8.1基本立体图形 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§8.1 基本立体图形 1. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（   ） A．（1）是棱台 B．（2）是圆台 C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱 2. 下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 3. 如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 4. 多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （   ） A．6 B．10 C．12 D．20 5. 下列正确的是（    ） A．过球面上两点与球心有且只有一个平面 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 6. 已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 7. 如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 8. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（   ） A． B． C． D． 9. 如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 10. （多选）一正方体如下图所示切掉了上半部分的，现在从任意面剖开，下面哪一项可能是该多面体的截面（    ） A． B． C． D． 11. 如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是________________（选择下列其中一个填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 12. 如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm，书脊的长度是20cm，蚂蚁爬行的最短距离_______. 13. 如图为无盖正四棱台容器，其中.现有一只蚂蚁位于正四棱台容器外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿再从内壁爬到棱的中点P处，则它在正四棱台内壁爬行路程为______.（容器壁厚度不计） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §8.1 基本立体图形 1. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（   ） A．（1）是棱台 B．（2）是圆台 C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果． 【详解】图①不是由棱锥截得的，所以①不是棱台； 图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台； 图③是棱锥． 图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱． 故选：C． 2. 下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断几何体是否为棱柱、判断几何体是否为棱台、圆柱的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定义，即可判断D． 【详解】         图1               图2 对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 故选：D． 3. 如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】组合体的构成 【分析】根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解. 【详解】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确. 故选：C 4. 多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】多面体概念及分类、多面体的性质探究 【分析】根据给定条件，结合欧拉公式列出方程组，求解方程组即得. 【详解】设该多面体的顶点数为，棱数为， 依题意，，消去得， 所以. 故选：C 5. 下列正确的是（    ） A．过球面上两点与球心有且只有一个平面 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】球的截面的性质及计算、判断几何体是否为圆台、棱台的结构特征和分类、正棱锥及其有关计算 【分析】对于A选项，举反例：球面上两点与球心在一条直线上；对于B选项：举反倒，平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台；对于C选项：由正棱锥的定义与性质知正确；对于D选项，举反例 ，侧棱的延长线不交于一点. 【详解】对于A选项：当球面上两点与球心在一条直线上时，这样的平面有无数多个，如下图： 对于B选项： 若平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台,如下图: 对于C选项：由正棱锥的定义与性质知，正棱锥的所有侧棱均相等，底面是正多边形，所以侧面是全等的等腰三角形； 对于D选项：棱台要求侧棱的延长线交于一点,反例如下： 故选：C. 6. 已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆台的展开图 【分析】首先求出底面圆的半径，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，设，利用弧长公式及求出与，再在中利用余弦定理求出即可. 【详解】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 故选：A 7. 如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】棱台的结构特征和分类 【分析】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案. 【详解】    如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 故选：D. 8. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将平面、平面延展为同一个平面，分析可知当、、三点共线时，取最小值，结合勾股定理可求得结果. 【详解】将平面、平面延展为同一个平面，如下图所示： 由图可知，当、、三点共线时，取最小值， 且，，且， 延展后，、、共线，且，，， 由勾股定理可得. 故的最小值为. 故选：D. 9. 如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】展开可能走过的长方体平面，由两点之间线段最短求出各个最短距离比较即可求解. 【详解】第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和 则所走的最短线段是； 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短. 故选：A. 10. （多选）一正方体如下图所示切掉了上半部分的，现在从任意面剖开，下面哪一项可能是该多面体的截面（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】通过作截面可得截面图形形状，进而可得结论. 【详解】 沿着图中红线截开可得A选项图形； 沿着图中红线截开可得C选项图形； 沿着图中红线截开可得D选项图形； 不论怎样作截面均得不出B选项图形. 故选：ACD. 11. 如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是________________（选择下列其中一个填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 【答案】四棱锥 【难度】0.86 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【分析】观察剩余部分的面数及各面的形状，结合四棱锥定义确定结论. 【详解】在三棱台中，截去三棱锥后剩余部分共有个面， 分别为和梯形，且四个三角形有公共顶点， 故剩余部分是四棱锥. 12. 如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm，书脊的长度是20cm，蚂蚁爬行的最短距离_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将书展开可，根据已知结合勾股定理，即可得出答案. 【详解】将书展开可得如图（蚂蚁在处，饼干在处）最短路线为，， 由已知可得，，，则. 又，由勾股定理可得， 所以，. 故答案为：. 13. 如图为无盖正四棱台容器，其中.现有一只蚂蚁位于正四棱台容器外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿再从内壁爬到棱的中点P处，则它在正四棱台内壁爬行路程为______.（容器壁厚度不计） 【答案】 【难度】0.4 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将四棱台侧面展开（如图），问题转化为求线段的长度，此时最短，根据余弦定理求解. 【详解】依题意可得正四棱台侧面等腰梯形的内角， 将正四棱台内侧面展开到梯形的上方，其中，， B，，正好在同一直线上，问题转化为求线段的长度，此时最短， 设棱的中点为Q，由于与平行，则在中，，， ， 则得. 又， 所以蚂蚁在正四棱台内壁爬行路程为. 故答案为：. 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