江苏锡山高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

江苏省锡山高级中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 展开式的常数项为（ ） A. 20 B. 90 C. 40 D. 120 2. 甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 的展开式共（ ） A. 15项 B. 21项 C. 25项 D. 31项 5. 袋中有质地、大小均相同的3个红球，2个白球.现从中任取3个球，其中所含红球的个数为，则（ ） A. 1.2 B. 1.8 C. 2 D. 3 6. 某校A，B，C，D，E这5名同学需要选择甲、乙、丙三个校本课程，每人限报一个课程．若这三个课程都至少有1名同学选择，其中A不能选甲课程，B只能在甲乙课程中选，那么这5名同学不同的选择方法种数共有（ ） A. 69种 B. 71种 C. 73种 D. 79种 7. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 学校食堂每餐推出、两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数服从超几何分布 C. 若随机变量的方差为，则 D. ，则当时概率最大 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数有两零点，且，记函数的极小值点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则________． 13. 设，是一个实验的两个事件，，，，则________． 14. 若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 4名男生和3名女生站成一排． （1）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ （2）甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？ （3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 16. 某工厂生产某种电子产品，需要经过两道检验程序，只有两道检验都合格，才能对外售卖，否则该产品只能报废处理．已知第一道检验程序结果为不合格的概率为，第二道检验程序结果为不合格的概率为，每道检验程序的结果只有合格与不合格，且检验结果相互独立． （1）求每个电子产品不能对外售卖的概率； （2）每个电子产品的生产成本为200元，售价为600元．现生产了3个这样的电子产品，求这3个电子产品总收益的均值． 17. 已知函数（为自然对数的底数）． （1）讨论的单调性； （2）若有最小值，证明：． 18. 现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂．设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为． （1）求的分布列和数学期望； （2）求概率； （3）求概率． 19. 函数的定义域为D，若对任意正实数，在定义域内存在实数，使得成立，则称具有“性质”．已知函数． （1）当， ①求曲线在处的切线方程； ②判断函数是否具有“性质”，并说明原因； （2）当时，设，且满足，求证：． 江苏省锡山高级中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1）240种 （2）960种 （3）840种 【16题答案】 【答案】（1） （2）750元 【17题答案】 【答案】（1）时在单调递减；时在单调递减， 在单调递增； （2） 由（1）知：时单调递减，无最小值，仅当时存在最小值， 则 对求导：，设，， 故在单调递减， 又，， 故存在唯一，满足，即. 因此：时，，单调递增； 时，，单调递减； 故的最大值为，代入化简： 在上单调递增，， 故：， 因此，得证. 【18题答案】 【答案】（1） ； （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）①； ②具有，理由： 函数具有“性质T”. 理由如下：假设函数具有“性质T”，则对任意正实数t，在定义域内存在实数， 使得成立，由，则， 所以，即， 化简得. 令，则， 由，得；，得； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时取得极大值，也是最大值，即， 当时，；当时，， 所以存在，使得，所以函数具有“性质T”. （2） 由，由， 当时，，即在为增函数； 当时，，即在为减函数. 可知， 若，则， 不符合题意；所以. 若，则； 若，，又因为在为减函数， 所以，所以； 综上所述， 又因为，由，所以， 即，即， 设， 所以， 方法一：设，所以， 因为在为单调递增， 当时，，，， 所以存在，使得，即， 又因为，，即在为减函数； 又因为，，即在为增函数； 所以， 又因为，则有， 又因为，， 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 方法二： 设，因为在单调递增， 又因为所以 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $