第十章二元一次方程组单元测试2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年人教版七年级数学下册第十章二元一次方程组单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知是关于的方程的一个解，a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 3．（本题3分）若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（本题3分）如图，两个天平都平衡，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知是二元一次方程的解，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（本题3分）已知与是同类项，那么a，b的值分别是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 8．（本题3分）已知是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（本题3分）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（  ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）方程组的解为______． 12．（本题3分）已知方程，用含x的代数式表示y，则_________ ． 13．（本题3分）已知和都是方程的解，则____，____． 14．（本题3分）已知，其中a，b为常数．已知．则___________． 15．（本题3分）若关于的方程组和方程组有相同的解，则____ 16．（本题3分）一个大正方形和四个一模一样的小正方形按如图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解方程组 (1)； (2) 18．（本题8分）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若原方程组的解满足，求m的值． 19．（本题8分）某物流公司引进了两台智能分拣机器人——“快快”和“稳稳”，用于夜间自动化分拣包裹．机器人同时工作6小时需支付费用共180元．如果“快快”单独工作4小时，然后“稳稳”再单独工作8小时，需支付费用共168元．求“快快”和“稳稳”各自工作1小时，需要支付的费用分别是多少元？ 20．（本题8分）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 21．（本题9分）【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值． 方法二：将①②，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得． 【解决问题】 (1)请你选择一种方法，求的值； 【迁移应用】 (2)对于方程组利用方法二的思路，求的值． 22．（本题9分）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有名同学，需要购买跳绳的有名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球个和跳绳根其中，恰好用了元，其中足球每个进价为元，跳绳每根的进价为元，则有哪几种购进方案？ (3)假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？ 23．（本题10分）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； (3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 24．（本题12分）数学实践：用标准卡纸制作礼盒． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖盒和横式叠盖纸盒的平面展开图． (1)数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到158张小长方形和张小正方形做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．求n，x，y的值． (2)计划做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要多少张卡纸？ 第2页，共6页 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B D A C D B B 1．B 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：共含两个未知数，每个方程都是整式方程，每个方程中未知数的次数都为1，据此逐一验证选项即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组需要满足三个条件：①方程组总共含有两个未知数；②每个方程都是整式方程；③每个方程中未知数的次数为1． 对各选项判断如下： A 选项中第二个方程不是整式方程，故A 选项不符合要求； B 选项中方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数都为1，符合二元一次方程组定义，故B选项符合要求； C 选项中方程组共含三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故C选项不符合要求； D 选项中第二个方程的项次数为2，不符合二元一次方程组定义，故D选项不符合要求． 2．A 【分析】将已知的x，y代入原方程，即可得到关于a的一元一次方程，求解得到a的值． 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴把代入得， 解得． 3．D 【分析】把方程组中的两个方程相加可得，利用相反数的性质得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， 即， ∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得． 4．B 【分析】根据天平平衡列出方程组，通过消元可得答案． 【详解】解：由题意得，， 得， ∴，即． 5．D 【分析】先将方程的解代入方程求出a的值，再得到点的坐标，根据坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：∵是二元一次方程 的解， ∴把代入方程得， 解得， ∴点的坐标为， ∵横坐标大于0，纵坐标小于0，符合第四象限点的坐标特征， ∴该点在第四象限． 6．A 【分析】根据同类项的定义，列出方程即可求出a和b的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得：． 7．C 【分析】先根据左侧三角形求出每个小三角形的三个顶点上的数字之和，再依次求出x，y，z的值，最后求和即可． 【详解】解：由题意知，每个小三角形的三个顶点上的数字之和为：， ， ， ， ， ， ， ． 8．D 【分析】先将解的值代入到方程组中，可得到有关和的一个二元一次方程组，再根据加减消元法可得到和的值，计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 根据得：，解得：， 根据得：，解得：， ∴． 9．B 【分析】根据两种出钱情况分别列出等式即可得到方程组。 【详解】解：设有人，物价为钱， ∵每人出钱，余钱，故总出钱数比物价多钱， ∴得方程， ∵每人出7钱，差4钱，故总出钱数比物价少4钱， ∴得方程， 因此可得方程组． 10．B 【分析】通过对原方程组进行整体加减运算，可将结论中的表达式用含 的代数式表示，进而判断结论的正误． 【详解】解：原方程组为 判断①：当时，方程组变为 解得 将解代入得 故①错误； 判断②：对原方程组，由得 若，则，解得，是有理数， 故②正确； 判断③：对原方程组，由得， 若，则，解得， 故③错误； 判断④：对原方程组，由得 得，即无论取何值，的值恒为， 故④正确； 因此正确结论为②④． 11． 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 方程组的解为． 12． 【分析】将看作已知数，根据移项求出． 【详解】解：， 移项得． 13． 【分析】根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵和都是方程的解， ∴， 解得：． 14． 【分析】先根据题意列出方程组即可求出a与b的值，再根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ∴， ∴． 15．0 【分析】根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y的值，再建立关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a，b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵关于的方程组和方程组有相同的解， ∴， 解得：， 则变成， 解得：， ∴． 16． 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组求出、的值，再根据图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图①和②列出方程组得， 解得， 图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】（1）第一个方程已给出y关于x的表达式，使用代入消元法求解，先求出x的值，再代入求出y的值． （2）使用加减消元法求解，先消去未知数y求出x的值，再代入求出y的值即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得 整理得，解得 把代入①，得 即该方程组的解为； （2）解： ①②，得 解得 把代入①，得解得 即该方程组的解为 18．(1)； (2) 【分析】（1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可． 【详解】（1）解：方程的所有正整数解：或； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入， 得： ， 解得． 19．快快和稳稳各自工作1小时，支付的费用分别是18元和12元 【分析】设“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是x、y元，根据机器人同时工作6小时需支付费用共180元．如果“快快”单独工作4小时，然后“稳稳”再单独工作8小时，需支付费用共168元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是x、y元， 根据题意，得 ， 解得： ， 答：“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是18元和12元． 20．(1) (2) 【分析】（1）将代入方程①可得的值，将代入方程②可得的值； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：， 解得； 将代入方程得：， 解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 21．(1)； (2)． 【分析】（1）方法一根据消元法求解即可，方法二题中提供的方法求解即可； （2）根据题中提供的方法求解即可． 【详解】（1）解：方法一： ， ，得：， 解得：， 将代入②，得：， 解得：， ∴； 方法二： ， 得：， 令， ∴， 解得：， ∴； （2）解：， 得：， 令， ∴， 解得：， ∴． 22．(1)足球和跳绳的单价分别为100元、20元 (2)有两种方案：方案一，购进足球15个，跳绳20根；方案二，购进足球18个，跳绳4根 (3)选方案一，购进足球15个，跳绳20根 【分析】（1）设足球和跳绳的单价分别为元、元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）由题意得：，根据，且、是正整数，进而求得的值，即可求解； （3）根据（1）（2）的结论列出算式计算，即可求解． 【详解】（1）解：设足球和跳绳的单价分别为元、元， 由题意得： ， 解得： ， 答：足球和跳绳的单价分别为元、元； （2）解：由题意得：，， 当全买足球时，可买足球的数量为：， ，且、是正整数 ∴ 或 ∴有两种方案：方案一，购进足球个，跳绳根； 方案二，购进足球个，跳绳根； 答：有两种方案：方案一，购进足球个，跳绳根；方案二，购进足球个，跳绳根； （3）解：方案一利润：（元）， 方案二利润：（元）， 元元， 选方案一，购进足球个，跳绳根 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“亲密方程”的定义即可得解； （2）联立方程组，利用加减消元法求解即可； （3）将解代入二元一次方程中，得到，，整体代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据“亲密方程”的定义可得，方程的“亲密方程”为；        （2）解：由题意得：， 得，， 即， ， ， ， 将代入得，，解得， ， ， ， 方程组的解为； （3）解：是方程的一个解， ， ，， ． 24．(1)80；12；22 (2)142 【分析】（1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒需要5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）分别求出100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒需要的小长方形和小正方形的个数，再判断需要的卡纸数即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 根据题意得：， ∴． ∴n的值为80，x的值为12，y的值为22； （2）解：100个竖式叠盖纸盒需要（个）小长方形，（个）小正方形， 50个横式叠盖纸盒需要（个）小长方形，（个）小正方形， 所以，100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒一共需要（个）小长方形，（个）小正方形， 又每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形 所以，1张标准卡纸可以剪裁成12个小正方形， 所以，（张）标准卡纸，还剩下2个小长方形； （张）标准卡纸，还剩下4个小正方形； 4个小正方形可拼成2个小长方形， 所以，，不足1张标准卡纸， 所以，做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要张卡纸． 答案第2页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $