2026年高考数学模拟卷（三）（全国Ⅰ卷）

**基本信息** 2026年高考数学模拟卷（适用11省份），覆盖集合、复数、立体几何等主干知识，以人工智能训练系统等真实情境设计综合性试题，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算、复数运算、向量垂直、等差数列|单选注重基础，多选结合函数图象分析（如第9题），体现数学眼光| |填空题|3/15|数列求和、圆的相交、函数零点|第14题含双空，考查函数与方程思想，培养数学思维| |解答题|5/77|解三角形、数列插项、概率应用、解析几何综合、函数探究|第17题结合人工智能情境考概率期望，第19题函数证明体现逻辑推理，突出数学语言表达|

2026年高考数学模拟卷（三） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，， . 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知复数，，a，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则， 所以，解得，则. 3．（2026·江西·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 由，得， 所以，解得． 4．（2026·湖南岳阳·二模）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（   ） A． B． C．26 D．24 【答案】C 【分析】根据等比中项结合等差数列通项公式可得，，再结合的正负性以及等差数列性质运算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则，且， 即，整理可得，解得或（舍去）， 可得， 令，解得， 所以数列的前6项和为. 5．（2026·山东德州·二模）一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得的平均数为，故，故AB错误； 又 ，而不全相等，故， 所以，故C正确，D错误. 6．（2026·江西南昌·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据正弦定理及余弦定理得到，结合同角的平方和关系求出，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】由及正弦定理得，， 由余弦定理得，所以， 又，所以. 又，所以. 所以. 7．（2026·山东德州·二模）已知为正实数，为实数，则“”的充要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反例判断ABC，根据函数单调性判断D. 【详解】对于AB，若，此时且 则推不出，也推不出，故AB错误； 取，成立，但，故C也错误； 设， 因为均为上的增函数，故为上的增函数， 故时必有即； 而即，故， 故是的充要条件，D正确. 8．（2026·重庆·二模）球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得球的半径以及平面截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果. 【详解】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为. 由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为. 到的距离，则球缺的高. 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·山东德州·二模）如图，函数的图象上有两点，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 【答案】ABC 【分析】根据两点题设中图象的对称性可求初相位和，然后逐项判断后可得正确的选项. 【详解】因为，故即，而在上升曲线段中， 故，而，故，故A正确； 而，由图形结合对称性可得为轴右侧的第一条对称轴， 故即即，故B正确； 故， 当时，，而在上为减函数， 故在上为减函数，故C正确； 又，设， 而，故为奇函数，故D错误. 10．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（   ） A．若是的中点，则直线与是异面直线 B．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 C．与平面BCE所成角为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【分析】A应用正方体的结构特征及平行线的传递性判断；B由平面的基本性质画出截面图，并确定其形状，进而求出截面图形的周长判断；C利用线面垂直的性质判断与CE是否垂直即可；D构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标并求出球心坐标，进而求出外接球的半径，即可得. 【详解】A，若为的中点，则，， 所以为平行四边形，则， 又，，则为平行四边形， 所以，故，故A错误； B，如图，过，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形， 其中F为的中点（平行则四点共面），则等腰梯形的周长为，B正确. C，， 与不垂直，且平面， 若平面，必有，矛盾，C错误； D，以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设外接球的球心为，则 ， ， ， 联立可得，，， ，，D正确. 11．（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（    ） A． B．的内心在定直线上 C．若，则 D．若，则的面积为 【答案】ABD 【分析】作出符合题意的图形，利用斜率的几何意义得到，结合题意得到进而判断A，联立方程组结合韦达定理得到，最后结合内心的性质判断B，利用二倍角公式并结合方程得到判断C，先确定，再利用弦长公式与点到直线的距离公式得到面积解析式，最后结合角平分线定理建立方程，求解参数，进而得到三角形面积判断D即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以， 解得，则抛物线方程为, 如图，作出符合题意的图形，作轴， 对于A，设，则，由题意得是直线的倾斜角， 由斜率的几何意义得， 由诱导公式得， 由焦半径公式得，在中，可得， 则，故A正确， 对于B，设的方程为，， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则，， 由斜率公式得，， 因为，所以，可得， 则，得到被轴平分， 可得的内心在定直线上，故B正确， 对于C，因为被轴平分，所以， 设，， 因为，所以， 由二倍角公式得，解得（另一根舍去）， 则，联立方程组，解得， 此时，与不符，故C错误， 对于D，因为， 所以或（与题意不符，排除）， 设直线的方程为，设， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则， 由弦长公式得，， 由焦半径公式得，且， 而直线的方程为，设到的距离为， 由点到直线的距离公式得， 则， 因为，所以平分， 由角平分线性质得，可得， 化简得，解得，则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·江西南昌·二模）已知等差数列的前项和为，且，，则________． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质求出公差即可. 【详解】在等差数列中，， 由，得，解得， 由，得，解得， 因此数列的公差为， 所以. 13．（2026·山东潍坊·一模）已知点和圆，若以线段中点为圆心，为半径的圆与交于两点，则__________. 【答案】 【分析】先确定圆心的坐标和圆的半径，再证明为新圆的直径，为直角，结合勾股定理求结论. 【详解】因为圆的方程， 所以圆心的坐标为，圆的半径，， 又点，所以 ，线段的中点坐标为， 新圆以中点为圆心，为半径，因此是新圆的直径， 因为交点在新圆上，所以，即是直角三角形，斜边为， 在中： ，又， 所以 ，故. 14．（2026·山东潍坊·一模）已知函数的图象与直线交于三点，其横坐标分别为，且，则的取值范围是__________；若为中点，则__________. 【答案】 【分析】先对求导，确定的单调性与极值，然后结合函数图象可解第一空，再根据是中点以及确定之间的关系，令，然后建立关于的方程求解第二空. 【详解】的定义域为. ，令，解得. 极小值 当，，，作出的大致图象 要使的图象与直线有3个交点，则. 由题意，为中点，且，即. 由，两边取自然对数，，整理得（i） 由得. 结合中点条件，有，整理得：（ii） 令，则代入（i）得：，，. 再将代入（ii）得：，整理得：. 将代入上式得：，整理得. 由于单调递增，，即，解得. 由于，舍负，，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·广东中山·三模）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求证：； (2)若，的面积为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式证明即可； （2）利用同角三角函数的基本关系，三角形面积公式等建立方程，求出. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，即； （2）因为，， 所以，，，， 所以， 又，所以， 又，所以， 所以，. 16．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式求出及的关系，从而可判断数列的特征； （2）首先求出数列的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前项和． 【详解】（1）， 当时，，解得． 又当时，， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ． （2）， 由题意知，. ， 设数列的前项和为， ， ， 则， 两式相减得：， 即， ． 17．（2026·江西南昌·二模）在一个人工智能训练系统中，初始数据集包含2个正样本和3个负样本，现对这个数据集进行多次操作，每次操作，系统从这个数据集中随机抽取一个样本，若抽到正样本，则将其放回数据集（样本不变）；若抽到负样本，则以的概率通过数据增强将其转化为正样本后放回数据集，以的概率将其放回数据集（仍为负样本）． (1)求经过1次操作后，数据集中正样本个数的可能取值及其概率，并计算期望值； (2)求经过2次操作后，数据集中正样本个数的期望值． 【答案】(1)可能取值为2，3；，， (2) 【分析】（1）判断出的可能取值，并计算相应的概率，代入数学期望公式求解即可. （2）判断出的可能取值，结合条件概率计算相应的概率，代入数学期望公式求解即可. 【详解】（1）设第一次操作后，数据集中正样本个数为，可能取值为2、3． ，， 所以． （2）设第二次操作后，数据集中正样本个数为，可能取值为2，3，4． ， ， ， 所以． 18．（2026·湖南岳阳·二模）如图，椭圆 与抛物线 有相同的焦点，坐标原点为O，椭圆右顶点为A，椭圆与抛物线在第一象限交于点P，在第四象限交于点Q，且. (1)求椭圆方程； (2)若封闭曲线围成的区域面积为S，证明： (3)将封闭曲线绕x轴旋转一周得到一个几何体Ω，在Ω内部有一个以x轴为轴的圆台，圆台体积为 ，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】(1)根据抛物线的焦点求出椭圆的，再根据点的条件列出方程求出即可； (2)利用切线放缩，转化成求多边形面积即可； (3)对圆台位置分类讨论，利用均值不等式或函数求最值即可. 【详解】（1）由抛物线 有相同的焦点为， 从而在椭圆中有，得； 由，故点在的垂直平分线上，由题意， 从而点的横坐标为，代入，得，即， 又点在椭圆上，从而有，即得， 即，解得（负值舍去），从而， 从而所求椭圆方程. （2）由（1）可知，， 如图过点，分别作轴的平行线，分别交轴于， 过点作轴的垂线，交于，交于， 在点分别作抛物线与椭圆的切线，分别交轴于，直线于. 由点在第一象限，可把抛物线表示为，求导得：， 椭圆表示为，求导得， 从而， 从而的表达式为：，得，故， 从而的表达式为：，得，故. 由， 故在第一象限内，直线在抛物线上方； 由，， 令，则 ， 故在第一象限内，直线在椭圆上方； 从而由对称性可知封闭曲线OPAQ围成的区域面积为 即，即可得. （3）当圆台的两底面均在直线的左侧时， 两底面到轴距离分别为，则两底面半径， 从而圆台体积：， 又由均值不等式，当且仅当时取等号，故 ， 即； 当圆台的两底面在直线的两侧时， 两底面到轴距离分别为，则两底面半径， 从而圆台体积： （此处应用的变形）， 而， 又， 当且仅当时，取等号， 而， 故， 从而. 当圆台的两底面在直线的右侧时， 两底面到轴距离分别为，则两底面半径， 从而圆台体积：， （此处应用的变形）， 而 由，，而， 所以， 令，，则， 令，，或（舍去） 在导函数，从而单调递增； 在导函数，从而单调递减； 从而在的最大值为, 从而. 综上，封闭曲线绕x轴旋转一周得到一个几何体Ω，在Ω内部有一个以x轴为轴的圆台，圆台体积为 19．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知函数， (1)求不等式的解集； (2)已知，求的零点个数； (3)若，且，求证：. 【答案】(1) (2)有且仅有一个零点 (3)证明见解析 【分析】（1）应用导数研究函数的单调性，结合区间函数符号及单调性解不等式求解集； （2）利用导数研究的性质，结合零点存在性定理判断零点个数； （3）应用分析法，将问题化为证明，令进一步化为证明，即可证结论. 【详解】（1）已知，对其求导可得，令，解得. 当x变化时，，的变化情况如下表： x - 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 当，，又，， 则不等式的解集为. （2）由题意，的定义域为，且. 当时，；当时，. 故在区间上单调递减，在上单调递增. ，. 当时，，，故； 当时，. 在上单调递增， 当时，有且仅有一个零点. （3）由，得，则， 要证，可证，即证. 令，即证，即证. 下证，先证， 设，，， 当，，在上单调递增，则，即. 令， 则只需证明，又， 则 ， 在上单调递减， 则， 即. 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（三） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知复数，，a，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南岳阳·二模）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（   ） A． B． C．26 D．24 5．（2026·山东德州·二模）一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江西南昌·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．4 7．（2026·山东德州·二模）已知为正实数，为实数，则“”的充要条件可以是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·二模）球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·山东德州·二模）如图，函数的图象上有两点，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 10．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（   ） A．若是的中点，则直线与是异面直线 B．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 C．与平面BCE所成角为 D．三棱锥的外接球的表面积为 11．（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（    ） A． B．的内心在定直线上 C．若，则 D．若，则的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·江西南昌·二模）已知等差数列的前项和为，且，，则________． 13．（2026·山东潍坊·一模）已知点和圆，若以线段中点为圆心，为半径的圆与交于两点，则__________. 14．（2026·山东潍坊·一模）已知函数的图象与直线交于三点，其横坐标分别为，且，则的取值范围是__________；若为中点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·广东中山·三模）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求证：； (2)若，的面积为，求. 16．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 17．（2026·江西南昌·二模）在一个人工智能训练系统中，初始数据集包含2个正样本和3个负样本，现对这个数据集进行多次操作，每次操作，系统从这个数据集中随机抽取一个样本，若抽到正样本，则将其放回数据集（样本不变）；若抽到负样本，则以的概率通过数据增强将其转化为正样本后放回数据集，以的概率将其放回数据集（仍为负样本）． (1)求经过1次操作后，数据集中正样本个数的可能取值及其概率，并计算期望值； (2)求经过2次操作后，数据集中正样本个数的期望值． 18．（2026·湖南岳阳·二模）如图，椭圆 与抛物线 有相同的焦点，坐标原点为O，椭圆右顶点为A，椭圆与抛物线在第一象限交于点P，在第四象限交于点Q，且. (1)求椭圆方程； (2)若封闭曲线围成的区域面积为S，证明： (3)将封闭曲线绕x轴旋转一周得到一个几何体Ω，在Ω内部有一个以x轴为轴的圆台，圆台体积为 ，证明：. 19．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知函数， (1)求不等式的解集； (2)已知，求的零点个数； (3)若，且，求证：. 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $