2.微专题19 基本初等函数、函数与方程(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦基本初等函数、函数零点、函数模型三大核心考点，按“性质-应用-建模”逻辑分层构建知识体系，通过考点梳理（如指数对数函数图象性质）、方法指导（如零点判断三法）、真题训练（2023-2025年高考题）等环节，帮助学生系统突破函数综合问题。 讲义突出数学思维与模型意识培养，如例2结合零点存在定理与数形结合分析零点区间，例4通过AI训练时间、湟鱼游速等实际问题构建函数模型。设置基础训练、真题演练分层练习，助力学生在有限时间内提升逻辑推理与应用能力，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

微专题19　基本初等函数、函数与方程 1.指数函数与对数函数的图象与性质 (1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况讨论．当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数． (2)底数互为倒数的两指数函数的图象关于y轴对称；底数互为倒数的两对数函数的图象关于x轴对称． 2.函数的零点问题 (1)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (2)确定函数零点的常用方法： ①直接解方程； ②利用函数零点存在定理求解； ③数形结合，利用两函数图象的交点求解. 微点一　基本初等函数的图象与性质 例1　(1)在同一平面直角坐标系中，函数y＝loga(－x)，y＝(a>0，且a≠1)的图象可能是(C) 　　 　　 解析　因为函数y＝loga(－x)的图象与函数y＝logax的图象关于y轴对称，所以函数y＝loga(－x)的图象恒过定点(－1,0)，故选项A，B错误．当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，而y＝(a>1)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故D错误，C正确． (2)已知函数f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(C) A．(1，＋∞) B．[ln 2，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析　若f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增，则必然在x＝1处有定义，所以a1－2>0，即a>2.若a>2，则当x≥1时，ax－2≥a－2>0，所以f(x)在[1，＋∞)上有定义，再由a>2知ax－2在R上单调递增，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故a的取值范围是(2，＋∞). ,, (1)指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 训练1　(1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(D) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 解析　解法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D. 解法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a；因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D. (2)(2025·徐州模拟)已知函数f(x)＝2ax2－x＋1的值域为M.若(1，＋∞)⊆M，则实数a的取值范围是(B) A. B. C.∪ D. 解析　当a＝0时，f(x)＝2－x＋1∈(0，＋∞)，符合题意；当a≠0时，因为函数f(x)＝2ax2－x＋1的值域为M，且满足(1，＋∞)⊆M，由指数函数的单调性可知，二次函数y＝ax2－x＋1的最小值ymin≤0，当a>0时，依题意有y＝ax2－x＋1的最小值≤0，即0<a≤；当a<0时，不符合题意．综上，0≤a≤. 微点二　函数的零点 考向1　函数零点的判断 例2　(1)(2025·天津高考)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(B) A．(0,0.3) B．(0.3,0.5) C．(0.5,1) D．(1,2) 解析　易知f(x)单调递减，又f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－＝－<0，所以f(x)的零点所在区间是(0.3,0.5)，故选B. (2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(C) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　因为y＝cos的图象向左平移个单位长度所得函数为y＝cos＝cos＝－sin 2x，所以f(x)＝－sin 2x，而y＝x－显然过与(1,0)两点， 作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示，考虑2x＝－，2x＝，2x＝，即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系，当x＝－时，f＝－sin＝－1，y＝×－＝－<－1；当x＝时，f＝－sin＝1，y＝×－＝<1；当x＝时，f＝－sin＝1，y＝×－＝>1.所以由图可知，f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为3. ,, 判断函数零点个数的方法 (1)利用零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解． 考向2　函数零点的应用 例3　(2025·江西模拟)已知函数f(x)＝(x2－4x＋m)(4－m－1)恰有3个零点，则m的取值范围是_(－1,0)∪(0,3)∪(3,4)_． 解析　令f(x)＝(x2－4x＋m)(4－m－1)＝0，得m＝－x2＋4x或m＝4－1. 令g(x)＝－x2＋4x，h(x)＝4－1，作出两函数的大致图象，如图所示，这两个函数图象的交点为(0,0)，(3,3)，因为g(x)max＝4，h(x)>－1，所以由图可知m的取值范围是(－1，0)∪(0,3)∪(3,4). ,, 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 训练2　(1)设c∈R，函数f(x)＝若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是(D) A．(0,1) B．{0}∪[1，＋∞) C. D．{0}∪ 解析　画出函数g(x)＝的图象如图所示．函数f(x)＝可由g(x)＝分段平移得到，易知当c＝0时， 函数f(x)恰有一个零点，满足题意；当c<0时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当c>0时，图象往下平移，若当0<2c<1时，函数有两个零点；若当2c≥1，即当c≥时，f(x)恰有一个零点，满足题意．综上，可得c的取值范围是{0}∪.故选D. (2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)＝lg x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点的个数是_11_. 解析　因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋2)，则f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，所以可利用f(x)的周期性与奇偶性作出f(x)的大致图象，因为g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)＝lg x，所以函数y＝g(x)的大致图象如图所示．考虑特殊位置，当x＝－1时，f(－1)＝1，g(－1)＝－g(1)＝－lg 1＝0；当x＝9时，f(9)＝f(1)＝f(－1)＝1，g(9)＝lg 9<1；当x＝11时，f(11)＝f(1)＝1，g(11)＝lg 11>1，函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图象的交点个数，所以由图象可知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图象的交点个数为11(不要忽略原点)． 微点三　函数模型及其应用 例4　(1)(2025·北京高考)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(B) A．2 B. 4 C. 20 D. 40 解析　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B. (2)(2025·江西一模)经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数v＝log3(单位：m/s)，θ表示湟鱼的耗氧量的单位数．若某条湟鱼把游速提高2 m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的(D) A．2倍 B．4倍 C．9倍 D．81倍 解析　设原来和现在的耗氧量的单位数分别为θ1，θ2，则log3＝log3＋2，所以log3＝4，所以＝34＝81，所以耗氧量的单位数是原来的81倍．故选D. 训练3　(多选题)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则(ACD) A．a＝－ln 5 B．k＝15 C．一等奖的面值为3 130元 D．三等奖的面值为130元 解析　由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，所以＝e－a＝＝5，则a＝－ln 5，故A正确．由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误．三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130元，故D正确．由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130，故一等奖的面值为3 130元，故C正确．故选ACD. 1．(2024·天津高考)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(B) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 解析　由函数y＝4.2x单调递增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故b>a>c，故选B. 2．(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(B) A. B. C. D. 解析　因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B. 3．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(C) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 解析　4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝10－＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C. 4．(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压，下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(ACD) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 解析　因为Lp＝20×lg随着p的增大而增大，且Lp1∈[60,90]，Lp2∈[50,60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；假设p2>10p3，则p010>10p010，所以10－>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；由Lp＝20×lg，得p＝p010.因为Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；因为＝＝10－＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，选ACD. 5．(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝_64_. 解析　根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. 学科网（北京）股份有限公司 $