必刷模拟卷09 -备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷（全国二卷通用）

**基本信息** 本卷为2026年高考数学仿真模拟卷，以“三会”素养为导向，通过祖暅原理、排球运动等文化与生活情境，覆盖函数、几何、统计等核心模块，解答题分层设计，适配三轮冲刺实战需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、椭圆、正态分布等|第6题结合海南“排球之乡”背景考查数列求和，体现文化传承| |填空题|3题/15分|向量垂直、导数切线、祖暅原理|第14题以冷却塔为模型，用祖暅原理求旋转体体积，融合数学史与应用| |解答题|5题/77分|统计（独立性检验）、数列（裂项求和）、导数（不等式证明）等|导数题三问递进考查单调性、切线证明及不等关系，强化逻辑推理与创新思维|

2026年高考模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2,选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 、 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 蝇 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A]B][C]D] 翰 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 戡 4[A][B][C][D] 8[A]B][C][D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C]D] 氧 三、填空题（每小题5分，共15分） 的 12. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2贡（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3所（共6所）一 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 01 --- D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $精选各地好题新题 贴合考场实战难度 备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷 必刷模拟卷09·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C C B A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABC AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．-3 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为，所以的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 16．（15分） 【详解】（1）因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 17．（15分） 【详解】（1）依题意有，解得， 故椭圆的方程为． （2）（i）由（1）得，设（）， 为中点，故， 直线过原点和，斜率， 已知过，故， 所以，即， 代入椭圆方程，整理得， 解得（舍去，对应，点在轴上）或，得， 故点的坐标为，又点的坐标为， 所以， （ii）由（1）得，设（）， 由（i）直线方程为，取可得， 所以直线与交点为， 因为的斜率，直线的斜率， 所以， 由在椭圆上得， 所以， 所以. 18．（17分） 【详解】（1）在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，所以平面. （2）（i）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，，得， 解得，则，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， ，由点到直线的距离是1， 得，则，而，解得， 所以. （ii），，设平面的法向量为， 则，取，得，设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（17分） 【详解】（1）， 由， 当时，，即在为增函数； 当时，，即在为减函数. 所以的递增区间为，递减区间为； （2）由，解得， 又因为，则， 所以切线方程为， 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 可知在为增函数，在为减函数， 故，所以； （3）由（1）可知， ①若，则， 不符合题意； 所以， ②若，则， ③若，，又因为在为减函数， 所以，所以， 综上所述， 又因为，由， 所以， 即，即， 设， 所以， 方法一：设，所以， 因为在为单调递增， 当时，，，， 所以存在，使得，即， 又因为，，即在为减函数； 又因为，，即在为增函数； 所以， 又因为，则有， 又因为， ， 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 方法二： 设，因为在单调递增， 又因为所以 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $精选各地好题新题 贴合考场实战难度 备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷 必刷模拟卷09 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若全集，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数z满足 则 （    ） A． B． C． D． 3．若，则所在的范围是（   ） A． B． C． D． 4．若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 6．海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（   ） A． B． C． D． 7．已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知展开式的二项式系数之和为256，则（   ） A． B．展开式的所有项的系数之和为256 C．展开式的常数项为 D．展开式中的系数为 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．直线与直线是异面直线 11．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．有且只有一个零点 B．点为曲线的对称中心 C．曲线在点处的切线方程为 D．， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则_____. 13．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 14．祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为____________．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16．（15分）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 17．（15分）椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，椭圆上有一动点（不在轴上），为线段的中点，直线与直线相交于点． （i）当点的坐标为时，求； （ii）证明：． 18．（17分）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且． (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是1． （i）求的长度； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： (3)当时，设，且满足，求证：. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷 : 必刷模拟卷09 : (考试时间：120分钟 O 试卷满分：150分) .! 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.若全集U={L,2,3,4,5,6,7},M={2,3,4},N={1,4,5},则M∩(CyN)=() A.☑ B.{2) C.{2,3} D.{2,3,4} : 2.若复数z满足 =i,则z=() 3-2i A.3-2i B.3+2i C.2+3i D.2-3i 3.若3=2，则a所在的范围是() : A.(-1,0) B. c. D.(1,2) 4. 若椭圆C的长轴长是短轴长的√5倍，则椭圆C的离心率为() : : A. c.25 D.5 : B 5 5.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=60°，bc=6 sin BcosC, cos Bsin C= 则 6 : VABC的面积为() : : A.1 B. C.35 3 D.35 : 6.海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”.已知一个排球从4高的高度自由 落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的；，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是() : : 23 93 A. -m B. 4m C. m D.3 : 8 4 7已知随舰变量X-Naa,且Y~86p)PX产引且2E(x)=D2).则P=() 6 B.4 C.3 D. 试题第1页（共6页） 8.已知函数f(x)=x2+2ax-1与g(x)=e+b的图象在x=0处的切线重合，则a+b=() A.e-1 B.e+1 C.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知(3x-1)”展开式的二项式系数之和为256，则() A.n=8 B.(3x-1)”展开式的所有项的系数之和为256 C.(3x-1)”展开式的常数项为-1 D.(3x-1)"展开式中x的系数为-27C 10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别为棱CD,CC的中点，则下列结论正 确的是() D M C A∠ -----s. 万 B A.AM⊥ND, B.点B到直线AM的距离为42 C.直线AM与直线BW所成角的余弦值为2 5 D.直线A,M与直线BN是异面直线 1.已知函数f()-e(2x+,则下列说法正确的有《) A.f(x)有且只有一个零点 B.点(0,2)为曲线y=f(x)的对称中心 C.曲线y=f(x)在点(1,3e)处的切线方程为y=2ex+e D.3x<0<x2,f(x)>f(x2) 第二部分（非选择题共92分） 试题第2页（共6页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,3),万=(1，k),若a1(a+),则k= 13.已知函数()=21x-是的图象在x=1处的切线与直线x-4y-2=0垂直，则a- 14.祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理， 即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面 积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形 可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）.现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形 的双曲线方程为x2_ 4=1（-2≤y≤1)，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用祖昨原理算得此 冷却塔的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使 用者和乙地的200名使用者进行问卷调查， 统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关： (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽 取4人进一步调研，记4人中乙地人数为X,求X的分布列和数学期望. 附录：K2 n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥k) 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 试题第3页（共6页） 16.(15分)已知数列{o,}的前n项和为S,且a=1,SS= n+1n2 (1)求S (2)若6，=(-1)2+1 求数列{bn}的前n项和. aant 卡 O 张 口.I5分)椭圆℃。+〔Q>>0的右焦点为F,左顶点为4，上顶点为8，离心率为 2 ,△ABF 的面积为V2+1 加 2 (1)求椭圆C的方程： 数 数 (2)设O为坐标原点，椭圆C上有一动点D(不在x轴上)，E为线段AD的中点，直线OE与直线x=2相交 烯 于点M. (i)当点M的坐标为(2，-2)时，求AD: (ii)证明：MF⊥AD. 18.(17分)如图，PB是圆柱OO的母线，四边形ABCD是底面内接正方形.点E,F是棱BC,CD上的动 .! 跟 点(E,F不与端点重合)，且CE=DF. 学 NL-3B (I)证明：AE⊥平面PBF; (2)已知圆柱OO,的体积为π，PB=2,点A到直线PF的距离是1. (i)求CE的长度； (ii)求直线CD与平面PAE所成角的正弦值. : 试题第4页（共6页） : 19.(17分)己知函数f(x)=-xnx+(lna+1)x. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)设函数f(x)的零点为x,设曲线y=f(x)在(，0)处的切线为y=kx+m,求证： 3)当上≤a≤1时，设x,e(0,+),且满足f)-f()=1,求证：e-e> : ... .: ..0 桨 试题第5页（共6页） f(x)≤c+m. 试题第6页（共6页）精选各地好题新题贴合考场实战难度 备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷 必刷模拟卷09 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.若全集U={1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,4,N=1,4,5},则M∩(CN)=() A. B.{2} C.2,3} D.{2,3,4} 2若复数：满足，2i则=() A.3-2i B.3+2i C.2+3i D.2-3i 3.若3a=2,则a所在的范围是() A.(-1,0) B. c.( D.(12) 4.若椭圆C的长轴长是短轴长的5倍，则椭圆C的离心率为() 4 A.5 B. c.25 D.⑤ 5 5 5.记vABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,A=60,kc=6 6sin o,cos BsinC-5, ,则VABC 6 的面积为() A.1 B. 3-2 c.35 D.33 2 6.海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为排球之乡”.已知一个排球从4高的高度自由 落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的号，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是() B. 47 93 4 C. D.3 7已知能机变量x~),且6，p)Px到号且2()D2).则P() A.d B.4 D. 第1页共5页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 8.已知函数f(x)=x2+2ax-1与g(x)=e*+b的图象在x=0处的切线重合，则a+b=() A.e-1 B.e+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知(3x-1)”展开式的二项式系数之和为256，则() A.n=8 B.(3x-1)”展开式的所有项的系数之和为256 C.3.x-1)”展开式的常数项为-1 D.3.x-1)”展开式中x2的系数为-27C 10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，M,N分别为棱C1D,CC的中点，则下列结论正 确的是() D A B A.AM⊥ND, B.点B到直线AM的距离为 3 C.直线AM与直线BN所成角的余弦值为25 D.直线AM与直线BN是异面直线 1.已知函数/)=e(2x+山，则下列说法正确的有《) A.f(x)有且只有一个零点 B.点(0,2)为曲线y=f(x)的对称中心 C.曲线y=f(x)在点(1,3e)处的切线方程为y=2ex+e D.x<0<x2,f()>f(x) 第二部分（非选择题共92分） 第2页共5页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,3),万=(1，k),若a1(a+b),则k=一 13.已知函数f()=2r-是的图象在x=1处的切线与直线x-4y-2=0垂直，则a= 14.祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理， 即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面 积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形 可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）.现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形 的双曲线方程为：_卫=1(-2≤y≤1)，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此 4 冷却塔的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用 者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关： (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽 取4人进一步调研，记4人中乙地人数为X,求X的分布列和数学期望 附录：K2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥k) 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 Ko 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 第3页共5页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 16.(15分)已知数列{a}的前n项和为S,且a=1, S-S=1 n+1n2 (1)求S (2若6=（←12+1 求数列}的前n项和. aC4+1 1以.《15分)躺圆C芒+卡-(ab>0的有金点为，在顶点为4，上顶点为，高心率为 ,△ABF 2 的面积为V② 2 (1)求椭圆C的方程： (2)设O为坐标原点，椭圆C上有一动点D(不在x轴上)，E为线段AD的中点，直线OE与直线x=2相交 于点M. (i)当点M的坐标为(2，-2)时，求AD: (ii)证明：MF⊥AD. 18.(17分)如图，PB是圆柱OO的母线，四边形ABCD是底面内接正方形.点E,F是棱BC,CD上的动点 (E,F不与端点重合)，且CE=DF. =B (1)证明：AE⊥平面PBF; (2)己知圆柱OO的体积为π，PB=2,点A到直线PF的距离是1. (i)求CE的长度： (i)求直线CD与平面PAE所成角的正弦值. 第4页共5页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 19.(17分)已知函数f(x)=-xnx+(lna+1)x (1)求函数f(x)的单调区间： (2)设函数∫(x)的零点为x,设曲线y=∫(x)在(x,O)处的切线为y=x+m,求证：f(x)≤k+ (③)当。≤a≤1时，设%e0+),且满足f()f()-1,求证：e-e> 第5页共5页………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷 必刷模拟卷09 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若全集，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数z满足 则 （    ） A． B． C． D． 3．若，则所在的范围是（   ） A． B． C． D． 4．若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 6．海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（   ） A． B． C． D． 7．已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知展开式的二项式系数之和为256，则（   ） A． B．展开式的所有项的系数之和为256 C．展开式的常数项为 D．展开式中的系数为 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．直线与直线是异面直线 11．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．有且只有一个零点 B．点为曲线的对称中心 C．曲线在点处的切线方程为 D．， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则_____. 13．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 14．祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为____________．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16．（15分）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 17．（15分）椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，椭圆上有一动点（不在轴上），为线段的中点，直线与直线相交于点． （i）当点的坐标为时，求； （ii）证明：． 18．（17分）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且． (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是1． （i）求的长度； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： (3)当时，设，且满足，求证：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $精选各地好题新题 贴合考场实战难度 备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷 必刷模拟卷09 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照集合间的运算的定义计算即可. 【详解】 ，. 故选：C 2．若复数z满足 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法法则和共轭复数的定义可得. 【详解】由，所以，所以. 3．若，则所在的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，即，所以. 4．若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求出之间的关系，结合离心率，即可求得答案. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为， 由于椭圆的长轴长是短轴长的倍，故，即， 故椭圆的离心率为. 5．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 6．海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件列算式计算数据即可. 【详解】依题意可得，这个排球第5次着地时，它经过的总路程为： ， 故选：A. 7．已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 8．已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义结合题意列方程求解即可. 【详解】，. 由题意知，即，解得. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知展开式的二项式系数之和为256，则（   ） A． B．展开式的所有项的系数之和为256 C．展开式的常数项为 D．展开式中的系数为 【答案】ABD 【分析】借助二项式系数和公式计算可得A；借助赋值法，令计算可得B；借助赋值法，令计算可得C；借助二项式的展开式的通项公式计算可得D. 【详解】因为展开式的二项式系数之和为256，所以，则，故A正确； 令，得，展开式的所有项的系数之和为256，故B正确； 令，得，所以常数项为1，故C不正确； 展开式的通项， 令，得，故D正确． 故选：ABD. 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．直线与直线是异面直线 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用向量法求出点到直线距离判断B；利用线线角的向量法求解判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 点， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，点到直线的距离为，B正确； 对于C，，直线与所成角的余弦值，C正确； 对于D，，即，又直线， 因此直线直线，点共面，直线与直线不是异面直线，D错误. 11．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．有且只有一个零点 B．点为曲线的对称中心 C．曲线在点处的切线方程为 D．， 【答案】AC 【分析】对A：令，解出即可得；对B：举出反例即可得；对C：借助导数的几何意义计算即可得；对D：利用导数研究函数单调性，求出时的最大值与时的最小值即可得. 【详解】对A：令，解得， 故有且只有一个零点，故A正确； 对B：由， 故点不为曲线的对称中心，故B错误； 对C：因，则， 故曲线在点处的切线方程为，故C正确； 对D：因函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在、上单调递减， 则当时，，当时，， 故不存在，使得，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则_____. 【答案】 【分析】求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算可得答案. 【详解】向量，，所以， 若，则， 解得. 13．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 【答案】-3 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由求导可得，则， 因为该切线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 14．祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为____________．    【答案】 【分析】由直线，其中，分别联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解 【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为， 由直线，其中，    联立方程组，解得， 联立方程组，解得， 所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为， 根据“幂势既同，则积不容异”， 可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同， 所以该几何体的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)认为使用者的满意度与区域无关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即得结果. （2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为，所以的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 16．（15分）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 17．（15分）椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，椭圆上有一动点（不在轴上），为线段的中点，直线与直线相交于点． （i）当点的坐标为时，求； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据题意列方程组求出a，b的值得出椭圆方程； （2）（i）设（），求点的坐标，直线的方程，联立求点的坐标，利用两点距离公式求结论； （ii）先求点的坐标，再求直线的斜率，证明两直线斜率乘积为即可. 【详解】（1）依题意有，解得， 故椭圆的方程为． （2）（i）由（1）得，设（）， 为中点，故， 直线过原点和，斜率， 已知过，故， 所以，即， 代入椭圆方程，整理得， 解得（舍去，对应，点在轴上）或，得， 故点的坐标为，又点的坐标为， 所以， （ii）由（1）得，设（）， 由（i）直线方程为，取可得， 所以直线与交点为， 因为的斜率，直线的斜率， 所以， 由在椭圆上得， 所以， 所以. 18．（17分）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且． (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是1． （i）求的长度； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证. （2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法列式求出；（ii）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，所以平面. （2）（i）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，，得， 解得，则，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， ，由点到直线的距离是1， 得，则，而，解得， 所以. （ii），，设平面的法向量为， 则，取，得，设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（17分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： (3)当时，设，且满足，求证：. 【答案】(1)在为增函数；在为减函数； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求函数单调区间； （2）求出切线方程，构造函数，利用导数求最值，即可得证； （3）分类讨论证明，结合条件不等式可转化为，构造函数，求导后，利用不同方法证明在为增函数，即可得证. 【详解】（1）， 由， 当时，，即在为增函数； 当时，，即在为减函数. 所以的递增区间为，递减区间为； （2）由，解得， 又因为，则， 所以切线方程为， 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 可知在为增函数，在为减函数， 故，所以； （3）由（1）可知， ①若，则， 不符合题意； 所以， ②若，则， ③若，，又因为在为减函数， 所以，所以， 综上所述， 又因为，由， 所以， 即，即， 设， 所以， 方法一：设，所以， 因为在为单调递增， 当时，，，， 所以存在，使得，即， 又因为，，即在为减函数； 又因为，，即在为增函数； 所以， 又因为，则有， 又因为， ， 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 方法二： 设，因为在单调递增， 又因为所以 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $