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人教A版˙选择性必修三˙数学探究
杨辉三角的性质与应用
校级课题《基于数学核心素养的问题式教学
设计与应用》研究实践课
市级课题《基于项目式学习的小初高贯通式数学实验
教学实践研究》研究实践课
主讲:江建雅
数学文化 拓展视野
1
《竹》 张南史
竹,竹.
披山,连谷.
出东南,殊草木.
叶细枝劲,霜停露宿.
成林处处云,抽笋年年玉.
天风乍起争韵,池水相涵更绿.
却寻庚信小员中,闲对数竿心自足.
2
《诗》 白居易
诗,诗.
绮美,瑰奇.
明月夜,落花时.
能助欢笑,亦伤别离.
调清金石怨,吟苦鬼神悲.
天下只应我爱,世间惟有君知.
自从都尉别苏句,便到司空送白辞.
一
一
一
二
一
一
三
一
三
一
四
一
六
四
一
五
一
十
十
五
六
一
一
六
一
一、认识“杨辉三角”
13世纪
17世纪
开方作法本源图
杨辉
帕斯卡
研究概率问题
“帕斯卡三角”
<<从杨辉三角谈起>>
20世纪
问题1:你知道杨辉三角的历史由来吗?
11世纪
贾宪
18世纪
牛顿二项式定理
“杨辉三角”
牛顿
数学家们居然在研究不同的问题时不约而同地在“杨辉三角形”处相遇!
探究新知 发现规律
问题2:杨辉三角是按照怎样的规则构成的?与二项式系数有何联系?
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第1行
第2行
第3行
第4行
第0行
第5行
第6行
第n行
问题3:你认为可从哪些方面探究杨辉三角?我们该如何探究杨辉三角的性质?
探究新知 发现规律
研究内容
性质
应用
研究方法
观
察
归
纳
猜
想
证
明
研究方向
局部
整体
杨辉三角与二项式系数
杨辉三角与数列
杨辉三角的“形”
如何观察?
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探究新知 发现规律
横看,竖看,斜看,连续看,隔行看等;采取画一画,连一连,算一算,进行归纳和猜想.
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①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
…
探究新知 发现规律
思考
函数的解析式是什么?定义域是什么?
分析第n行:
探究新知 发现规律
n=6
探究新知 发现规律
(1)对称性:每行中与首末两端“等距离”之数相等
(2)增减性与最大值:
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先增后减
探究新知 发现规律
第2行 1 2 1
第1行 1 1
第0行 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
1=
1+1=
1+2+1=
1+3+3+1=
1+4+6+4+1=
(3)横向求和:第n行各数的和为
探究新知 发现规律
第5行 1 5 10 10 5 1
(5)奇数项和与偶数项和相等:
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
温故知新
问题4:杨辉三角中,数字排列有序,是否能让你联想起学过的知识?
三角形数
四边形数
数形相遇、交相辉映
比如数列:数列是按照确定的顺序排列的一列数,如下列两组数构成的数列,我们还可以分别用图形呈现:
探究新知 发现规律
(4)递推性:除1以外的数等于肩上两数之和
探究新知 发现规律
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第4行 1 4 6 4 1
11=111
121=112
14641=114
1331=113
1=110
(6)
真的吗?
问题5:换个角度观察杨辉三角,你能从这些数字中找出哪些数列?
能否发现其中的规律?
探究新知 发现规律
探究新知 发现规律
(7)高阶等差数列
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
常数列
等差数列
一阶等差数列
二阶等差数列
2
3
4
3
6
10
常数1
正整数
四面体数
三角形数
探究新知 发现规律
(8)斜向求和:
第0行…………………………………
第1行………………………………
第2行…………………………
第3行………………………
第4行……………………
第5行………………
第6行…………
第7行………
第8行……
常数1
正整数
三角形数
四面体数
问题6:从每一斜列的和,你能提出哪些猜想?
问题7:斜线上各行数字之和有什么规
律?试给出推理证明.
探究新知 发现规律
第2行 1 2 1
第0行 1
第1行 1 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
(9)斐波那契数列:
1
2
5
第5行 1 5 10 10 5 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
1
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8
13
21
34
探究新知 发现规律
动手操作:将杨辉三角中的奇数涂黑,你有什么发现?
谢尔宾斯基,波兰数学家,1882年出生.他对集合论、数论、函数的理论和拓扑学的研究作出了突出贡献.
数形相遇
,交相辉映
谢尔宾斯基三角
知识迁移 巩固提高
知识迁移 巩固提高
(石家庄模拟)如图,在杨辉三角形中,斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列:1,3,3,4,6,5,10,…,则这个数列的第19项为( ) A.55 B.110
C.58 D.220
知识迁移 巩固提高
(广东东莞)如图所示,在杨辉三角中,每个数都是其“肩上”的两个数之和,例如第4行的6为第3行中两个3的和.若在杨辉三角中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则在该数列中,第37项是_______.
知识迁移 巩固提高
解决杨辉三角问题一般思路
方法提炼
古为今用 提升思维
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在游艺场,可以看到如图的弹球游戏,小球 (红色 ) 向容器内跌落,碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落,碰到第二层阻挡物再等可能地由两侧向第三层跌落,如此下去,最终小球落入底层,根据具体区域来获得奖品.
问题1:为了获得利润,比较贵的奖品放在靠近中间的区域还是靠近两侧的区域?
问题2:能否写出第四层每个通道的获奖概率呢?
小球通过通道下落之后,向左、向右的选择是等可能的,越向中间,选择的路径的可能越多.
杨辉三角与概率
古为今用 提升思维
杨辉三角与概率
课堂小结
课后作业
1.查找资料,并阅读华罗庚的《从杨辉三角说起》,看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密.
2.用我们今天所学的探究方法,研究莱布尼茨三角,你能从这个数阵中发现哪些秘密呢?
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