精品解析：安徽池州市东至县2025—2026学年第二学期期中质量检测 八年级数学试题卷

2025-2026学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一井交回． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 4. 下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（ ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 5. 如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为米，与墙平行的边留有米宽的门（门用其他材料做成），若鸡场的面积为平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米或米 6. 化简的值为（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 7. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 8. 已知，则二次根式化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 10. 如图，在长方形中，，，以点为圆心，的长为半径画圆弧交对角线于点，连接,．则下列说法错误的是（ ） A. 的长是3.6 B. C. 的面积为1.68 D. 与面积相等 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 现有最简二次根式和，若它们是同类二次根式，则的值是_______． 13. 关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数．则m的值是______． 14. 欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理证法的一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、． （1）连接、，若，，则________． （2）过点B作，交于点M，交于点N，若、，则正方形的边长是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．顶点都在格点上的三角形就叫格点三角形，现有，两个格点，请以为边分别画出符合下列要求的格点三角形． （1）在图甲中画一个面积为6的直角三角形： （2）在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，并写出这个等腰三角形的腰长为___________． 18. 已知直角三角形的两直角边长分别为6和8，其第三边长为c，试对下列代数式先化简再求值：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的一个根为1，求另一个根和m的值． 20. 定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： （1）求代数式的值； （2）结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 六、（本题满分12分） 21. 为测量学校旗杆的高度，某学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆的点D处，眼睛距离地面，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． （1）在方案一中，由于是________三角形，所以要确定旗杆的高度，只需测量线段________的长度． （2）请根据方案二的测量数据，并利用八年级上册的知识，求旗杆的高度． （3）请根据方案三提供的数据，计算旗杆的高度． 七、（本题满分12分） 22. 某文体“网红”商店购进一批文创笔记本，该笔记本每本进价8元，物价部门规定每本笔记本的利润率不得超过，在销售过程中发现，每天销售量y（本）与每本售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每本售价为12元时，每天销售量为100本；当每本售价为14元时，每天销售量为90本． （1）求与x之间的函数关系式； （2）若该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润，则每本笔记本的售价为多少元？ （3）若该商店每天的固定成本为240元，那么每天销售这种笔记本能否获得500元的纯利润？若可以，请求出此时每本笔记本的售价为多少元，若不能，则说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一井交回． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母， 选项A中，，被开方数含能开得尽方的因数，不符合题意； 选项B中，的被开方数含分母，不符合题意； 选项C中，，被开方数含分母，不符合题意； 选项D中，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意， 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式化简的法则，二次根式的减法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、与不属于同类二次根式，不能运算，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的减法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】计算判别式的值，根据的符号即可判断根的情况． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程没有实数根． 4. 下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（ ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证每组数据即可． 【详解】解：①最长边为3，验证 ，而，故不能构成直角三角形，不符合题意； ②最长边为2，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ③最长边为5，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ④最长边为，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； 综上，符合条件的有②③④，共3组． 5. 如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为米，与墙平行的边留有米宽的门（门用其他材料做成），若鸡场的面积为平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米或米 【答案】D 【解析】 【分析】设鸡场与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米，根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】解：设鸡场与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米， 由题意得， ， 解得，， ∴鸡场与墙垂直的边长为米或米． 6. 化简的值为（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， 故选：B． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 8. 已知，则二次根式化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简，结合的条件去掉绝对值符号，即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足． ∵， ∴，因此可得， ． ∵， ∴， ∴． 9. 如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得， ， 解得：， ． 10. 如图，在长方形中，，，以点为圆心，的长为半径画圆弧交对角线于点，连接,．则下列说法错误的是（ ） A. 的长是3.6 B. C. 的面积为1.68 D. 与面积相等 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理可得，过作于点，利用等面积法可得，从而可以判断选项A；根据之前的计算得，则与不全等，即可判断选项B；利用面积公式可以直接求出面积，即可判断选项C；通过同底等高即可判断选项D． 【详解】解：A．过作于点， ，，， ， ， ， ， ， 根据作图可得， ，故A正确，不符合题意； B．在长方形中，， ∴， ， 与不全等， ， 即与不垂直，故B不正确，符合题意； C．，故C正确，不符合题意； D．过作于点， ，，， ， ， ，故D正确，不符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，进一步求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴， 解得 ． 故答案为 ． 12. 现有最简二次根式和，若它们是同类二次根式，则的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】最简二次根式为同类二次根式时被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵和都是最简二次根式，且为同类二次根式， ∴， 解得． 13. 关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数．则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据两根互为相反数，得到两根之和为0，求出m，再根据方程有解判断m的值是否符合题意，即可得解． 【详解】解：设方程的两个实数根为，由题意，得： ， ∴， 当时，原方程可化为：，此时无解； 当时，原方程可化为：，此时有解，符合题意， ∴； 故答案为：． 14. 欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理证法的一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、． （1）连接、，若，，则________． （2）过点B作，交于点M，交于点N，若、，则正方形的边长是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及矩形的判定与性质． （1）证明即可作答； （2）先证明是矩形，可得、长度，再在、、中，利用勾股定理即可求出，问题随之得解． 【详解】（1）解正方形、、， ，，， ，即， ， ， ， 正方形、、， ，， ， ； （2）解在正方形中，， ，， 四边形是矩形， ，，即， 中，，中，， 又中，， ，则：， ， 则正方形的边长是． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 或 ∴， 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．顶点都在格点上的三角形就叫格点三角形，现有，两个格点，请以为边分别画出符合下列要求的格点三角形． （1）在图甲中画一个面积为6的直角三角形： （2）在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，并写出这个等腰三角形的腰长为___________． 【答案】（1） 如图甲所示，即为所求： （2） 如图乙所示，即为所求（或画成或均可，注：本题画一种即可）腰长为：（或）： 【解析】 【分析】本题考查了作图，直角三角形性质，等腰三角形的性质以及勾股定理． （1）根据勾股定理求得，此时只需要作一个直角边为的直角三角形即可; （2）根据等腰三角形定义作出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知直角三角形的两直角边长分别为6和8，其第三边长为c，试对下列代数式先化简再求值：． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再利用勾股定理求出的值，代入计算即可． 【详解】解： 直角三角形的两直角边长分别为6和8，其第三边长为c， ， 当时，原式． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的一个根为1，求另一个根和m的值． 【答案】（1）且 （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程定义得出：，根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，即可得出答案； （2）先将代入方程，求出，再代入原方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故且． 【小问2详解】 解：将代入一元二次方程得：， ∴， ∴原方程化为：． 解得：，， 故，另一根为． 20. 定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： （1）求代数式的值； （2）结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题干中的方法进行解答即可； （2）根据（1）中的结论得到，进行解答即可． 【小问1详解】 解： ， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知： 而 两式相加得： 则 两边平方得到，，解得， 经检验，是方程的解， ∵，成立． 六、（本题满分12分） 21. 为测量学校旗杆的高度，某学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆的点D处，眼睛距离地面，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． （1）在方案一中，由于是________三角形，所以要确定旗杆的高度，只需测量线段________的长度． （2）请根据方案二的测量数据，并利用八年级上册的知识，求旗杆的高度． （3）请根据方案三提供的数据，计算旗杆的高度． 【答案】（1）等腰直角， （2）旗杆的高度为12米 （3）旗杆的高度为12米 【解析】 【分析】（1）根据题意及等腰直角三角形的性质解答； （2）作，根据直角三角形的性质得，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （3）设米，则米，根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【小问1详解】 解：要确定旗杆的高度应测量的长度； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴. ∴要确定旗杆的高度，只需测量线段的长度； 【小问2详解】 解：过点C作分别交于点M，交于点N， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由题可知，米，米，米，米， ∴米，米 ∵，， ∴， ∴米， ∴米． 故旗杆的高度为12米． 【小问3详解】 解：由题可知，，，， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 故旗杆的高度为12米． 七、（本题满分12分） 22. 某文体“网红”商店购进一批文创笔记本，该笔记本每本进价8元，物价部门规定每本笔记本的利润率不得超过，在销售过程中发现，每天销售量y（本）与每本售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每本售价为12元时，每天销售量为100本；当每本售价为14元时，每天销售量为90本． （1）求与x之间的函数关系式； （2）若该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润，则每本笔记本的售价为多少元？ （3）若该商店每天的固定成本为240元，那么每天销售这种笔记本能否获得500元的纯利润？若可以，请求出此时每本笔记本的售价为多少元，若不能，则说明理由． 【答案】（1） （2）每本笔记本的售价为12元． （3） 不能，理由： 由题意得： 整理得： ∵ ∴方程无解，故不能． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据题意列出一元二次方程，判断方程有无实数解即可． 【小问1详解】 解：设与间的函数关系式为，依题意得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 由题意得： 解得：，（舍去） ∵， ∴． 故，， 答：每本笔记本的售价为12元． 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】（1） 证明：由图可知，， ，， ， 又 ， ， ， ， ； （2）新路比原路少米； （3）． 【解析】 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得出，列出方程求解即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ； 答：新路比原路少米． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $