导数与函数的零点问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

导数与函数的零点问题 【方法储备】探究一 判断函数零点个数 利用导数研究零点个数问题： 1.图象法：利用导数分析函数单调性，借助极值、最值等画出函数大致图象判断零点个数；或转化为两个函数图象，判断交点个数； 2.零点存在性定理：利用导数分析函数单调性，借助零点存在定理判断每个单调区间判断是否存在零点. 【典例精讲】 例1.(2025·河南省·月考试卷)已知函数则函数的零点个数为(    ) A. B. C. D. 解：依题意，当时，， 故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且，作出函数的大致图象如图所示． 令， 解得或， 观察图象可知，有个解，有个解， 所以函数共有个零点． 故选． 例2.(2025·辽宁省沈阳市·模拟题)已知函数， 若，求在上的极大值 若函数，讨论函数在上零点的个数． 解：当时，， 由，， 得，，， 因此，当变化时，，的变化情况如下表所示： ， ， ， 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 所以当时，有极大值，且极大值为； ， 当时，由，得或， 其中且， 所以， 当或时，方程无实数解， 此时函数只有一个零点； 当时，方程只有一解且为，此时函数只有一个零点； 当时，方程有两个不同的解且均不等于，此时函数有三个零点； 当时，方程有一个解且不等于， 此时函数有两个零点． 综上：当或时，函数只有一个零点； 当时，函数有三个零点； 当时，函数有两个零点．  【拓展提升】 练1-1.(2025·广东省潮州市·模拟题)函数在上的零点个数为(    ) A. B. C. D. 解：因为函数都是周期函数，其最小正周期为， 所以函数的最小正周期为， 当时，， 求导得， 当时，，，函数在上单调递减， ，函数在上有唯一零点； 当时，令，求导得， ，，而，则， 函数在上单调递增，而， 存在，使得，当时，， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，， ，函数在上无零点； 当时，，求导得， 当时， 函数在上单调递增，， 则函数在上存在唯一零点； 当时，令，求导得， ，，而，则， 函数在上单调递减，而， 存在，使得，当时，， 当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， 函数在上无零点； 从而函数在有且只有个零点，函数在有个零点， 在上有个零点，因为，且， 所以函数在上有个零点． 故选：． 练1-2.(2025·辽宁省大连市·模拟题)已知函数． 当时，讨论的单调性 若，，讨论方程的根的个数． 解：的定义域为， 导函数， 令，解得，， 当时，恒成立， 无递增区间，递减区间为； 当时，，令，得， 令，得， 的递增区间为，递减区间为，； 当时，，令，得， 令，得， 的递增区间为，递减区间为，； 综上所述，当时，无递增区间，递减区间为， 当时，的递增区间为，递减区间为，， 当时，的递增区间为，递减区间为，； 若，，， ， 令，， 在上单调递增， 上式中满足：， ，可得， 令，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，且， 当时，， 则， 综上所述，当时，该方程有个根， 当或时，该方程有个根， 当时，该方程有个根．  【方法储备】探究二 已知零点个数求参 利用函数零点的情况求参数范围的方法： 1.分离参数法：分离之后函数无参数,则可得到函数的图象,然后上下移动参数的值,观察直线与函数图象交点个数即可. 2.隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势,找到临界的位置,易求得参数的取值范围,使得运算简化. 如在上有两个零点，即函数的图象有2个交点问题. 3.直接构造法：若研究的函数均比较复杂,故直接研究函数, 对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围. 【典例精讲】  例3.(2025·山西省太原市·模拟题)已知曲线与曲线只有一个公共点，则(    ) A. B. C. D. 解：根据题意可得只有一个实数根， 即只有一个实数根， 令， 因为在上单调递增， 且当时，，当时，， 所以有唯一解，即， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 又因为只有一个零点，所以， 即， 由，可得， 所以，即， 令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，， 所以的唯一解为， 即，所以． 故选B． 例4.(2025·湖南省长沙市·模拟题)已知函数． 当时，讨论的单调性； 若有两个零点，求的取值范围． 解：由题意，的定义域为，且． 当时，，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立， 在上单调递增，不合题意； 当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 的极小值也是最小值为， 又当时，，当时，， 要使有两个零点，只要即可， 则，可得， 综上，若有两个零点，则的取值范围是．  【拓展提升】 练2-1.(2024·广东省·联考题) 若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为 (    ) A. B. C. D. 解：不等式恰有两个整数解，即恰有两个整数解， 令，，得， 令，， ，则在上为减函数，且， 当时，，，单调递增 当时，，，单调递减． 作的大致图象如下： ，，， 由题意恰有两个整数解，可得：， ， 故选D． 练2-2.(2025·河北省·月考试卷)已知函数与    证明：当时，；  若函数与图象有公共点，求的取值范围． 解：，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 故即当时，． 当时，与 有唯一的公共点，符合题意； 当时，考虑到与互为反函数，故与公共点必在上反之，与的公共点也是与交点． 令． 令． 令得． 当时，，单调递增． 当时，，单调递减． 故 即，即． 综上所述，当且时，与图象有公共点． 探究三 隐零点问题 【方法储备】 在利用导数研究函数的性质时,对函数求导后,若是超越形式,无法求出函数的零点,但我们由零点存在性定理可判断零点是存在的,我们称之为隐零点.对函数的零点设而不求，通过整体代换、构造函数等，再结合题目条件解决问题． ⑴用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围； ⑵以零点为分界点，说明导函数的正负，得到单调区间，进而求出的最值； ⑶将零点方程适当变形，整体代入的最值式子后进行化简、证明等，有时⑴中的零点范围还可以适当缩小． 【典例精讲】 例5.(2025·湖南省常德市·月考试卷)函数的零点个数为(    ) A. B. C. D. 解：， 令，， 则，故在上单调递增， ，， 存在唯一的，使得，即，即，， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， ， 函数的零点个数为． 故选B． 例6.(2025·湖南省·月考试卷)设函数． 求时，的单调区间； 求证：当时，． 解：时，的定义域为， ，令，则， 当时，；当时，， 函数的单调减区间为，单调增区间为． 证明：的定义域为且． 当时，为单调递增，单调递增，故在上单调递增， 又，假设存在满足时，且， 当时，导函数存在唯一的零点，设该零点为， 当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增，当时取得最小值， 由于，即，两边取对数得， ， 当且仅当时，即时，取等号， 故时，． 【拓展提升】 练3-1.已知，，为自然对数的底数． 讨论的单调性； 当时，若函数在的最小值为，证明：． 解：， 当时，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 若，则，因此单调递增； 综上可知，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 当时，单调递增，设，， 则 ， 设，则， 即在单调递增，而，， 因此存在，使得，即， 当上变化时，可以取到的所有实数； 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 因此的最小值为， 设，则， 即单调递增，由，可知，即， 则， ． 综上，． 练3-2.(2024·广东省·月考试卷) 设函数，其中． 当时，求的单调区间； 已知存在一个小于的零点，求的取值范围； 在的条件下，设为的极值点，为的零点，证明：． 解：时，定义域为， ， ， 在上恒成立， 故的单调减区间为，无单调增区间． ， 则， 令，， ，， ①当时恒成立，为增函数， ，故时， 在上恒成立， 故在区间上单调递减，，无小于的零点 ②当时，为减函数，只有一个零点为 ③当时，恒成立，为减函数， ．时，，则时， ，在上单调递增， 故，故无小于的零点； ．时，，且， 则存在， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以， 令，，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，由此可得， 故， 又，在上有零点，故有小于的零点， 综上可知，． 由可知，为极值点，故满足， 即，， 又为的零点，即， 即，得， 两式相除可得， 由已证得，可得取不到，等号不成立， ，两边取对数可得： ， 即，则命题成立． 学科网（北京）股份有限公司 $