安徽芜湖市安徽师范大学附属中学2025～2026学年第二学期期中考查高一数学试题

2025-2026高一下学期期中数学试卷答案 1．B【详解】 2．A【详解】在中，， 由正弦定理得，由，得，所以. 3．C【详解】因为，所以复数的虚部为-3. 4．A【详解】选项A∶过直线作平面，设，  又又 又且．因此A正确． 选项B∶如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行或异面，故B错误； 选项C∶平行于同一条直线的两个平面可能平行也可能相交，故C错误； 选项D∶如果，是两条直线，且，那么平行于经过但不经过的任何平面，故D错误；故选A. 5．D【详解】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 该船到达对岸的时间为分钟，故B错误． 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故D正确； 6. B【详解】由题意，， 所以 ， 如图，原四边形 中，， 则以直角梯形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台，故其表面积为. 7.D【详解】设，由向量在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即；由在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即；即有，解得，则， 则. 8.A【详解】连接BD,与AC交于点O,连接DF,交CE于G,连接OG,由于BF∥平面AEC,BF⊂平面BDF,平面BDF∩平面AEC=OG,所以BF∥OG,由于O是BD的中点,所以==1,过F作FH∥CE,交PD于H,则==1,因为=,所以=,所以==. 9. BC【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错； B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对； C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对； D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错. 10. ACD对于A选项，不妨取，，则，但、不互为共轭复数，A对； 对于B选项，不妨取，，则， 但，，即， B错； 对于C选项，由题意知，解得，得，所以，选项C正确 对于D选项，因为， 所以表示以点为圆心，半径为的圆及其内部， 表示以点为圆心，半径为的圆及其外部，所以点所在的区域如图所示 故点所在的区域的面积为，D对； 11.BD【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：， 在等腰梯形中，因为，，，则. 即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且. 对于A：设为等边的中心，由正四面体的性质可知：侧面，且，即点到底面的距离为， 又因为，，所以正三棱台的高为，故A错误； 对于B，设的内切圆的半径为，则根据等面积法有：，解得，因为正三棱台的高为，的内切圆的半径为，且，所以高为、底面半径为的圆柱可以放进该棱台内，故B正确； 对于C，由A选项知，侧面，且， 因为点在侧面内（包含边界）运动，且 所以， 因为等边三角形的内切圆的半径为， 又，，所以，点在侧面内的轨迹为弧和，而,故，故为等边三角形， 所以，所以点的轨迹长度为，故C错误； 对于D，设正四面体的内切球的半径为， 由等体积法可得，解得， 因为，所以该棱台内最大的球即正四面体的内切球， 又因为，，， 所以为的中点，过点，，的平面正好过该内切球的球心， 所以截面面积为，故D正确． 12. 13. 由题得，大三角形为等边三角形，且易得等腰梯形腰长为1，上底为2，下底为3，大三角形边长为4，由即在上的投影向量与的数量积可知，P在点I时取最小值，P在D处取最大值，可得的取值范围是. 14. 由题 又，令 则 则有，原式取最小值 15．（1）∵，∴，…………………（2分） ∴，∴．…………………（6分） （2），…………………（8分） 由于与垂直，∴，∴．…………………（13分） 16．（1）由， 根据余弦定理，得，…………………（2分） 因为，则.…………………（4分） 由，得， 根据正弦定理，得，则.…………………（7分） (2)由正弦定理可得, 则…………………（11分） 由,得…………………（15分） 17．（1）证明：如图，连接交于点，连接. 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为，也即. 又，则，故.…………………（4分） 且平面，平面，故平面.…………………（7分） （2）解：设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为. 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为.三棱锥P-ABD的体积为，三棱锥P-BDE的体积为 由题有.又，故，即， 则，…………………（11分） 又…………………（13分） 有 即四棱锥与三棱锥的体积之比为…………………（15分） 18. （1）易得，且为正三角形， 所以，.…………………（1分） 以点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系， ， 得，，…………………（3分） 所以.…………………（5分） （2）， 又因为，，三点共线，所以，解得.…………………（8分） ， ，解得，…………………（11分） （3）法一：点为中点，因为， 所以以为直径的圆与圆外切. 因为圆周角大于圆外角， 所以的最大值为. …………………（17分） 法二：设， 且如（1）所建平面直角坐标系，则， ，.…………………（13分） …………………（15分） 当时，取到最小值0， 即向量与的夹角的最大值为…………………（17分） 19. （1）依题意，得，因为点为中点，所以， 又在靠近岛屿的的三等分点上所以， 又，所以，…………………（2分） ；…………………（4分） （2）依题意，得，即， 由可得，则，…………………（6分） 又，所以，…………………（7分） 所以= ，所以岛屿到补给站的距离；…………………（10分） （3）由，可得， 即， 可得，即，……………（12分） 设，由正弦定理知， 而 =，所以，…………………（15分） 因为，所以，得， 所以当，即时，取得最小值144， 即的最小值为12，所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为12公里．