广东广州市第三中学等三校2025-2026学年第二学期期中素养综合评估检测题高二数学（问卷）

2025学年第二学期期中素养综合评估检测题 高二级 数学参考答案评分标催) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A c B D A ABD ABD 题号 11 答案 BCD 1.A 【详解】等差数列{a}中，由S,=35,得+a)=35,即7a,=35,解得a=5, 2 而=2则公差d子子子所以a=4,+-2H1山 2B【销解1了02名0 2 =2, 所以过点L,1)的切线方程为：y-1=2(x-1),即2x-y-1=0 3.B【详解】由题意，每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是4=64. 4.A【详解】第一步，从4名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C=6种方法； 第二步，从剩下的2人中选派1人参加星期日的公益活动，有C2=2种方法， 所以不同的选派方法共有6×2=12种方法. 5.C【详解】法一：原式 [w+--(+4ear+'ae+er+a万 所以其常数项为C42+CC4(-4)2+(-4)4=1120. 法二： --a--cef-ge 由8-2k=0,得k=4,所以常数项为(-1)4×24C4=1120 故选：C 6B【详解】由题当x>0时，f()-出，所以了g=0-血d 所以当x∈(0，e)时，f'(x)>0,当x∈(e,+o)时，f'(x)<0; 所以f(x)在区间(O,e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， 当x=e时f(e)=1,当x→0时，f(x)→-o: 答案第1页，共9页 当x→+0时，f(x)→0：所以可作出函数的图象，如下图， -6 若要使函数g(x)=f(x)-3m有4个不同的零点， 所以y=f(x)的图象与直线y=3m有4个交点，即0<3m<1,解得0<m< 3 7.D【详解】设等比数列的公比为q(q>0),9a,+4= +ag2=72+822, 72 8q2=48, q2 当仪当牙，g=6时以等号，北时4-号多 72 8.A【详解】由a+a+2=21+2,得(ant2-a)-(a1-an)=2, 故数列{a1-a}是公差为2的等差数列，首项为42-4=4-1=3， 所以a41-an=3+2(n-1)=2n+1, 则a.=(a-a-1)+(a-1-an-2)+…+(a2-a4)+4=(2n-1)+(2n-3)+…+3+1 -(2n-1+1=m,n≥2，显然a=1满足上式，则4=m， 故4=[3)=4，当m≥2时，2<2+3，故6=2+3， 1 n 所以数列{b,}的前2026项和为4+3×2025=6079，故A正确. S,=a1+q+g2)=7 4=4 9.ABD【详解】对于A、B,由 a3=4q2=1 ,解得 1,故A、B正确； 9>0 9= 2 对于C:S,= 31, 故C错误； 1-q 4 2 答案第2页，共9页 wg到 -付1-小」8DE 10.ABD【详解】令x=0,即4=-2，故A正确： 可知(x-2)(K+1)的展开式为(x-2)Cx4-=x.Cx+-2Cx4=Cx-2Cx-t, 则x2项的系数4=C4-2.C=-8,故B正确： 令x=1,即a,+4+4,+,+a,+a,=-16,所以4+4，+4+4，+a=-14,故C错误； 令x=-1,即4-4+42-4+a4-a=0,联立可得4+4+4=-8 山，BCD【详解】解：对于A选项，)=六的定义域为(O1)uLo),所以A选项 错误： 对于B选项-，令f(0可得>， 24 4 即函数f(9在(e+)上单调递增，f(2)22n2h4f(4.e<<4, 即f(π)<f(4)=f(2),所以B选项正确： 对于C选项，令8(x)=f(x)-2k+1=0,即f(x)=2k-1, 8(x)=f(x儿2k+1有3个不同的零点等价于函数出=f(x)和函数y,=2k-1有3个不同 的交点， y=f(x) y=2k-1 O1 e 由图像可知，2k1>®，解得k>，所以c选项正确 对于D选项，方程f(=k有6个不等实数根等价于函数y=f(训和函数y,=k有6个 不同的交点， 答案第3页，共9页 y=f) -e -1O e 由图像可知，k>e,所以D选项正确. 12.18【详解】满足条件的选法可分为两类：只选1门知识类选修课和选2门知识类选 修课，其中只选1门知识类选修课的选法有CC=12种. 选2门知识类选修课的选法有C?=6种， 所以符合条件的选法有12+6=18种 13.-260【详解】依题意可知，1-2x)展开式中含x的项为C·(-2x),含x的项为 C·(-2x)3,因此(3+2x2)1-2x)°的展开式中含x的项为 2x2.C·(-2x)+3C(-2x)3=-260x3,所以x的系数为-260 14.存o）【详解】由于y=+a>0,则y=a- 则曲线y=+(a>0)在点(x,)的切线方程为y 1 即a- x-y+ 二=0，又因为此切线也为圆x+2=4的切线， 2 则圆心(0,0)到切线的距离d 。12 2两边平方，化简为专=[-x+ a +1 ,则t=a-0+1,即rP-(2a+r 因为存在4条切线，所以上述一元二次方程有两个不同的正实根时x。有4个解， (2a+1)2-4(a2+1)>0 则{2a+1>0 3 ,解得a>4 am2+1>0 所以a的取值范围是 答案第4页，共9页 a2+4=2a+5d=12, 15.【详解】(1)由题意得 1S,=5a+10d=25, -4分 解得 a=1, d=2, -6分 所以an=41+(n-1)d=2n-1.---7分 2》由6 2 11 a.a+1(2n-1)(2n+1)2n-12n+1' -9分 所以工=6+6++6=1-}1 1 1 335+ ------11分 2n-12n+1 -1-,1<1.-13分 2n+1 16.【详解】q)由题可得时)=上冬--(x>0,…2分 因为曲线y=f(x)在点(ef(e)处的切线与直线x=2垂直， 所以∫g=二k=0,…3分 e2 解得k=e;------4分 (2)由1)知f)=>0,令f)=0,解得x=e 由f"(x)<0,解得0<x<e,由f'(x)>0,解得x>e,--6分 所以f(x)的单调减区间为(0，e),单调增区间为(e,+o),---8分 当x=时，f(x)取得极小值f(e)=2;---9分 (3)由g(N)=f()-x=nx+冬-x在(0，+)上单调递减， 即g)-是-1三立0在0*上有酸立，10分 x2 即k≥-x2+x在(0，+o)上恒成立，所以k≥(r+xx’-l1分 令()=-+x《≥0)，易知()在0，宁上单调递增，在兮+网）上单调递减，-…13分 41 1.） 即k的取值范围为4+0 .---15分 答案第5页，共9页 17【详解】(1)如图，取CD的中点O,因为PC=PD=3,所以PO⊥CD,-1分 因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,POC平面PCD, 所以PO⊥平面ABCD,--3分 又BCC平面ABCD,所以PO I BC, 又BC⊥PD,POc平面PCD,PDc平面PCD,PDO PO=P, 所以BC⊥平面PCD.----5分 (2) A2方 因为PC=PD=3,O为CD的中点，CD=2,所以OC=1PO=VPC2-OC2=2√2. 过点O作OE∥BC交AB于点E,由BC⊥平面PCD,CDC平面PCD,可得BC⊥CD,则 OE⊥CD. 以O为坐标原点，OE,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角 坐标系，-7分 则4(2-3).21o.ca1o0j,Pa,2.Q0分5： 所以4西=040,40-(2V2,丽(212/，BC(2.09.-9分 ,7 设平面ABQ的法向量为i=(x,y,)，则 n.40=-2x+2yW2z=0 ---10分 i.AB=4y=0, 令x=1,得n=1,0,V2.-11分 设平面PBC的法向量为i=(a,b,c), 则m-BP=-21-b+2V2c=0. -.-12分 m.BC=-2a=0, 令c=1,得m=(0,22,1.---13分 答案第6页，共9页 设平面ABQ与平面PBC的夹角为B,则cosO= m列2-√6 园3x√591 故平面1B0与平面PBC夹角的余弦值为√ --15分 9 18.【详解】(1)已知离心率e=￡=V3,故e2= =3,结合c2=a2+b2得b2=2a2, a a 所以双借线方程可写为若云-1代入点5回得：子子-1， 32 解得a=2,所以b=4,双曲线c的方程为 =1.-----4分 24 (2)由(1)得右焦点F(√6,0)，分两种情况讨论： [x=√6 若直线1斜率不作在.则1：x=6,由生上得25 {24-1x=6 不妨设A(√6,2√2)，B(√6，-2√2)， 则：OA=(N6,22),0B=(N6,-2W2),所以OA0=6-8=-2: -----6分 若直线l斜率存在，设为k,则1：y=k(x-√6)， y=k(x-6) ，得(2-k)r+262x-6k2-4=0, --7分 此时△=24k+4(2-k2)(6k2+4)=32+32k2>0且k≠±√2.--8分 2-e,5,=(62+4) 设4(，B0,，由韦达定理：+3=2V -9分 2-k2 则：OA0B=xx,+yy,=x3,+k(x-6)32-V6)=(1+k2)xx,-V6k2(飞+x)+62 =1+9g装-62,20+6k2-66+21w心-装-2 2-k2 2-k2 2-k2 综上，OA.OB=-2,即OAOB为定值.-11分 (3)假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则OM与PQ中点重合， 设P9中点为G(x,),则M(2x,2y)。 设，y,2,),则兰兰=1三兰=1，两式相减得=业=+54，即 24 ”24 ￥-x22+y21 2 答案第7页，共9页 整理得PQ方程为2.xx。-,=2x-y。-13分 又M在双曲线上，代入得2)2)=1，即2x-巧=1，故2方程为2，-w=1. 2 4 若y。≠0， 联立P9与双曲线2x2-y2=4,消去y得（4x-2y)x2-4xx+1+4=0,---15分 即2x2-4xx+1+4=0,判别式△=16x-81+4y)=-24y<0: 若%-0，则2x=1,P0:x=±5，代入双曲线得y=-3,无实根 2 因此不存在满足条件的三点.--17分 19.【详解】(1)f(x)=2e-ar的定义域为R,f'(x)=2e-a. 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在R上单调递增；--2分 a 当a>0时，由f'(x)=0得x=ln5, 2 由f四20符x≥好由f0得号 则J在m,h上单调递减，在 2 血2+∞上单调递增. 4分 综上，a≤0时，f(x)在R上单调递增， a>0时，（在m,h上单调递减，在n兴 上单调递增.-5分 2 (2)因为f(x)在R上有两个零点，所以a≠0， 由f-=0相总-子令)之则m) er, 所以m(1)=0,x>1,时，m(x)<0,x<1时，m(x)>0, 所以m(x)在(-o,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减， m(x)有极大值，也就是最大值为m①)=上， ----8分 e 又m(0)=0,x无限趋近+o时，m(x)无限趋近于0， 所以∫(x)在R上有两个零点时，0< 21 a e 所以a>2e,即a的取值范围是(2e,+∞).----11分 答案第8页，共9页 （3)因为8()f()=e-号有两个极值点名， 2 所以g6)-e心-2x-号0，有两个实数根， 所以c0-24=号c-25=受可得c-c=2(化），12分 e'-1 设t=x2-x1>0,将x2=x+t代入，得{ e*2 _2t.e e'-1 所以e+c=+2e-2+21.e -----13分 e-1e-1e-1 所以要证e+e>4,只需证21+21.C>4,即t-2)c+t+2)>0. e-1 设h(t)=(t-2)e+(t+2)(t>0),则h(t)=(t-1)e+1.--14分 令p(t)=(t-1)e+1,则p'(t)=te>0,可知h(t)=(t-1)e+1在(0，+∞)上为增函数. 又h(0)=0,所以t>0时，1(t)>0,h(t)=(t-2)e+(t+2)在(0，+o)上为增函数. 所以h(t)>h(0)=0,即(t-2)e+(t+2)>0成立，所以e+e>4成立.-----17分 答案第9页，共9页2025学年第二学期期中素养综合评估检测题 高二级 数学（问卷） 一、单选题每小题5分共40分 1.记Sn为等差数列{a}的前n项和，若a2=2,S,=35,则a。=（ A.11 B.9 C.8 D.5 2.在曲线f(x)=n(2x-1)+1上的点(1,1)处的切线方程为( A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 3.3名同学计划去A,B,C,D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是 ( A.81 B.64 C.24 D.12 4.从4名志愿者中选派3人在星期六、星期日参加公益活动，要求每人只参加一天，且星 期六需要有两人参加，星期日需要有一人参加，则不同的选派方法共有() A.12种 B.20种 C.24种 D.36种 )4 的展开式中的常数项是( A.352 B.-352 C.1120 D.-1120 [x2+6x+3(x≤0) 6.已知函数f(x)= elnx(x>0) 若函数g(x)=f(x)-3m有4个不同的零点则m的 取值范围是( ) ( 7.设各项为正数的等比数列{a}中，4=8，则9a+a,取最小值时，a,等于( ) 8 B. 27 C. 8.设数列{a}满足4=1，a2=4,a。+a+2=2a+1+2,若[x)表示大于x的最小整数，如[2)=3， [-2.1)=-2,记b= n(2n+1) 则数列b}的前2026项和为() A.6079 B.6080 C.6081 D.6082 试卷第1页，共4页 二、多选题每小题6分，共18分，错选得0分，答对部分得部分分。 9.记公比大于0的等比数列{a}的前n项和为Sn.若S,=7,4=1,则( 1 A.a1=4 B.4=2 C.S=8 D.ar+S=8 10.己知多项式(x-2)(x+1)=a,+a4x+a,x2+a4x3+a,x4+ax，则下列说法正确的是 A.4=-2 B.a2=-8 C.4+42+4+44+4=-16 D.4+4+a4=-8 1.对于函数∫：)其，下列说法正确的是( Inx A.f(xr)在(0，e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增 B.f(π)<f(2) C.设8()=/(x引-2k+1有3个不同的零点，则k>e+1 2 D.若方程f(x=k有6个不等实数根，则k>e 三、填空题每小题5分，共15分 12.某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一 门知识类选修课，则不同的选课方案共有 种 13.在(3+2x)1-2x)的展开式中，x的系数为一 14.若存在4条不同的直线既是圆x2+y2=4的切线，也是曲线y=+二(a>0)的切线，则a 的取值范围是 试卷第2页，共4页 四、解答题共77分 15.(13分)已知{a}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn,且a2+a5=12,S=25 (1)求{a}的通项公式： (2)若数列b}满足b。= 2 ad -,其前n项和为Tn,证明：T<1. 16.(15分)设函数f)=nx+keR. (1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线与直线x=2垂直，求k的值：（其中e为自然对数 的底数)： (2)在(1)的条件下求f(x)的单调区间和极小值： (3)若g(x)=f(x)-x在(0，+∞)上单调递减，求k的取值范围. 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/1CD,BC=CD=2,AB=4,PC=PD=3, 平面PCD⊥平面ABCD,PD⊥BC,Q是棱PC的中点. 力 (1)求证：BC⊥平面PCD; (2)求平面ABQ与平面PBC夹角的余弦值. 18.（17分)已知双重线c.若若1(a>0,b0)的离心率为5，且c过点5。 O为坐标原点. (1)求C的方程. (2)动直线I过C的右焦点F且与C交于A,B两点，证明：OA.OB为定值. (3)C上是否存在互不重合的三点P,Q,M,使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在， 求出直线PQ的方程；若不存在，请说明理由. 19.(17分)已知函数f(x)=2e-a,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)在R上有两个零点，求实数a的取值范围； ③)若函数g)-)有两个极值点名，。，正