断函数零点的分布和数量； （3）在已知零点个数和分布的情况下，结合第二问得到的结论，通过发现零点间的关系来进行解答. 【详解】（1），求导可得， 当时，，， 所以在处的切线方程为，即， 因为该切线过点，代入可得，解得. （2）易知，， 令， 判别式，解得，分类讨论， 当时，，，在上单调递减，所以有唯一零点， 当时，，，在上单调递增，所以有唯一零点， 当时，令，则或， 当，，，在和上单调递增， 当，，，在上单调递减， 因为，所以在内的零点是； 因为在上单调递减，所以， 当时，，在内有一个零点， 当时，，在内有一个零点， 综上所述，当或时，有一个零点，当时，有三个不同零点. （3）由（2）可知，当时，有三个不同零点， 即在内的零点是，在和内各有一个零点， 设两个零点分别为，， 代入可得，， ，且， 因为在内有一个零点，所以， 所以的三个不同零点的乘积为. 19．（2026·重庆·模拟预测）已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条直线交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由点在曲线上，求得，再由，利用抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可求解; （2）①设的斜率为，得到的斜率为，得到和的方程，联立方程组，利用弦长公式分别求得，代入运算，即可得证; ②由，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由抛物线 , 可得焦点 , 准线为 , 因为点 , 可得 , 解得 , 又因为 , 由抛物线的定义, 可得 , 解得 ,所以抛物线 的方程为 . （2）①由(1)知 , 由题可知直线 斜率均存在且不为 , 否则必有一条直线与抛物线 只有一个交点, 不符合题意. 设 的斜率为 , 因为 , 则 的斜率为 , 则 的方程为 , 联立方程组 整理得 , 设 , 则 , , 则 同理可得: , 所以 所以 为定值 . ②因为，所以四边形的面积为， 由①知：， 所以， 令，则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为288. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $