微专题：基本初等函数、函数与方程 讲义-2026届高三数学二轮复习

基本初等函数、函数与方程 考点一：指数、对数、幂函数 【题型1 指对幂代数式的化简求值】 规律与方法： 指数幂运算：指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算； 对数的运算： ⑴ 指数与对数互化：x = loga N ax = N (a > 0, a 1, N > 0) ⑵ 对数恒等式：⑴ loga 1 = 0 ⑵ loga a = 1 ⑶ aloga N = N ⑷ logaaN＝N ⑶ 常用对数：lg N ＝； 自然对数： ln N ＝loge N ⑷ 对数的运算: ①加乘： ② 减除： ③ 顶在外： loga bn = n loga b ④ 顶在外，体位不变： ⑤ 换底公式：. 推论： 1.（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州毕节·二模）（多选）已知，则下列式子中正确的有（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·河南焦作·月考）（多选）下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 5.（2026·河北邢台·二模）已知，，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 6.（2026·四川泸州·二模）已知，则（   ） A．62 B．64 C．79 D．81 7.（2025·四川自贡·一模）已知，若，，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 8.（2026·重庆·模拟预测）已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【题型2 指数函数的图象与性质】 规律与方法 1、指数函数的图象需要注意以下几个特征： （1）指数函数的图象所过的关键点为，，； （2）函数图象与坐标轴的交点位置； （3）函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。 2、指数型复合函数的值域 （1）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 （2）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 1.（2026·江西吉安·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.（多选 25-26高三上·山西·月考）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 3.（2026·安徽淮北·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·辽宁大连·期中）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ） A．9 B．8 C． D． 5.（2026·河南南阳·模拟预测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东聊城·一模）若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 7．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数是减函数，则当取得最小值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高三上·河南·期中）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【题型3 对数函数的图象与性质】 规律与方法 1、对数函数图象的识别及应用方法 （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项； （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 2、对数型复合函数的值域 （1）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。 （2）形如（，且）的函数的值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。 1．（23-24高三上·上海静安·月考）点，都在同一个对数函数上，则t= . 2.（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·陕西安康·月考）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 4.（多选 25-26高三上·山东烟台·期中）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 5．（23-24高三下·江西·开学考试）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是，则的整数部分为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6.（2026·山东威海·一模）已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 8.（2026·北京通州·一模）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 【题型4 幂函数的图象与性质】 规律与方法 对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1,y=1,y=x所分区域.根据a<0，0<a<1，a=1，a>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 1.（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·四川·二模）“”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三上·新疆克孜勒苏·期中）已知幂函数的图象经过点，则的值等于 . 4.（多选25-26高三上·山西太原·月考）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 5．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 指对幂函数比较大小】 规律与方法 指对幂比较大小的常见方法 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较； 2、作差法、作商法： （1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； （2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法； 3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小； 4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间； （2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值； 5、构造函数，运用函数的单调性比较： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律 （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小； （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。 6、放缩法： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。 1．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽阜阳·一模）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·四川·模拟预测）已知实数，下列关系式：①；②；③；④.其中成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.（2026·河南洛阳·模拟预测）已知，则，，的大小关系不可能为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江温州·二模）已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 考点二：函数与方程 【题型1 函数零点所在区间问题】 规律与方法 函数零点定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。 1.（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（ ） A． B． C． D． 3．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·天津红桥·期末）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，是函数的零点， 则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5.（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【题型2 函数零点个数的判断】 规律与方法 函数零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2026·重庆·模拟预测）方程的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.（2026·四川·二模）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·江西萍乡·二模）已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 6.（2026·陕西渭南·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 已知函数零点个数求参数】 规律与方法 已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 1.（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（多选 2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（     ） A．2 B．8 C．16 D．32 5.（2026·广东江门·二模）已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 已知零点个数求零点和】 规律与方法 1.直接求零点。 2.根据对称性找零点的关系。 1．（2025·湖南益阳·三模）函数在内的零点之和为（   ） A． B． C． D．0 2.（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数，则函数所有零点之和为（   ） A． B．0 C．2 D．4 3．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 4.（25-26高三上·山东青岛·期中）函数所有零点的和等于（   ） A．6 B．7.5 C．9 D．12 5.（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 嵌套函数相关的零点】 规律与方法： 对于嵌套型复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题,求解思路如下: (1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u); (2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1,2,3,…,n); (3)确定直线u=ui(i=1,2,3,…,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1,a2,a3,…,an,则函数y=f[g(x)]的 零点个数为a1+a2+a3+…+an. 注意:抓住两点:(1)转化换元;(2)充分利用函数的图象与性质. 1．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是______． 2．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ） A．3 B．5 C．6 D．8 3．（2024·云南昆明·一模）（多选）已知函数，，则（ ） A．当时，有2个零点 B．当时，有2个零点 C．存在，使得有3个零点 D．存在，使得有5个零点 4.（2026·河北沧州·二模）已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 课后作业： 1.（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江宁波·二模）设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3.（2026·湖南·模拟预测）化简（   ） A． B． C．5 D．3 4.（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 5.（2025·广东肇庆·一模）已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为.则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8.（25-26高三上·北京朝阳·期中）若方程在区间上有解，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9.（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 10.（2026·河南南阳·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2024·辽宁·一模）已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．（多选 2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 13.（多选 2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（     ） A．2 B．8 C．16 D．32 14．（2026·江西吉安·一模）若，则___________. 15（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数与的图象关于直线对称，则______． 16．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为______. 17．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围是 ． 18.（25-26高三上·山东日照·期中）已知函数，若，则的最大值为__________. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本初等函数、函数与方程 考点一：指数、对数、幂函数 【题型1 指对幂代数式的化简求值】 规律与方法： 指数幂运算：指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算； 对数的运算： ⑴ 指数与对数互化：x = loga N ax = N (a > 0, a 1, N > 0) ⑵ 对数恒等式：⑴ loga 1 = 0 ⑵ loga a = 1 ⑶ aloga N = N ⑷ logaaN＝N ⑶ 常用对数：lg N ＝； 自然对数： ln N ＝loge N ⑷ 对数的运算: ①加乘： ② 减除： ③ 顶在外： loga bn = n loga b ④ 顶在外，体位不变： ⑤ 换底公式：. 推论： 1.（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.79 【知识点】指数幂的运算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 2．（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数与对数的互化及对数的运算性质求解即可. 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 3．（2024·贵州毕节·二模）（多选）已知，则下列式子中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由已知可得 ， 所以 , 故A错误; 所以, 故B正确; 由 , 当且仅当 , 即 时取等号, 显然取不到，所以, 故C正确; ,当且仅当, 即 时取等号, 显然取不到所以，故D正确；故选：BCD. 4．（23-24高三上·河南焦作·月考）（多选）下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，A成立； ，B不成立； ，C成立； ，D不成立.故选：AC 5.（2026·河北邢台·二模）已知，，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【详解】由题意得，，所以. 6.（2026·四川泸州·二模）已知，则（   ） A．62 B．64 C．79 D．81 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】先应用对数转化得出，再平方化简求值即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 则. 故选：A 7.（2025·四川自贡·一模）已知，若，，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数函数单调性的应用、对数的运算、指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】根据给定条件，利用对数运算性质及指数运算求解. 【详解】由，得，由，得， 则，即，又，因此，即，解得， 所以. 故选：A 8.（2026·重庆·模拟预测）已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】指数式与对数式的互化、判断指数函数的单调性、指数幂的化简、求值 【详解】左右两边同时乘以得， 左右两边同时加得， 设，则单调递增， 又，， 所以， 所以，所以. 【题型2 指数函数的图象与性质】 规律与方法 1、指数函数的图象需要注意以下几个特征： （1）指数函数的图象所过的关键点为，，； （2）函数图象与坐标轴的交点位置； （3）函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。 2、指数型复合函数的值域 （1）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 （2）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 1.（2026·江西吉安·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据指数函数的单调性，可得集合B，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由，得，则， 由，得， 因为在R上单调递增，所以，则， 所以. 2.（多选 25-26高三上·山西·月考）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】画出函数图象，分析该函数的单调性与的符号，可得出的取值范围. 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以， 由题意可知，解得，所以，， 故选：AC. 3.（2026·安徽淮北·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【详解】已知，则， 所以，所以. 因为，所以. 4．（23-24高三上·辽宁大连·期中）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】函数（且）的图象恒过定点,所以， , ,当且仅当，即等号成立故选：B. 5.（2026·河南南阳·模拟预测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得或， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递减区间为. 故选：B 6．（2024·山东聊城·一模）若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，，此时， 故当时，有恒成立， 即在时恒成立，即，即. 7．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数是减函数，则当取得最小值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】根据指数函数的单调性和分段函数的单调性进行求解即可. 【详解】由条件知，可得，当且仅当时等号成立， 于是． 8．（25-26高三上·河南·期中）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求已知指数型函数的最值、判断指数型复合函数的单调性、函数对称性的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】根据给定函数，探求其对称性及单调性，由此求出目标值. 【详解】函数，则 ，因此函数的图象关于点对称， 函数在上都单调递增，因此函数在上单调递增， 则，而，所以. 故选：B 【题型3 对数函数的图象与性质】 规律与方法 1、对数函数图象的识别及应用方法 （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项； （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 2、对数型复合函数的值域 （1）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。 （2）形如（，且）的函数的值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。 1．（23-24高三上·上海静安·月考）点，都在同一个对数函数上，则t= . 【答案】9 【解析】设对数函数为，因为在函数上，所以，解得； 因为也在函数上，所以，解得. 2.（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 3．（23-24高三上·陕西安康·月考）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除； 当时，，即，因此，故排除A.故选:D. 方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除； 又，所以排除A.故选：D. 4.（多选 25-26高三上·山东烟台·期中）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、对数型复合函数的单调性、根据对数函数的值域求参数值或范围、判断或证明函数的对称性 【分析】根据对数函数、二次函数的性质研究的区间单调性及对称性、值域判断A、B、D，令，结合判别式求参数范围判断C. 【详解】由题设，且，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，若是的两个根，且，则上， 此时在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，在时在上单调递增，且其图象关于对称，A错误，B正确， 令，即， 若有两个零点，则，可得，C正确， 若的值域为，则，此时，D错误. 故选：BC 5．（23-24高三下·江西·开学考试）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是，则的整数部分为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】设前后两次地震释放的能量分别为， 由已知得，两式相减得， 则， 因为，则，即， 所以的整数部分为5.故选：C. 6.（2026·山东威海·一模）已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】令，分析可知函数的值域包含，利用导数分析该函数的单调性与极值，可知，即可解出实数的取值范围. 【详解】令，因为函数的值域为，故函数的值域包含， 求导得，又因为且，由可得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 7.（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数型函数图象过定点问题、求反函数 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 8.（2026·北京通州·一模）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意可得，将代入，解得，再将代入，由求解即可. 【详解】因为，所以当时，， 即，解得，即， 所以，所以， 所以，解得， 所以训练到第47轮就要对模型调整. 【题型4 幂函数的图象与性质】 规律与方法 对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1,y=1,y=x所分区域.根据a<0，0<a<1，a=1，a>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 1.（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 2．（2026·四川·二模）“”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、既不充分也不必要条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义及幂函数的定义和性质求解. 【详解】充分性分析：，， 是幂函数且在上单调递减，故充分性成立； 必要性分析：是幂函数，， ，，或， 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上可知，是幂函数且在上单调递减， 则或，故必要性不成立， 故“”是“是幂函数且在上单调递减”的充分不必要条件. 3．（23-24高三上·新疆克孜勒苏·期中）已知幂函数的图象经过点，则的值等于 . 【答案】 【解析】设幂函数，则，故，即，. 4.（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D. 【详解】由是幂函数知，所以或-2， 所以或，所以，，AB正确； 当时，，是奇函数，C错误； 对于，当时，， 对于，当时，不成立，故当时，，D正确 故选：ABD. 5．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确.故选：D 6．（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、裂项相消法求和 【分析】由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得：， 解得或， 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意， 则， 则． 【题型5 指对幂函数比较大小】 规律与方法 指对幂比较大小的常见方法 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较； 2、作差法、作商法： （1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； （2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法； 3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小； 4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间； （2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值； 5、构造函数，运用函数的单调性比较： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律 （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小； （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。 6、放缩法： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。 1．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.74 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 2．（2023·陕西·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，即， 又由，即，即，所以， 因为， 根据对数函数为定义域上的单调递增函数，可得，所以， 所以.故选：C. 3．（2024·安徽阜阳·一模）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， .故选：D． 4．（2026·四川·模拟预测）已知实数，下列关系式：①；②；③；④.其中成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】比较指数幂的大小、运用换底公式化简计算、基本（均值）不等式的应用、比较对数式的大小 【详解】，故①正确；，故②正确； 由换底公式可得，，所以.又因为，所以，故③正确； ，故④错误. 所以成立的关系式有3个. 5.（2026·河南洛阳·模拟预测）已知，则，，的大小关系不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数函数图像应用、对数函数图象的应用 【分析】根据指数函数和对数函数图象直接画图求解即可. 【详解】设， 则分别为与图象交点的横坐标， 当时，如下图所示，此时，故B情况可能出现；    当时，且位于和交点上方时， 如下图所示，此时，故C情况可能出现；    当时，且位于和交点下方时， 如下图所示，此时，故D情况可能出现.       所以不可能出现. 故选：A 6．（2024·浙江温州·二模）已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对，因为，则，即函数在单调递减， 且时，，则，即，所以， 因为且，所以， 又，所以.故选：B 考点二：函数与方程 【题型1 函数零点所在区间问题】 规律与方法 函数零点定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。 1.（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用 【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间. 【详解】 因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内. 故选：C 2．（2023·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知在上单调递增， ∵，，， 又，∴，即在上存在使得.故选：B. 3．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点， 显然函数为增函数，只需满足，即，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D 4.（25-26高三上·天津红桥·期末）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，是函数的零点， 则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数新定义、判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得的值. 【详解】函数在 上单调递增， ，， 所以零点满足 ，所以， 故选：C. 5.（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止. 【详解】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 【题型2 函数零点个数的判断】 规律与方法 函数零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得. 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，可得答案. 【详解】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示： 所以曲线与的交点的个数为个. 3．（2026·重庆·模拟预测）方程的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】等价于函数与函数的交点个数进行求解． 【详解】函数的零点个数等价于函数与函数的交点个数， 则，如图所示： 当时，无交点， 当时，有两个交点， 当或时，有一个交点， 故当时，无零点；当时，有两个零点；当或时，有一个零点．故零点的个数不可能是3个． 4.（2026·四川·二模）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数奇偶性、对称性以及单调性分析即可. 【详解】由，则， 所以， 所以函数关于直线对称， 由， 即， 因为是上的奇函数， 所以， 所以， 所以函数最小正周期为8， 由在上单调递增，根据函数对称性知在上单调递减， 由，，， 所以当时，函数与函数大致图象为：        所以与函数交点个数为2个. 5．（2025·江西萍乡·二模）已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据对称性（点对称、轴对称）可得到的周期，进而可得在上的图象，由函数与方程知识可知方程的解的个数即对应的两个函数图象的交点个数. 【详解】方程在区间上解的个数，等价于函数在区间上的图象的交点个数. 因为是定义在上的奇函数， 所以的图象关于原点对称，且. 又的图象关于直线对称，所以，所以， 所以，所以，所以的周期为4. 当时，，所以， 当时，，所以在上单调递减， 根据的对称性、周期性、单调性可知当时，， 在上的图象，如图： 对于，最小正周期为，结合正弦曲线可得在区间上的图象， 由图可知在区间上的图象的交点个数为11（与x轴有4个交点，与曲线有7个交点）， 即方程在区间上解的个数为11. 6.（2026·陕西渭南·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，则， 令，则， 令，则， 在同一直角坐标系中作出函数的图象， 则函数与函数的交点的横坐标分别为，    由图可知，. 故选：B. 【题型3 已知函数零点个数求参数】 规律与方法 已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 1.（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 2.（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 3.（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】探讨函数的性质并画出函数图象，然后把方程仅有4个不相等的实数根，转化为函数图象与直线有4个交点，数形结合即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 方程仅有4个不相等的实数根，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， ∴实数的取值范围是. 故选:A. 4.（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（     ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定，，，可得，即可得到 的取值范围，从而得到答案. 【详解】画出函数的图象，如图所示： 因为方程有四个不同的解，，，，且， 所以，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，，则，所以， 又，则， 因为， 则，所以BCD符合. 故选：BCD. 5.（2026·广东江门·二模）已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数性质作函数的图象，条件 恰有个零点可转化为直线与的图象恰有2个交点，结合图象求结论. 【详解】当时，，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数的取值范围为． 作出的大致图象，如图所示． 由，得， 由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点， 即恰有2个零点． 所以的取值范围是. 6．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数求出函数在上的值域，利用单调性求出在上的值域，再结合方程恒有解列式求解. 【详解】当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此函数在上的值域为， 而函数在上单调递减，值域为， 要使关于的方程恒有解，则，解得， 所以的取值范围是. 7．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据因式分解，结合有且只有一个零点，即无解或有等根，分类计算后即可参数的取值范围． 【详解】， 因为有且只有一个零点，即无解，或有两个等根为 所以，或，解得． 8（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据给定条件，按分段，结合一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】方程， 当时，方程为，则，即，当时，方程有且只有一个实根； 当时，方程为，显然是此方程的一个实根， 当时，方程化为，要使方程有4个不同的实数解， 当且仅当方程有两个不同的正根，则，解得， 所以的取值范围是. 【题型4 已知零点个数求零点和】 规律与方法 1.直接求零点。 2.根据对称性找零点的关系。 1．（2025·湖南益阳·三模）函数在内的零点之和为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正弦函数图象的应用、利用正弦函数的对称性求参数、二倍角的余弦公式、求零点的和 【分析】由题意有，令，解得或，作出在的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有， 令，有，即， 解得或， 作出在的图像， 则与的交点的横坐标为，， 与的交点横坐标为，， 由图可知，，， 所以， 故选：A. 2.（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数，则函数所有零点之和为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点、求零点的和 【分析】利用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在定理说明零点的存在性，最后证明函数为奇函数，根据奇函数图象的对称性即可得出结论. 【详解】由题意知，， 所以在和上单调递增， 又因为，当时，，所以在上必存在唯一的零点， 因为， 所以为奇函数，则在上必存在唯一的零点， 根据奇函数图象的对称性，可知的所有零点之和为. 故选：B 3．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、函数图象的变换、求零点的和 【分析】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【详解】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 4.（25-26高三上·山东青岛·期中）函数所有零点的和等于（   ） A．6 B．7.5 C．9 D．12 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求零点的和 【分析】将问题转化为与半圆的交点，结合图象求得和. 【详解】由解得，所以的定义域是. 由两边平方并化简得， 即，所以表示以为圆心，半径为的半圆. 由得， 的零点，也即与半圆的交点的横坐标， 与半圆的图象都关于直线对称， 画出与半圆的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称， 所以的零点和为. 故选：C    5.（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.66 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、函数与方程的综合应用 【分析】判断出两函数的图象都关于点中心对称，根据复合函数的性质判断出函数的定义域为上单调递增，作出两函数的图象，可得交点个数，根据函数的对称性求解即可. 【详解】因为， 且， 所以的图象关于点中心对称； 又因为， 由，可得， 即函数的定义域为， 且， 易知函数在上单调递增， 又， 所以的图象关于点中心对称； 所以两函数的交点也关于点中心对称； 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数图象共有3个交点，其中一个交点为， 设另外两个交点分别为， 则， 所以. 【题型5 嵌套函数相关的零点】 规律与方法： 对于嵌套型复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题,求解思路如下: (1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u); (2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1,2,3,…,n); (3)确定直线u=ui(i=1,2,3,…,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1,a2,a3,…,an,则函数y=f[g(x)]的 零点个数为a1+a2+a3+…+an. 注意:抓住两点:(1)转化换元;(2)充分利用函数的图象与性质. 1．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、指数函数图像应用 【分析】原方程等价于或，则只需有个根，数形结合即可得答案. 【详解】函数是偶函数，大致图象，如图所示：方程， 分解因式得，   解得：或，由函数的图象可知，只有个根， 所以需有个根才满足题意，所以实数的取值范围是：，故答案为：． 2．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解析】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图： 又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5.故选：B 3．（2024·云南昆明·一模）（多选）已知函数，，则（ ） A．当时，有2个零点 B．当时，有2个零点 C．存在，使得有3个零点 D．存在，使得有5个零点 【答案】BCD 【解析】由的图象可知，的值域为， 对于选项AC：令，则在上恒成立， 可知在上单调递增，则， 即当且仅当等号成立， 令，若，可得， 令， 当，则，可知； 当，结合图象可知当且仅当，方程有根，解得； 即或，结合图象可知：有1个根；有2个根； 综上所述：当时，有3个零点，故A错误，C正确； 对于选项B：令，若，可得， 令，即，注意到， 由图象可知方程有两个根为一根为，另一根不妨设为， 即或，结合图象可知： 有1个根；有1个根； 综上所述：当时，有2个零点，故B正确； 对于选项D：令，若，可得， 令，即， 令，解得， 由图象可设方程有三个根为，且， 即或或，结合图象可知： 或有1个根；有3个根； 综上所述：当时，有5个零点，故D正确； 故选：BCD. 4.（2026·河北沧州·二模）已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.46 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程可化为， 因为方程恰有10个不相等的实数根， 所以方程有两个不等实根，， 设，则，， 令，则，解得， 故实数的取值范围为. 课后作业： 1.（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、分式不等式、交集的概念及运算 【详解】由，结合指数函数的单调性解得，即； 由，解得，即， 则 2．（2026·浙江宁波·二模）设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】等差中项的应用、对数的运算 【详解】因为是与的等差中项，则, 即，所以 3.（2026·湖南·模拟预测）化简（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、指数幂的化简、求值 【详解】． 4.（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用奇函数的定义排除AC；利用单调性排除D即可. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，是奇函数， 函数都是R上的增函数，因此函数在上单调递增，B是； 对于C，函数的定义域为，不是奇函数，C不是； 对于D，函数在上单调递减，在上不单调，D不是. 故选：B 5.（2025·广东肇庆·一模）已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，，则函数是奇函数， 而函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 不等式，则，解得， 所以x的取值范围是. 故选：A 6.（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据给定条件求出，再利用复合函数单调性求出递增区间. 【详解】由，得，解得，函数定义域为R， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上单调递增，所以函数的单调递增区间为. 故选：D 7．（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为.则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得要取遍所有正数， 则需要求，因为，解得； 故.故选：C 8.（25-26高三上·北京朝阳·期中）若方程在区间上有解，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】易得函数在上单调递增，结合，，根据零点存在性定理即可求解. 【详解】由，则，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， ， 则函数有且仅有一个零点，且，则. 故选：C 9.（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 10.（2026·河南南阳·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小、指数幂的运算 【分析】由题知，，再结合幂函数的性质，对数函数的性质，借助中间值比较大小即可. 【详解】，， 因为在上为增函数，, 所以，即， 因为， 所以，即 故选：D 11．（2024·辽宁·一模）已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 当时，函数在上单调递减，且，，当时， 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 可得的大致图象如下所示： 令，则化为， 当时无解，则无解； 当时，解得，由图可知有两解，即有两解； 当时有一解且，又有一个解，即有一解； 当时有两个解，即、， 又有一个解，有两个解，所以共有三个解； 当时有三个解，即，，， 无解，有三个解，有两个解，所以共有五个解； 当时有两个解，即，， 有三个解，有两个解，所以共有五个解； 综上可得的取值范围是.故选：C 12．（多选 2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、具体函数的定义域 【分析】根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 13.（多选 2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（     ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定，，，可得，即可得到 的取值范围，从而得到答案. 【详解】画出函数的图象，如图所示： 因为方程有四个不同的解，，，，且， 所以，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，，则，所以， 又，则， 因为， 则，所以BCD符合. 故选：BCD. 14．（2026·江西吉安·一模）若，则___________. 【答案】2 【难度】0.82 【知识点】对数的运算 【详解】因为，所以，， 代入得. 15（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数与的图象关于直线对称，则______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】反函数的性质应用 【分析】根据两函数图象的位置关系求解即可得，由此即可得解. 【详解】设在图象上，则点关于直线对称点在图象上，则，即，. 故答案为：． 16．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为______. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为4，结合二次函数的性质确定参数的值并验证即得. 【详解】因的值域为， 即，又在定义域内为增函数，故的最大值为4， 则，由，可得时，，解得， 此时的定义域为， 在上单调递增，在上单调递减， 则得，符合题意. 故答案为：1. 17．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】作出函数的图象如下： 令，则方程有两个不同实根， 当时，方程的根为，此时无实根，不符合题意，舍去； 当时，若方程有两相等实根， 则，解得或， 当时，方程的根，此时无根，不符合题意，舍去； 当时，方程的根，此时有两个不同实根，符合题意； 若方程有两个不同实根，设为， 所以，解得或 同时有或或 所以或或或，解得. 综上或 18.（25-26高三上·山东日照·期中）已知函数，若，则的最大值为__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据题意，转化为讨论三个因式正负号问题，分点，和，三种情况分析讨论，得到当，时，恒成立，进而得到，令，利用导数求得函数的单调性，求得其最大值，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为， 因为恒成立，所以三个因式正负号问题， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 又因为，所以， ①当时，因为，所以， 且时，，此时不满足恒成立， ②当时，因为，当时，， 所以不能满足恒成立， ③当时，因为，所以， 要使得，则须， 又因为函数和在上都是单调递增函数， 要使得在上恒成立，必须两个函数值符号相同， 所以两个函数的零点也相同，即且， 综上可得，当，时，恒成立， 所以， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $