精品解析：陕西西安市高新区第四初级中学2025-2026学年下学期七年级数学期中试题

七年级数学学科练习题 满分：120分 时长：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，每小题只有唯一选项正确） 1. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 小明中考体育成绩满分 B. 在一个只有红球的袋中，摸出黑球 C. 打开电视机，正在播放动画片 D. 太阳东升西落 2. 我国自主研发的北斗导航芯片广泛应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，目前该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米），则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果不含关于字母的一次项，那么等于（ ） A. B. C. D. -2 5. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 B. 过直线l外一点P作于点Q，则点P到直线l的距离是线段 C. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D. 三角形的角平分线是线段 7. 如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 2.5 D. 6 8. 根据下列条件，能作出唯一三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 9. 山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①； ②； ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②③⑤ D. ②③④⑤ 二、填空题（本题共有6小题，每题3分，共18分） 11. 鼎是文明的见证，也是文化的载体，早期鼎多为三足设计（如图），其三个足的底部可构成三角形结构．且《史记·淮阴侯列传》有“三分天下，鼎足而居”的说法，也暗含三足形成类似三角形的结构关系，从数学角度看，这其中蕴含的核心原理是_________________________． 12. 一只小猫在如图所示的黑白相间的地面上走来走去，并随意停留在某块地砖上，小猫停留在___（填“黑”或“白”）色地砖上的概率大． 13. 如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 14. 若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 15. 太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 16. 如图，点C在线段上，于B，于D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为___________． 三、解答题（本题共10小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 先化简再求值，已知，求代数式且的值． 19. 如图a，b和，用尺规作，使，，．用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 20. 现有正面分别写有“最”“美”“银”“川”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“银”字的卡片有4张，写有“川”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为_______事件；（选填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； （3）从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“银”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“银”字卡片的概率为，求的值． 21. 如图，在中，点D、E分别在、上，且，，，求的度数． 22. 如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件：①，，；②，，；③，，．请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 23. 如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 24. 探究不同情境，回答下面问题： （1）如图1，，平分，平分，则 度． （2）如图2，，，分别是，的三等分线（即，）求的度数． （3）在中，，分别是，的n等分线（即，），试说明与的关系． 25. 边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A. B. C. D. （2）若，，求的值； （3）计算：． 26. 探究不同情境，回答下面问题： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．则线段，，之间的数量关系是 ． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问第（1）问的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边，向外作正方形和正方形，是边上的高．延长交于点I．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学学科练习题 满分：120分 时长：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，每小题只有唯一选项正确） 1. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 小明中考体育成绩满分 B. 在一个只有红球的袋中，摸出黑球 C. 打开电视机，正在播放动画片 D. 太阳东升西落 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件. 【详解】解：A.小明中考体育成绩可能满分也可能不是满分，属于随机事件，不符合要求； B.只有红球的袋中不可能摸出黑球，属于不可能事件，不符合要求； C.打开电视机可能播放动画片也可能播放其他节目，属于随机事件，不符合要求； D.太阳东升西落是确定的自然规律，一定会发生，属于必然事件，符合要求. 2. 我国自主研发的北斗导航芯片广泛应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，目前该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米），则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数（含整数位的零）． 【详解】解：数据0.000000022用科学记数法表示为． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方、单项式乘单项式分别计算，即可做出判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 4. 计算的结果不含关于字母的一次项，那么等于（ ） A. B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则将展开，由于结果不含关于字母的一次项，那么一次项的系数为0，就可求的值． 【详解】解：， 又不含关于字母的一次项， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，相乘后不含哪一项，就让这一项的系数等于0． 5. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【详解】A、∵，∴，故该选项符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：A． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 B. 过直线l外一点P作于点Q，则点P到直线l的距离是线段 C. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D. 三角形的角平分线是线段 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段性质，点到直线距离的定义，三角形高线交点的位置，三角形角平分线的定义，逐个判断选项即可得出正确结论. 【详解】解：A.垂线段最短的性质是：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，本选项未说明是直线外一点，故原说法错误，不符合题意； B.点到直线的距离是垂线段的长度，是数量，不是线段本身，故原说法错误，不符合题意； C.直角三角形三条高所在直线交于直角顶点，交点在三角形的边上，既不在三角形内也不在三角形外，故原说法错误，不符合题意； D.三角形的角平分线定义是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，则三角形的角平分线是线段，故原说法正确，符合题意. 7. 如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 2.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 8. 根据下列条件，能作出唯一三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用三角形三边关系和全等三角形的判定定理，逐一判断选项能否作出唯一三角形即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． B、，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能作出三角形，本选项不符合题意． C、已知两个角，第三个角可由三角形内角和求出，且已知一条边，符合全等三角形的判定条件，能作出唯一三角形，本选项符合题意． D、只知道一个直角和斜边，缺少边或角的条件，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． 9. 山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件利用证明，可得，进而利用角的和差关系证得，再利用证明，利用全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】 解：A．在和中，   ， ， 故选项A不符合题意；  B．，  ， 即， 在和中，   ， ， 故选项B不符合题意； C．，  ，  ， 即， 故选项C不符合题意； D． ∴ ∴选项D符合题意． 10. 如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①； ②； ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②③⑤ D. ②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 二、填空题（本题共有6小题，每题3分，共18分） 11. 鼎是文明的见证，也是文化的载体，早期鼎多为三足设计（如图），其三个足的底部可构成三角形结构．且《史记·淮阴侯列传》有“三分天下，鼎足而居”的说法，也暗含三足形成类似三角形的结构关系，从数学角度看，这其中蕴含的核心原理是_________________________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是理解题意，学会利用三角形稳定性解决问题． 根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：鼎的三个足的底部可构成三角形结构，这是利用了三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 一只小猫在如图所示的黑白相间的地面上走来走去，并随意停留在某块地砖上，小猫停留在___（填“黑”或“白”）色地砖上的概率大． 【答案】白 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：最终停留在每种颜色的方砖上的概率就是每种颜色区域的面积与总面积的比值求解即可． 【详解】解：观察这个图可知：白色区域（8块）的面积占总面积（15块）的， 则它最终停留在白色地砖上的可能性是； 黑色区域（7块）的面积占总面积（15块）的， 则它最终停留在黑色地砖上的可能性是； ∵， ∴小猫停留在白色地砖上的可能性大． 13. 如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据网格结构判断出点D是边的中点，从而确定是的中线，进而得出重心的位置． 【详解】解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． 14. 若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质等知识．根据非负数的性质求出，的值，再根据等腰三角形的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形的两边， 当为腰时，，不满足三角形三边的关系，故舍去， ∴等腰三角形的三边分别为：，，． ∴等腰三角形的周长为， 故答案为：． 15. 太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 【答案】 137 【解析】 【分析】 根据题意得出 ，，利用平行线的性质分别求出  和  的度数，进而求和． 【详解】解：由题意可知， ，． ，   ． ，  ． ，   ． . ，  ．  ． 16. 如图，点C在线段上，于B，于D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为___________． 【答案】1或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论当点在上，点在上时，或当点在上，点第一次从点返回时，或当点在上，点第一次从点返回时，再结合以，，为顶点的三角形与全等所对应的边相等，进行列式计算，据此即可作答．本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． 【详解】解：依题意，如图： 当点在上，点在上时， 以，，为顶点的三角形与全等， 即， ， ∵点P以的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动） ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， 以，，为顶点的三角形与全等， 即 ， ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， 以，，为顶点的三角形与全等， 即 ， ， ， 综上所述：的值为1或或． 故答案为：1或或． 三、解答题（本题共10小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据乘方. 负整数指数幂. 零指数幂的运算法则计算每一项后合并； （2）变形后利用平方差公式简便计算； （3）先计算整式乘除, 再合并同类项得到结果． 【小问1详解】 解 ： 原式 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式． 18. 先化简再求值，已知，求代数式且的值． 【答案】；2 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的顺序和运算法则来计算． 根据运算法则先对整式进行化简，再由得到． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴． ∴原式． 19. 如图a，b和，用尺规作，使，，．用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】先作出，然后在边上截取得到点，在边上截取得到点，连接，即可得到符合要求的图形． 【详解】略 20. 现有正面分别写有“最”“美”“银”“川”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“银”字的卡片有4张，写有“川”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为_______事件；（选填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； （3）从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“银”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“银”字卡片的概率为，求的值． 【答案】（1）不可能 （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据概率公式求概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可． （2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式构造方程求解即可． 【小问1详解】 解：事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为不可能事件． 【小问2详解】 解：由题意可知，写有“美”字的卡片有（张）， 所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为． 【小问3详解】 解：由题意可知：， 解得：， 答：m的值为4． 21. 如图，在中，点D、E分别在、上，且，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】首先由得到，等量代换得到，推出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 22. 如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件：①，，；②，，；③，，．请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 【答案】 若选①，证明如下： ， ， ， 又， ， ； 若选②，证明如下： ， ， ， ， ， 又， ， ； 若选③，则无法证明，进而无法证明． 【解析】 【分析】若选①利用证得，进而可证；若选②利用证得，进而可证；若选③，无法证明，进而不能证明． 【详解】略 23. 如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 【答案】斜坡上一点的竖直高度为2米 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用竖直线段的平行关系找到相等的角，结合已知直角和边相等的条件证明三角形全等． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴(米)． 答：斜坡上一点的竖直高度为2米． 24. 探究不同情境，回答下面问题： （1）如图1，，平分，平分，则 度． （2）如图2，，，分别是，的三等分线（即，）求的度数． （3）在中，，分别是，的n等分线（即，），试说明与的关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据平分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； 【小问1详解】 解：， ， ∵平分平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ， ∵分别是的三等分线， ， ， ． 【小问3详解】 解：∵分别是的等分线， ∴，， ． 25. 边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A. B. C. D. （2）若，，求的值； （3）计算：． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【小问1详解】 解：边长为的正方形面积是，边长为的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； ∴验证的等式是： 故选：B． 【小问2详解】 解：∵ ∴当，时， 解得：． 【小问3详解】 解： ． 26. 探究不同情境，回答下面问题： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．则线段，，之间的数量关系是 ． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问第（1）问的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边，向外作正方形和正方形，是边上的高．延长交于点I．若，求的值． 【答案】（1） （2）成立，理由：如图2中， ， ， ， 在和中，  ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可证明，可得，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论是的中点． 【小问1详解】 解：． 证明：如图1中，∵直线直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过作于的延长线于． ， 在正方形和正方形中，， ∵是边上的高， ∴， ∴同（1）和（2）可得， ∴， ， 在和中， ， ， ， ∴是的中点， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $