广东广州奥林匹克中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期中测试试题

2027届广州奥林匹克中学高二下学期期中阶段考试 数学 命题人：周舟 审题人：杨瑛 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的系数是（ ） A. 6 B. C. 192 D. 3. 随机变量X的分布列为： 0 1 2 则=（ ） A. B. C. D. 5 4. 近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量部 10 15 20 30 35 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，预测当时，（ ） A. 67.5 B. 68 C. 78.5 D. 69 5. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ） A. 70 B. 64 C. 58 D. 52 6. 一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中球的编号为偶数的个数，则以下结论不正确的是（ ） A. 若采取有放回摸球，则 B. 若采取不放回摸球，则 C. 若采取有放回摸球，则 D. 若采取不放回摸球，则 7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的极大值为54 D. 函数在区间上的最小值是 10. 已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与相互独立，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果，那么 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 除以的余数为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 13. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现存门大炮同时对某一目标各射击一次．如果，则恰好击中目标3次的概率为________；如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要______门大炮.（参考数据：） 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记等差数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 16. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； （3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 17. 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥． （1）证明：面平面； （2）当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若有两个零点，，证明. 19. 已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. （1）求抛物线C的标准方程； （2）证明：点T在定直线上； （3）在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 2027届广州奥林匹克中学高二下学期期中阶段考试 数学 命题人：周舟 审题人：杨瑛 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 5 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 由（1）知：，可得，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 因为，所以. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . （3）数学期望为8，方差为7. 【17题答案】 【答案】（1） 由题意得，为等边三角形， 又为中点，所以，， 由翻折性质，翻折至，垂直关系不变，故 ， 又因为，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增． （2） （3）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2） 抛物线的焦点坐标为，设过的直线方程为， 直线与抛物线交点、坐标分别为、且， 联立直线方程和抛物线方程可得， 化简可得， 根据韦达定理可得，， 对抛物线求导可得， 因此在处的切线斜率为，则切线方程为， 因为在抛物线上，所以，代入可得， 同理可得在处的切线方程为， 联立两条切线方程可得，化简可得， 因为，所以解得，代入可得， 因为 ，所以，即点在定直线上. （3）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $