第五章 重点突破8 利用导数研究函数的零点问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦利用导数研究函数零点这一核心知识点，系统梳理从切线方程求解到零点个数讨论，再到参数范围确定及不等式证明的完整脉络，搭建“基础应用—综合分析—拓展证明”的学习支架。 该资料通过分离变量、构造新函数等方法，引导学生用数学思维分析函数单调性与极值，培养抽象能力和推理意识，如题型一将零点问题转化为直线与曲线交点问题。课中助力教师引导探究，课后学生可通过例题与对点练巩固方法，查漏补缺。

学习目标 1.能够结合函数图象利用导数研究函数的零点问题. 2.会求解与零点有关的参数问题. 题型一　利用导数研究函数的零点个数 (2025·广东东莞高二检测)已知函数f(x)＝ex－a(x＋1)，a∈R. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； (2)当a＞0时，试讨论函数f(x)的零点个数. 解：(1)由a＝1，得f(x)＝ex－(x＋1)，得f'(x)＝ex－1， 所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f'(1)＝e－1，f(1)＝e－2. 故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为y－e＋2＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0. (2)令f(x)＝0，即ex－a(x＋1)＝0，所以＝. 即f(x)的零点个数等于直线y＝与曲线y＝的交点个数. 令g(x)＝，则g'(x)＝. 当x＜0时，g'(x)＞0，g(x)在(－∞，0)上单调递增， 当x＞0时，g'(x)＜0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 故g(x)max＝g(0)＝1. 当x＜－1时，g(x)＜0，当x＞－1时，g(x)＞0， 当x趋向于负无穷时，g(x)趋向于负无穷，当x趋向于正无穷时，g(x)趋向于0，作出函数g(x)的图象如图，当0＜＜1，即a＞1时，直线y＝与曲线y＝g(x)＝有2个交点， 当＝1，即a＝1时，直线y＝与曲线y＝g(x)＝有1个交点， 当＞1，即0＜a＜1时，直线y＝与曲线y＝g(x)＝无交点. 故a＞1时，函数f(x)的零点个数是2；a＝1时，函数f(x)的零点个数是1；0＜a＜1时，函数f(x)的零点个数是0. 利用导数研究函数的零点个数问题的思路与方法 思路 (1)求出函数的定义域. (2)求导数f'(x)及函数f'(x)的零点. (3)用f'(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值. (4)确定f(x)的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势. (5)画出f(x)的大致图象. 方法 (1)直接法：先对函数求导，找出函数的单调区间与极值，根据函数的性质作出图象，然后将问题等价转化为函数图象与x轴的交点问题. (2)构造新函数法：将问题等价转化为研究两个函数图象的交点问题. (3)分离变量法：由f(x)＝0，分离参数得出a＝g(x)，将问题等价转化为直线y＝a与函数g(x)的图象的交点问题. 学生用书⬇第124页 对点练1.已知函数f(x)＝x3－3x2＋3bx＋c在x＝0处取得极大值1. (1)求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； (2)判断f(x)的零点个数，并说明理由. 解：(1)f(x)＝x3－3x2＋3bx＋c， 则f'(x)＝3x2－6x＋3b， 由题意可知即f(x)＝x3－3x2＋1，f'(x)＝3x2－6x. 令f'(x)＞0，解得x＞2或x＜0，故f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减. 则f(x)在x＝0处取得极大值1，即b＝0，c＝1符合题意. 因为f(1)＝－1，f'(1)＝－3，则切点坐标为(1，－1)，切线斜率k＝－3，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即3x＋y－2＝0. (2)f(x)有三个零点，理由如下：由(1)得f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减，又f(0)＝1，f(2)＝－3，且当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→－∞时，f(x)→－∞，所以函数f(x)＝x3－3x2＋1的大致图象如图所示. 由图象可知，函数f(x)＝x3－3x2＋1有三个零点. 题型二　根据函数的零点个数求参数范围 已知函数f＝－x＋xln x. (1)求f的极值； (2)若函数y＝f－m在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 解：(1)因为f＝－x＋xln x，所以f'＝ln x， 令f'＞0，解得x＞1；令f'＜0， 解得0＜x＜1， 所以f，单调递减区间为， 所以f在x＝1处取得极小值f＝－1，无极大值. (2)y＝f－m在上有两个不同的零点，可转化为y＝f与y＝m的图象有两个不同的交点，如图所示， 由(1)易知，f＝f＝－1，又f＝－，当x→＋∞时，显然f→＋∞，所以－1＜m≤－. 故实数m的取值范围为. 　　利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围. 对点练2.已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在[0，1]上有两个零点，求实数a的取值范围. 解：(1)函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝ex－a，当a≤0时，f'(x)＞0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增； 当a＞0时，由f'(x)＝0，得x＝ln a，所以当x∈(－∞，ln a)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(ln a，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增； 当a＞0时，f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增， 在(－∞，ln a)上单调递减. (2)当a＞0时，当ln a≤0，即0＜a≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，不符合题意； 当0＜ln a≤1，即1＜a≤e时，f(x)在[0，ln a]上单调递减， 在[ln a，1]上单调递增，且f(0)＝0，f(1)＝e－a－1，要使f(x)在[0，1]上有两个零点， 只需 即1＜a≤e－1， 当ln a＞1，即a＞e时，f(x)在[0，1]上单调递减，不符合题意； 所以当a∈(1，e－1]时，f(x)在[0，1]上有两个零点. 题型三　与零点有关的(不等式)证明问题 已知f(x)＝aex－x(e为自然对数的底数). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1＋x2＞2. 解：(1)f'(x)＝aex－1. 当a≤0时，f'(x)＜0，则f(x)在R上单调递减； 当a＞0时，令f'(x)＝0，得x＝ln ，则f(x)在(－∞，ln )上单调递减，在(ln ，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a＞0时，f(x)在(－∞，ln )上单调递减，在(ln ，＋∞)上单调递增. (2)证明：f(x)＝aex－x有两个不同的零点x1，x2，则x1＝a，x2＝a，故x1－x2＝a(－)，即a＝. 要证x1＋x2＞2，只需证a(＋)＞2， 即证(x1－x2)()＞2. 不妨设x1＞x2，记t＝x1－x2， 则t＞0，et＞1，因此只要证明t·＞2(t＞0)，即(t－2)et＋t＋2＞0(t＞0). 记m(t)＝(t－2)et＋t＋2(t＞0)， 则m'(t)＝(t－1)et＋1， 令φ(t)＝(t－1)et＋1(t＞0)， 则φ'(t)＝tet＞0，所以函数φ(t)＝(t－1)et＋1在(0，＋∞)上单调递增， 则φ(t)＞0，即m'(t)＞0，所以m(t)在(0，＋∞)上单调递增， 则m(t)＞0，即(t－2)et＋t＋2＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以x1＋x2＞2. 学生用书⬇第125页 通过导数研究与函数零点有关的(不等式) 证明问题的求解策略 1.一种是用综合法，通过导数求解零点或极值满足的条件式子，通过变形处理得到所证结果；一种是分析法，从结果入手，分析所需要证明的式子，直至得到一个比较容易证明的结论. 2.对于双变量问题的证明，一般需要找到两个变量间的关系，利用另一个变量来表示这两个变量，从而转化为函数问题，借助导数证得结论. 对点练3.已知函数f(x)＝＋ln x(a∈R)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2，证明x1x2＞a2. 证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f'(x)＝，当a≤0时，f'(x)＞0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，至多有1个零点，不符合题意； 当a＞0时，函数f(x)在(a，＋∞)上为增函数，函数f(x)在(0，a)上为减函数， 所以f(a)为函数的极小值， 因为函数有两个零点，则f(a)＜0， 不妨设x1＜x2，则0＜x1＜a＜x2， 要证x1x2＞a2，即证x1＞， 因为x1，∈(0，a)，f(x)在(0，a)上为减函数， 所以只要证f＞f(x1)， 又f(x1)＝f(x2)＝0， 只需证明f＞f(x2)， 设函数F(x)＝f－f(x)＝－－2ln x＋2ln a(x＞a)， 所以F'(x)＝＞0， 所以F(x)在(a，＋∞)上为增函数， 所以F(x2)＞F(a)＝0， 所以f＞f(x2)成立， 从而x1x2＞a2成立. 1.已知函数f(x)＝2x－x－1，则f(x)的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：f(x)的定义域为x∈R，由题意可得f'(x)＝2xln 2－1，因为f'(x)单调递增且当x→－∞时，f'(x)＜0，当x→＋∞时，f'(x)＞0，所以存在唯一一点t使得f'＝0，所以f(x)在(－∞，t)上单调递减，在(t，＋∞)上单调递增，所以f(x)至多有两个零点，又因为f＝0，f＝0，所以f(x)有2个零点.故选C. 2.已知函数f(x)＝ex－x－a，若函数y＝f(x)有零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 答案：B 解析：函数y＝f(x)有零点等价于方程ex－x＝a有解，令g(x)＝ex－x，g'(x)＝ex－1，当x＞0时，g'(x)＞0，函数g(x)单调递增；当x＜0时，g'(x)＜0，函数g(x)单调递减，又g(0)＝1，所以a≥1.故选B. 3.函数f(x)＝x2－6x＋4ln x的图象与直线y＝m有三个交点，则实数m的取值范围为　　　　　　. 答案：(4ln 2－8，－5) 解析：由题意得f'(x)＝2x－6＋＝，令f'(x)＝0，解得x＝1或x＝2，易得当x∈时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1，2)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(1)＝－5为极大值，f＝4ln 2－8为极小值，所以4ln 2－8＜m＜－5. 4.若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有两个不等实根，求实数a的取值范围. 解：由ax＝x知x＞0，故x·ln a－ln x＝0⇒ln a＝， 令f(x)＝(x＞0)，则f'(x)＝. 当x∈(0，e)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 故当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝， 当x→0时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0，故要使函数f(x)＝的图象与直线y＝ln a有两个交点， 则0＜ln a＜，即1＜a＜. 则实数a的取值范围为(1，). 学科网（北京）股份有限公司 $