专题05 空间直线、平面的平行（3大题型27题）（期末真题汇编，河南专用）高一数学下学期

专题05 空间直线、平面的平行 3大题型概览 题型01直线、平面平行的判定 题型02直线、平面平行的证明 题型03直线、平面平行的应用 ( 地 城 题型 01 直线、平面平行的判断 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D C D C C D AC ACD ACD ( 题型 0 2 直线、平面平行的证明 ) 1.【解析】（1）证明：连结.如下图示： 根据题意可知：、O分别为、的中点, . 又平面,平面, 平面． （2）,P为的中点, ． 又S为圆锥顶点,O是圆锥底面圆的圆心, 根据圆锥的性质可得：平面,又平面, 所以, , 圆锥的表面积． 2.【解析】（1）因为直三棱柱中,,所以 所以,, 所以直三棱柱的表面积为平方米. 所以所需油漆总费用为元. （2）如图,连接交于点F,连接DF, 则F为矩形对角线的交点,. 又点D为的中点,所以, 因为平面平面,所以平面. 3.【解析】（1）连接,交于点,连接,由题意可得为的中点, 因为是的中点,则, 又平面,平面,所以平面； （2）因是的中点,是的中点,则, 因,则,则四边形为平行四边形, 则,所以或其补角等于直线与直线所成角, 设正方体棱长为2, 则在和中,, 又, 则在中利用余弦定理可得,, 所以直线与直线所成角的余弦值为． 4.【解析】（1）（i）证明：因为平面,平面,,, 所以, 由于平行线分线段成比例,所以,即． （ii）证明：记, 因为平面,平面,,,所以,故,同理有,所以, 又因为,所以, 由于是圆柱下底面圆周上的任意两点,故结论具有一般性, 所以截所得的图形是以为圆心的圆． （2）解：因为（1）中圆柱是任意的,且只要保持斜圆锥的顶点Q在圆柱上底面所在平面内, 则（1）中结论具有一般性．故在（2）中可以沿用（1）中的构造, 令斜圆锥的顶点Q除去在圆柱上底面圆周的限制,保留在圆柱上底面所在平面内, 设即为（2）中所述的斜圆锥,圆柱的高为,  记,由（1）知,  令,所以截所得的圆的半径为, 在圆锥中,截所得的圆的半径同样为, 由于是任意的,故截所得的圆其面积始终等于截所得的圆, 由祖暅原理,圆锥与斜圆锥同高,且在同高处截面的面积均相等, 所以圆锥与斜圆锥体积相等, 由于圆锥的体积为,其中h是顶点到底面的距离,所以,可得, 所以斜圆锥的体积为． 5.【解析】（1）在正方体中,是中点, 连接BD交AC于O,连接OE,显然O是的中点,则, 又平面,平面,所以平面. （2）显然两两垂直,而,则, 又是的中点,则,, 所以三棱锥的表面积为； 体积为. 6.【解析】（1）在四棱锥中,平面,平面,平面, 平面平面,所以； （2）如下图,取为中点,连接,由E是PD的中点, 所以且,由（1）知,又, 所以且,所以四边形为平行四边形,故, 而平面,平面,则平面. （3）取中点N,连接,, 因为E,N分别为,的中点,所以, 因为平面,平面,所以平面, 线段存在点N,使得平面,理由如下： 由（2）知：平面,又,平面,平面, 所以平面平面,又M是上的动点,平面, 所以平面,所以线段存在点N,使得平面. 7.【解析】（1）在四棱锥中,连接,由底面是平行四边形,得是的中点. 而是的中点,则,又平面,平面,则平面, 而平面平面,平面,所以. （2）由,分别是,中点,得, 又平面,平面,则平面, 由（1）知,又平面,平面,则平面, 又,平面,所以平面平面. 8.【解析】（1）证明：连接,,,则为中点, 又为的中点,所以, 在正方体中,,所以, 又平面,平面,所以平面. （2）设交于点,连接并延长交的延长线于, 平面,平面,平面平面, ,又,所以四边形为平行四边形, 则,又,所以, 又,所以, ,, 所以,因,则可得. 9.【解析】（1）因,, 则为线段靠近点的三等分点,为线段靠近点的三等分点, 则, 又平面,平面,则平面, 又因四点共面,则平面,平面平面, 则,则, 又,所以底面为梯形. （2）存在,为上靠近点的三等分点,证明如下： 连接,,因为上靠近点的三等分点,则, 因且,则且, 所以四边形为平行四边形,则, 因平面,平面,则平面, 因,平面,平面,则平面, 又,平面,平面,则平面平面, 因为上的动点,则平面,则平面. ( 题型 0 3 直线、平面平行的应用 ) 1 2 3 4 5 B C D D A 6. 7. 8.平行 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 空间直线、平面的平行 3大题型概览 题型01直线、平面平行的判定 题型02直线、平面平行的证明 题型03直线、平面平行的应用 ( 题型 01 直线、平面平行的判断 ) 1．（24-25高一下·河南省周口市鹿邑县·期末）已知直线与平面没有公共点,直线,则与的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 2．（24-25高一下·河南省郑州市·期末）已知直线a和平面,若,则下列说法正确的是（    ）． A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,,则 3．（24-25高一下·河南省安阳市滑县·期末）已知为两个不同的平面,则的必要不充分条件是（    ） A．平行于同一条直线 B．平行于同一平面 C．内有无数条直线与平行 D．内有两条相交直线与平行 4．（24-25高一下·河南省新未来·期末）已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,则下列说法正确的是（   ） A．若,,,则 B．若,,则 C．若,,,则 D．若,,,则 5．（24-25高一下·河南省商丘市·期末）已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,下列说法正确的是（    ） A．若上有两点到平面距离相等,则 B．若,则与是异面直线 C．若,则与没有公共点 D．若,则与一定相交 6．（24-25高一下·河南省商丘市·期末）设、是两个不重合的平面,则的一个充分条件为（    ） A．平面内有无数个点到平面的距离相等 B．平面内有无数条直线与平面平行 C．两条异面直线同时与平面,都平行 D．两条平行直线同时与平面,都平行 7.（24-25高一下·河南省郑州市中牟县·期末）已知是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 8.（多选）（24-25高一下·河南省南阳市镇平县·期末）设是给定的平面,A,B是不在内的任意两点,则下列命题一定是真命题的是（    ） A．在内存在直线与直线异面 B．在内存在直线与直线相交 C．存在过直线的平面与相交 D．存在过直线的平面与平行 9.（多选）（24-25高一下·河南省邓州市·期末）下列语句中,错误的为（    ） A．一条直线和另一条直线平行,它和经过另一条直线的任何平面平行 B．一条直线和一个平面平行,它和这个平面内的无数直线平行 C．过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条 D．平行于同一个平面的两条直线互相平行 10．（多选）（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）如图,在棱长为2的正方体中,为线段的中点,为线段上的动点（含端点）,则下列结论正确的有（   ） A．过,,三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点,使得直线平面 C．当在线段上运动时,三棱锥的体积不变 D．的最小值为 ( 题型 0 2 直线、平面平行的证明 ) 1.（24-25高一下·河南省三门峡市·期末）如图,S为圆锥顶点,O是圆锥底面圆的圆心,、为底面圆的两条直径,且,,P为的中点． (1)求证：平面； (2)求圆锥的表面积． 2.（24-25高一下·河南省许昌市杞县·期末）某建筑物模型的外观是如图所示的直三棱柱米,米,米. (1)现需使用油漆对该模型的表面（含底面ABC）进行涂层,油漆费用为每平方米20元,求总费用； (2)若D是的中点,证明：平面. 3.（24-25高一下·河南省邓州市·期末）如图,在正方体中,是的中点,是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线夹角的余弦值． 4.（24-25高一下·河南省部分名校·期末）一、斜圆锥,顾名思义,即圆锥锥体中轴线被拉斜后所形成的锥体．保持圆锥的顶点到圆锥底面的距离不变,将顶点位置改变后,所得到的锥体即为斜圆锥． 二、祖暅原理指出：“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等． (1)如图①,已知圆柱的上底面圆心为P,下底面圆心为O,圆锥的顶点为P,底面与圆柱的下底面相同．如图②,Q是圆柱的上底面圆周上一点,将Q与圆柱下底面圆周上的所有点相连,记构成的封闭几何体为斜圆锥．是平行于圆柱底面且与圆柱有交点的平面,A,B是圆柱下底面圆周上的任意两点,,．（图①②的两个圆柱相同） （i）证明：； （ii）证明：平面截斜圆锥所得的图形为圆面． (2)已知斜圆锥的底面半径为r,底面中心与顶点的连线长度为L,且此条连线与底面所成的角为,求该斜圆锥的体积． 5.（24-25高一下·河南省商丘市·期末）已知在正方体中,是中点. (1)求证：平面； (2)设正方体棱长为,求三棱锥的表面积和体积. 6.（24-25高一下·河南省平顶山市·期末）如图所示,在四棱锥中,平面,,E是PD的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若M是线段上一动点,则线段上是否存在点N,使平面？说明理由. 7.（24-25高一下·河南省焦作市九师联盟·期末）如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,点,,分别是,,的中点,平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 8.（24-25高一下·驻马店市一高·期末）如图所示,在这个正方体中,棱长为2,E、F分别为所在棱的中点,点在棱上,且满足. (1)若,求证：平面； (2)若点在线段上,且满足平面,且的取值范围为,求的取值范围. 9.（24-25高一下·河南省新未来·期末）如图,在四棱锥中,,,,且四点共面. (1)求证：底面为梯形； (2)是线段上的动点,线段上是否存在点,使平面？若存在,请给出证明；若不存在,请说明理由. ( 题型 0 3 直线、平面平行的应用 ) 1.（24-25高一下·河南焦作市九师联盟·期末）如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,为正方形内一动点,且平面,则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·河南省青桐鸣联考·期末）如图,在长方体中,,点分别是的中点,则下列说法正确的是（    ） A．此长方体的表面积为112 B．与是相交直线 C．与是异面直线 D．直线与平面相交 3．（24-25高一下·河南省商丘市·期末）如图,在正方体中,点是棱上的一个动点,平面交棱于点,则下列命题中不正确的是（    ） A．存在点,使得平面 B．对于任意点,四边形均为平行四边形 C．四边形的面积随点位置的变化而变化 D．三棱锥的体积随点位置的变化而变化 4．（24-25高一下·河南省郑州·期末）在四棱锥中,底面为平行四边形,E为线段上靠近A的三等分点,F为线段上一点,当平面时,（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南省名校联考·期末）如图,在直三棱柱中,点D,E分别在棱,上,,,点F满足,若平面ACF,则的值为（   ） A． B． C． D． 6.（24-25高一下·河南省洛阳市强基联盟·期末）如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,分别为棱上的点,若,且平面,则____________． 7.（24-25高一下·濮阳市TOP二十名校·期末）已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的球面上,,点为棱的中点,点是侧面内的一点,且平面,则线段的最小值为______． 8.（24-25高一下·河南省名校联考·期末）如图,几何体是四棱锥,为正三角形,,,M为线段AE的中点．则直线MD与平面EBC的位置关系为__________（填相交或平行）．N为线段EB上一点,使得D,M,N,C四点共面,则的值为__________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 空间直线、平面的平行 3大题型概览 题型01直线、平面平行的判定 题型02直线、平面平行的证明 题型03直线、平面平行的应用 ( 题型 01 直线、平面平行的判断 ) 1．（24-25高一下·河南省周口市鹿邑县·期末）已知直线与平面没有公共点,直线,则与的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【答案】D 【解析】依题意可知,而,所以a,b没有公共点,a与b可能异面或平行.故选D. 2．（24-25高一下·河南省郑州市·期末）已知直线a和平面,若,则下列说法正确的是（    ）． A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,,则 【答案】D 【解析】A：,,则平行或异面,错；B：,,则或,错；C：,,则可能平行、相交、异面,错；D：,则平面中必存在一条直线,而,则,,,故,对.故选D. 3．（24-25高一下·河南省安阳市滑县·期末）已知为两个不同的平面,则的必要不充分条件是（    ） A．平行于同一条直线 B．平行于同一平面 C．内有无数条直线与平行 D．内有两条相交直线与平行 【答案】C 【解析】对于A,若平面平行于同一条直线,则平面可能平行,也可能相交,若,当直线时,,此时不平行于同一条直线,所以“平行于同一条直线”不是“”的必要不充分条件； 对于B,易得“平行于同一平面”是“”的充要条件；对于C,若内有无数条直线与平行,则平面可能平行,也可能相交,若,则内一定有无数条直线与平行,所以“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件；对于D,由面面平行的判定定理知,“内有两条相交直线与平行”是“”的充分条件,由面面平行的性质知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内有两条相交直线与平行,所以“内有两条相交直线与平行”是“”的充要条件．故选C. 4．（24-25高一下·河南省新未来·期末）已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,则下列说法正确的是（   ） A．若,,,则 B．若,,则 C．若,,,则 D．若,,,则 【答案】D 【解析】对于A：根据面面平行判定定理,直线应为相交直线,故A错误；对于B：直线可能在平面α内,故B错误；对于C：若,,,则与β垂直、平行,相交不垂直或,故C错误；对于D：若,,,则,故D正确．故选D． 5．（24-25高一下·河南省商丘市·期末）已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,下列说法正确的是（    ） A．若上有两点到平面距离相等,则 B．若,则与是异面直线 C．若,则与没有公共点 D．若,则与一定相交 【答案】C 【解析】对于A,上有两点到平面距离相等,平面可以过这两点的中点,此时与相交,A错误； 对于BC,,则没有公共点,由,得与没有公共点,与是平行直线或者是异面直线,C正确,B错误；对于D,,则或与是相交直线,当时,,D错误.故选C. 6．（24-25高一下·河南省商丘市·期末）设、是两个不重合的平面,则的一个充分条件为（    ） A．平面内有无数个点到平面的距离相等 B．平面内有无数条直线与平面平行 C．两条异面直线同时与平面,都平行 D．两条平行直线同时与平面,都平行 【答案】C 【解析】对于A,当平面与平面相交时,平面内平行于平面的直线上有无数个点到平面的距离相等,A错误；对于B,当平面与平面相交时,平面内有无数条直线与平面平行,B错误； 对于C,在空间取一点O,作两条异面直线的平行线,则确定一个平面,由面面平行的判定定理可知,,,所以,C正确；对于D,若平面与平面相交,存在两条平行直线同时与平面,都平行,D错误．故选C． 7.（24-25高一下·河南省郑州市中牟县·期末）已知是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【解析】对于A：平面内有一条直线与平面平行,可能平行,也可能相交,对于B：平面内有两条直线与平面平行,可能平行,也可能相交,对于C：平面内有无数条直线与平面平行,可能平行,也可能相交,对于D：平面内有两条相交直线与平面平行,则,面面平行判定定理, 故选D. 8.（多选）（24-25高一下·河南省南阳市镇平县·期末）设是给定的平面,A,B是不在内的任意两点,则下列命题一定是真命题的是（    ） A．在内存在直线与直线异面 B．在内存在直线与直线相交 C．存在过直线的平面与相交 D．存在过直线的平面与平行 【答案】AC 【解析】对于A,无论直线与平行,还是相交,在内都存在直线与直线异面,A正确；对于B,当直线与平行时,平面内不存在直线与直线相交,B错误；对于C,无论直线与平行,还是相交,都存在过直线的平面与相交,C正确；对于D,若直线与相交,则不存在过直线的平面与平行,D错误.故选AC. 9.（多选）（24-25高一下·河南省邓州市·期末）下列语句中,错误的为（    ） A．一条直线和另一条直线平行,它和经过另一条直线的任何平面平行 B．一条直线和一个平面平行,它和这个平面内的无数直线平行 C．过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条 D．平行于同一个平面的两条直线互相平行 【答案】ACD 【解析】对A．要求直线必须在平面外,当该直线在平面内时,则不满足线面平行,故A错误．对B．根据线面平行的性质定理可以,这条直线和过该条直线的平面与平面的交线是平行的,所以和无数条直线平行,故B正确；对C．因为在平面外和平面平行的直线有无数条,所以过平面外一点和这个平面平行的直线也有无数条,故C错误对D．平行于同一个平面的两条直线不一定平行,也有可能是相交或异面,故D错误.故选ACD. 10．（多选）（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）如图,在棱长为2的正方体中,为线段的中点,为线段上的动点（含端点）,则下列结论正确的有（   ） A．过,,三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点,使得直线平面 C．当在线段上运动时,三棱锥的体积不变 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A,∵正方体的对面互相平行,∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行,又∵为线段的中点,∴截面交BC于其中点G,连接,则四边形即为所求截面,显然为等腰梯形,且,梯形的高, 面积为,故A正确； 如图所示,设为的中点,因为,平面,平面, 所以平面,假设直线平面,又因为平面, 所以平面平面,又因为平面,所以平面,因为分别为正方形的边的中点,所以,又因为,所以, 所以四边形是平行四边形,所以,而直线与平面相交,所以直线与平面相交,这与平面矛盾,故假设直线平面不成立,故B错误. ∵,平面,不在平面内,∴平面,又∵,∴到平面AD1C的距离为定值,又∵的面积为定值,∴当在线段上运动时,三棱锥的体积不变,故C正确；将等腰直角三角形展开到与矩形在同一平面内, ,当共线时取等号,故D正确. 故选ACD. ( 题型 0 2 直线、平面平行的证明 ) 1.（24-25高一下·河南省三门峡市·期末）如图,S为圆锥顶点,O是圆锥底面圆的圆心,、为底面圆的两条直径,且,,P为的中点． (1)求证：平面； (2)求圆锥的表面积． 【解析】（1）证明：连结.如下图示： 根据题意可知：、O分别为、的中点, . 又平面,平面, 平面． （2）,P为的中点, ． 又S为圆锥顶点,O是圆锥底面圆的圆心, 根据圆锥的性质可得：平面,又平面, 所以, , 圆锥的表面积． 2.（24-25高一下·河南省许昌市杞县·期末）某建筑物模型的外观是如图所示的直三棱柱米,米,米. (1)现需使用油漆对该模型的表面（含底面ABC）进行涂层,油漆费用为每平方米20元,求总费用； (2)若D是的中点,证明：平面. 【解析】（1）因为直三棱柱中,,所以 所以,, 所以直三棱柱的表面积为平方米. 所以所需油漆总费用为元. （2）如图,连接交于点F,连接DF, 则F为矩形对角线的交点,. 又点D为的中点,所以, 因为平面平面,所以平面. 3.（24-25高一下·河南省邓州市·期末）如图,在正方体中,是的中点,是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线夹角的余弦值． 【解析】（1）连接,交于点,连接,由题意可得为的中点, 因为是的中点,则, 又平面,平面,所以平面； （2）因是的中点,是的中点,则, 因,则,则四边形为平行四边形, 则,所以或其补角等于直线与直线所成角, 设正方体棱长为2, 则在和中,, 又, 则在中利用余弦定理可得,, 所以直线与直线所成角的余弦值为． 4.（24-25高一下·河南省部分名校·期末）一、斜圆锥,顾名思义,即圆锥锥体中轴线被拉斜后所形成的锥体．保持圆锥的顶点到圆锥底面的距离不变,将顶点位置改变后,所得到的锥体即为斜圆锥． 二、祖暅原理指出：“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等． (1)如图①,已知圆柱的上底面圆心为P,下底面圆心为O,圆锥的顶点为P,底面与圆柱的下底面相同．如图②,Q是圆柱的上底面圆周上一点,将Q与圆柱下底面圆周上的所有点相连,记构成的封闭几何体为斜圆锥．是平行于圆柱底面且与圆柱有交点的平面,A,B是圆柱下底面圆周上的任意两点,,．（图①②的两个圆柱相同） （i）证明：； （ii）证明：平面截斜圆锥所得的图形为圆面． (2)已知斜圆锥的底面半径为r,底面中心与顶点的连线长度为L,且此条连线与底面所成的角为,求该斜圆锥的体积． 