…………（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $安徽师范大学附属中学 2025-2026学年度 第二学期 期中考查 高一数学试题 注意率项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.若向量QA=(L,-2),OB=(1-1),则AB=() A.（-2,3) B.(0,1) C.（-1,2) D.(2,-3) 2.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，若a=2√3，b=2√2，A=60°，则角B=() A.45 B.135 C.60 D.45°或135 3.复数z=(3-4i)i1的虚部为() A.-4i B.-3i C.-3 D.-4 4下列命题中正确的是() A.若直线a,b和平面&满足a/Wb,a/Ia,b不在平面a内，则b/a B.若直线a和平面a满足a/1a,那么a与a内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若a,b是两条直线，且a/b,那么a平行于经过b的任何平面 5.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行.已 知船的速度的大小为=8km/h，水流速度的大小为=2m/h,船的速度与水流速度的 合速度为节，那么当航程最短时，下列说法正确的是() A A.船头方向与水流方向垂直 。======。■==。。=4。。。。。。=== B.该船到达对岸所需时间为3分钟 。==========g■ C.=2v17km/h D.cos(内）=-4 高一数学第1页共4页 6.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形A'B'CD其中 AB/1CD,AB⊥B'C,A'B=4,DC'=2,以原四边形ABCD的边AD为轴旋转一周得到的几何体 表面积为() A.12V3π+20π B.56π D C.36π D.112W2 3 A B 7.己知向量AC=(1,2),AD=(2,1),向量AB在AC上的投影向量的坐标为(2，-4)，AB在AD上的 投影向量的坐标为(4,2)，则AB=() A.20 B.10 C.10 D.10W2 8在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，B,F分别为棱PD,PC上的点，品=，若 PE BF∥平面AEC,则二=() FC A.3 B.2 c D. 3 5 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是() A.若d=,则ā与的长度相等且方向相同或相反 B.向量AB的长度与向量BA的长度相等 C.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D.若a与6同向，且d>,则a>b 10.下列关于非零复数二、2的结论正确的有() A.已知5·2∈R,则51、2不一定为共轭复数 B.若=上，则z= C.若z=m+1+(m-1)i(m∈R)为纯虚数，则z=2 D.5在复平面内对应的点为么，且满足1司2，则点乙所在的区域的面积为玩 11.已知正三棱台ABC-AB,C,上底面AB,C,边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点P在 侧面BCCB内（包含边界）运动，且AP=2√7，Q为CC上一点，且CQ=3QC，,则下列说法正 确的是() A.正三棱台ABC-AB,C的高为56 B.高为4V6 3“,底面半径为3的圆柱可以放进该棱合正 C.点P的轨迹长度为2√3π D.过点A,B,2的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 2 高一数学第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长1c的正方体），用 来展示NaC1晶体中Na的八面体配位环境：CI位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八 面体包围中心的Na,则该正八面体C配位多面体模型的体积是 cm'. oNa.Cl 第题图 第题图 13.某三角形图标如右上图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知 AB=BF=1,P为等腰梯形HICD内一点（含边界），则G严.GE的取值范围为 14,△MBC中，内角AB,C所对的边分别为a,6该三角形面积大小记为S。则+2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知向量五=(1,2)，b=(2,-2) (1)设c=4a+b求(b.c)a: (2)若a+b与a垂直，求的值 16.(本小题满分15分) 已知a,b,c分别为△ABC的三个内角AB,C的对边，若a2+b2-c2=-ab,且bsin C=25simB (1)求角C及边c的值： (2)求a+2b的取值范围， 高一数学第3页共4页 17.(本小题满分15分) 如图，△OCD等边三角形，且点A,B分别为线段OD与OC的中点.将△OAB沿AB折叠后使点O与 点P重合，得到四棱锥P-ABCD.设点E为线段PC上一点，且CE=2EP (1)证明：AP/平面BED: (2)求四棱锥P-ABCD与三棱锥P-BDE的体积之比 18.(本小题满分17分) 如图在直角梯形ABCD中，BC=2AD,BC=CD=2,点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆 交AB于点G,点P为劣弧DG(包含D,G两点)上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F,H. (1)求向量AF与BE夹角的余弦值： D (2)若向量BH=xBD+yAC,求实数x,y的值； (3)求向量BP与CP的夹角的最大值. 19.(本小题满分17分) 如图所示，△ABC的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、 B、P点上.岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿8距离的，岛屿A和岛屿C到补给站B的 距离相等，补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上.设CB=a,CA=b. (1)用a,b表示EF,CD, (2)如果∠ACB=60°，AC=12海里，且CD⊥EF,求岛屿C到补给站D的距离： (3)若三个岛屿围成的AABC的面积为12V2+1)平方公里，且满足4cosA+3CosB=1,求岛屿A sinA sin B 和岛屿C之间距离的最小值. 高一数学第4页共4页