【解析】（1）（i）证明：因为平面,平面,,, 所以, 由于平行线分线段成比例,所以,即． （ii）证明：记, 因为平面,平面,,,所以,故,同理有,所以, 又因为,所以, 由于是圆柱下底面圆周上的任意两点,故结论具有一般性, 所以截所得的图形是以为圆心的圆． （2）解：因为（1）中圆柱是任意的,且只要保持斜圆锥的顶点Q在圆柱上底面所在平面内, 则（1）中结论具有一般性．故在（2）中可以沿用（1）中的构造, 令斜圆锥的顶点Q除去在圆柱上底面圆周的限制,保留在圆柱上底面所在平面内, 设即为（2）中所述的斜圆锥,圆柱的高为,  记,由（1）知,  令,所以截所得的圆的半径为, 在圆锥中,截所得的圆的半径同样为, 由于是任意的,故截所得的圆其面积始终等于截所得的圆, 由祖暅原理,圆锥与斜圆锥同高,且在同高处截面的面积均相等, 所以圆锥与斜圆锥体积相等, 由于圆锥的体积为,其中h是顶点到底面的距离,所以,可得, 所以斜圆锥的体积为． 5.（24-25高一下·河南省商丘市·期末）已知在正方体中,是中点. (1)求证：平面； (2)设正方体棱长为,求三棱锥的表面积和体积. 【解析】（1）在正方体中,是中点, 连接BD交AC于O,连接OE,显然O是的中点,则, 又平面,平面,所以平面. （2）显然两两垂直,而,则, 又是的中点,则,, 所以三棱锥的表面积为； 体积为. 6.（24-25高一下·河南省平顶山市·期末）如图所示,在四棱锥中,平面,,E是PD的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若M是线段上一动点,则线段上是否存在点N,使平面？说明理由. 【解析】（1）在四棱锥中,平面,平面,平面, 平面平面,所以； （2）如下图,取为中点,连接,由E是PD的中点, 所以且,由（1）知,又, 所以且,所以四边形为平行四边形,故, 而平面,平面,则平面. （3）取中点N,连接,, 因为E,N分别为,的中点,所以, 因为平面,平面,所以平面, 线段存在点N,使得平面,理由如下： 由（2）知：平面,又,平面,平面, 所以平面平面,又M是上的动点,平面, 所以平面,所以线段存在点N,使得平面. 7.（24-25高一下·河南省焦作市九师联盟·期末）如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,点,,分别是,,的中点,平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 【解析】（1）在四棱锥中,连接,由底面是平行四边形,得是的中点. 而是的中点,则,又平面,平面,则平面, 而平面平面,平面,所以. （2）由,分别是,中点,得, 又平面,平面,则平面, 由（1）知,又平面,平面,则平面, 又,平面,所以平面平面. 8.（24-25高一下·驻马店市一高·期末）如图所示,在这个正方体中,棱长为2,E、F分别为所在棱的中点,点在棱上,且满足. (1)若,求证：平面； (2)若点在线段上,且满足平面,且的取值范围为,求的取值范围. 【解析】（1）证明：连接,,,则为中点, 又为的中点,所以, 在正方体中,,所以, 又平面,平面,所以平面. （2）设交于点,连接并延长交的延长线于, 平面,平面,平面平面, ,又,所以四边形为平行四边形, 则,又,所以, 又,所以, ,, 所以,因,则可得. 9.（24-25高一下·河南省新未来·期末）如图,在四棱锥中,,,,且四点共面. (1)求证：底面为梯形； (2)是线段上的动点,线段上是否存在点,使平面？若存在,请给出证明；若不存在,请说明理由. 【解析】（1）因,, 则为线段靠近点的三等分点,为线段靠近点的三等分点, 则, 又平面,平面,则平面, 又因四点共面,则平面,平面平面, 则,则, 又,所以底面为梯形. （2）存在,为上靠近点的三等分点,证明如下： 连接,,因为上靠近点的三等分点,则, 因且,则且, 所以四边形为平行四边形,则, 因平面,平面,则平面, 因,平面,平面,则平面, 又,平面,平面,则平面平面, 因为上的动点,则平面,则平面. ( 题型 0 3 直线、平面平行的应用 ) 1.（24-25高一下·河南焦作市九师联盟·期末）如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,为正方形内一动点,且平面,则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】如图,分别取,的中点,,连接,,,,,因为为的中点,得,,则四边形是平行四边形,故,因为平面,平面,故平面,又因为,,则四边形是平行四边形,故,因为,故,平面,平面,可得平面,且,,平面,故平面平面.又因为平面,故平面,故点的轨迹为线段,长为.故选B. 2．（24-25高一下·河南省青桐鸣联考·期末）如图,在长方体中,,点分别是的中点,则下列说法正确的是（    ） A．此长方体的表面积为112 B．与是相交直线 C．与是异面直线 D．直线与平面相交 【答案】C 【解析】此长方体的表面积为,故A错误；连接,因为, 所以四边形为平行四边形,所以,因为平面平面,所以平面,因为平面平面,所以平面,又平面,所以平面平面,又平面平面,所以与无公共点,故B错误；又因为平面,所以直线平面,故D错误.因为平面平面,所以与异面,故C正确.故选C. 3．（24-25高一下·河南省商丘市·期末）如图,在正方体中,点是棱上的一个动点,平面交棱于点,则下列命题中不正确的是（    ） A．存在点,使得平面 B．对于任意点,四边形均为平行四边形 C．四边形的面积随点位置的变化而变化 D．三棱锥的体积随点位置的变化而变化 【答案】D 【解析】对于B,显然四点共面,平面平面,平面平面,平面平面,则,同理可证,即四边形为平行四边形,B正确；对于A,令正方体的棱长为2,当F为的中点时,,即,解得,即E也为的中点,连接,而,则四边形为平行四边形,则,平面平面,因此平面,A正确； 对于C,令,设,则,而, ,四边形面积 ,因此四边形的面积随点位置的变化而变化,C正确；对于D,由,平面,平面,得平面,即点F到平面的距离为定值,而的面积为定值,因此三棱锥的体积为定值,即对于任意点F,三棱锥的体积均不变, D错误． 故选D. 4．（24-25高一下·河南省郑州·期末）在四棱锥中,底面为平行四边形,E为线段上靠近A的三等分点,F为线段上一点,当平面时,（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接交于点,连接,由平面,平面,平面平面, 所以,因为底面为平行四边形,所以,又,则,所以.故选D. 5．（24-25高一下·河南省名校联考·期末）如图,在直三棱柱中,点D,E分别在棱,上,,,点F满足,若平面ACF,则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上取一点使得,连接,与交于一点,即为所求（如图所示）. 证明如下：根据已知,,在直三棱柱中,,且,四边形为平行四边形,,平面,平面,平面,即平面.又,,,即的值为.故选A. 6.（24-25高一下·河南省洛阳市强基联盟·期末）如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,分别为棱上的点,若,且平面,则____________． 【答案】 【解析】如图,连接交于点,连接．因为,所以, 因为平面,平面平面平面,所以,所以． 7.（24-25高一下·濮阳市TOP二十名校·期末）已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的球面上,,点为棱的中点,点是侧面内的一点,且平面,则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】设正三棱柱的外接球的半径为,的外接圆的半径为,所以,解得,又,解得,又,即,解得,取的中点,取的中点,连接,,,如图所示,所以,又平面,平面,所以平面,又为的中点,所以,又平面,平面,所以平面,又,平面,所以平面平面,又点是侧面内一点,且平面,所以在线段上,所以当时,此时线段取得最小值,又 所以,即线段的最小值为． 8.（24-25高一下·河南省名校联考·期末）如图,几何体是四棱锥,为正三角形,,,M为线段AE的中点．则直线MD与平面EBC的位置关系为__________（填相交或平行）．N为线段EB上一点,使得D,M,N,C四点共面,则的值为__________． 【答案】 平行 【解析】记为的中点,连接,如图1,因为分别为的中点,故, 因为平面平面所以平面,又因为为正三角形,所以 ,,又为等腰三角形,,所以,所以,即, 所以,又平面平面所以平面,又,平面,故平面平面,又因为平面,故平面. 延长相交于点,连接交于点,连接,过点作交于点,如图2, 因为平面,平面,平面平面,所以,此时四点共面,设,得,故,又因为,所以,则有,故. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $