江西九江市同文中学2025-2026学年下学期期中考试高二年级数学试卷

九江市同文中学2025-2026学年度下学期期中考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟试卷分数：150分命题人：高一数学备课组审稿人：高一数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.在等差数列{an}中，a5=8,2a3=a2+6,则公差等于() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知Sn是等差数列[a}的前n项和，若a1=-2026,0-=6,则S2026等于() 20192013 A.-4052 B.2026 C.-2026 D.4052 3.数列a满是a=2a1=1-0∈N),则a等于( ) A含 B.-1 C.2 D 4.函数f)=2x的大致图象是( x-1 5.若函数)=血r-)心-1在2,5]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为(） g B(23 c合) D(g树 6.如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7)的会徽图案，其主体图案是由图乙的连串直角三角形演 化而成的.己知0A1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6=A6A7=A7A8=…=2,A1,A2,A3,为直 角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为a,小，令b:=一2Sn为数列b,的前n项和，则 S99=() ICME-7 图甲 图乙 第1页，共4页 A.18 B.20 C.22 D.24 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<f'(x)-2,则() A.f(2026)-ef(2025)>2(e-1) B.f(2026)-ef(2025)<2(e-1) C.f(2026)-ef(2025)>2(e+1) D.f(2026)-ef(2025)<2(e+1) (2lnx 8.设函数f(x)= ,x>1 若关于x的方程[f(x)]2+mf(x)-1-m=0恰好有4个不相等的实数 -(x-1)3,x<1 解，则实数m的取值范围是() A(,) B.(1,+1 c.（-1,2-1 D.(1-2-) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知{an}为等比数列，Sn是其前n项和.若a2a3=8a1,且a4与2a5的等差中项为20，则() A.a1=1 B.公比q=-2C.a4=8 D.S5=31 10.设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则() A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a使得点(1，f(1)为曲线y=f(x)的对称中心 11.己知Sn是数列{an}的前n项和，且a1=a2=1,an=an-1+2a-2(m≥3)，则下列结论正确的是() A.数列{an+an+1}为等比数列 B.数列{an+1-2an}为等比数列 C.530=号(810-1) D.0n=2n+1+-1)n 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数fx)的导函数为f′()，且f(o)=2xf'(写)+2sinx,则f′（写） 11 13.已知数列[a}满足a=2,a4=4+24,+4++n0.,则数列a,3的通项公式为 3 14.若函数f)=2e*-ax-alnx有2个零点，则实数a的取值范围是 第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列bn}为等比数列，且满足b1=3a1=3,b2=S2+6,b3=S3+21. (1)求{an}和bn的通项公式 (2)设c=b+忌求数列c,的前n项和T: 16.(本小题15分) 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求实数b的取值范围. 17.(本小题15分) 已知函数f(x)=me*-lnx-1. (1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线与坐标轴围成的面积： (2)当m≥1时，证明：f(x)>1. 第3页，共4页 18.(本小题17分) 已知数列{an的前n项和为Sm,Sn=2an-2(nEN),数列{bn}满足b1=1点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0 上 (1)求数列{an,{bn}的通项an和bn: (2)令cn=an·bn求数列{cn}的前n项和Tn: (3)若1>0，求对所有的正整数n都有22-k1+1>m成立的k的范围. a2n 19.(本小题17分) 已知函数f)=ax++c(a>0)的图象在点(1，f1)处的切线方程为y=x-1. (1)试用a表示出b,c: (2)若f(x)≥lnx在[1，+o)上恒成立，求a的取值范围； (3)证明：1++写++>1n0m+1)+2m之1). n 第4页，共4页 高二期中考试试卷答案 1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.A 7.A8.D 9.ACD 10.AD 11.ABC 12.-1 B民n三 14.(2e,+∞) 1.【答案】B 解：设等差数列的首项为a1,公差为d,因为a5=8,2a3=a2+6, 所份法”a++6g设-” 故选：B 2.【答案】C 解：因为Sn是等差数列{an}的前n项和， 则数列丹}是等差数列. a1=-2026, 器-器=6， 则数列贸}的公差d=名=1，首项为1=4=-2026， 6 所以202=-2026+1×2025=-1,52026=-2026. 2026 故选：C 3.【答案】A 解：因为a1=2,a+1=1-二 an 所以=1-=克a=1-=-1,a=1-=2.s=1-品=克a6=1-=-1,… a2 a3 所以数列{an}是周期数列，周期为3， 所以a1=2=2 故选：A. 4.【答案】C 解：因为f=2x-1,则函数的定义域为(-∞，1)U(1,+o), x-1 所以f'(=e2x-1)t2e10x-1)-e2x-=xe2x-3) (x-102 (x-1)21 第1页，共12页 由f'()>0,得x>或x<0, 所以函数的单调递增区间为(-∞，0)，(2，+o), 由f'()<0,得0<x<且x≠1， 所以函数的单调递减区间为(0,1)，(1，)， 且x<0时，f(x)>0, 分析图象可知，C选项正确。 故选：C 5.【答案】D 解：因为函数()=rax-1在[2,5列上存在单调递减区间。 所以存在x2,使)-ar<0成立，即存在xe2,使a>成立， 令宁因为所以引 所以当专即=5时，Gr5所a>名 1 故选：D. 6.【答案】A 解：根据题意：0A1=A1A2=A2A3=…=A7Ag=..=2, 得0A2=2V2,0A3=2V3,0A4=2V4=4,., 故0An=2√n, an=OAn AnAn+1+OAn+1=2vn+2+2vn+1, 4 bn an2=ntityi=2(vn+1-vn) ·S99=b1+b2+..+b99=2[(√2-1)+（√3-V2)+..+(W100-V99)]=2(10-1)=18, 故选：A. 7.【答案】A 解：令gx=f9+名，又fx）<f'(o-2 则g'(x)=四f-2>0, ex 因此函数g(x)是增函数， 于是得g(2026)>g(2025), 第2页，共12页 即f2026)+2 f2025)+2 e2026 e2025 所以f(2026)+2>(f(2025)+2),即f(2026)-ef(2025)>2(e-1), 故选：A 8.【答案】D 解：因为[f(x)]2+mf(x)-1-m=0恰好有4个不相等的实数解， 所以(f(x)+m+1)f(x)-1)=0恰好有4个不相等的实数解， 所以f(x)=1或f(x)=-m-1共有4个解， 设h()=x≥1，则h'()=2 2, 所以x∈(1，e)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， x∈(e,+o)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 且h()=0,h(e)=3 当x→+∞时，h()→0，所以h()e[0,： 设g(x)=-(x-1)3,(x<1), 则g'(x)=-3(x-1)2<0,g(x)为单调减函数， 且x→-∞时，g(x)→+∞，g(1)=0,g(x)∈(0，+∞) 作出函数f(x)的图象如图所示： 2 X 0 第3页，共12页 由图可知f(x)=1只有一解， 要(f(x)+m+1)f(x)-1)=0恰好有4个不相等的实数解， 即要f(x)=-m-1恰有3解， 所以0<-m-1<号 即-1-名<m<-1, 故选：D. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9.【答案】ACD 解：设等比数列{an}的公比为q, 若a2a3=8a1,则a1q·a1q2=8a1,即a1q3=8, 由a4与2a5的等差中项为20，可得a4+2a5=40, 即a1q3+2a1q4=40, 解得a1=1,q=2, 则a,=85=空=31 10.【答案】AD 解：A选项，由f)=0,可得3a=2x+之，对于函数y=2x+之，根据导数知识可得其函数图象如图所 示， 3-2 当a>1时，3a>3,由图象可知直线y=3a与y=2x+有三个交点，即f()有三个零点，A正确； B选项，f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a,当a<0时，若f'(x)<0,则a<x<0,若f'(x)>0,则x<a 或x>0, 则x=0是f(x)的极小值点，B错误； 第4页，共12页 C选项，对于Va∈R,当x→-o时，f(x)<0,x→+o∞时，f(x)>0, 故f(x)的图象不可能是轴对称图形，C错误； D选项，若点(1，f(1)为曲线y=f(x)的对称中心， 则有f(1+x)+f(1-x)=2f(1), 即2x3+(6-3a)x2+(6-6a)x+3-3a-2x3-(3a-6)x2-(6-6a)x-3a+3=2(3-3a), 化简得(12-6a)x2=0, 当a=2时，对于Vx∈R等式成立，D正确 11.【答案】ABC 解：am=an-1+2an-2,an+an-1=2an-1+2an-2=2(am-1+am-2)(n≥3)， 因为a1=a2=1,所以a3=a1+2a2=3, a3+a2=4=2(a2+a1), 所以数列{an+an+1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an+an+1=2·2n-1=2m,故选项A正确： an an-1+2an-2, an-2an-1=2an-2-an-1=-(an-1-2an-2), a3-2a2=3-2=1,a2-2a1=1-2=-1, 所以{an+1-2an}是首项为-1，公比为-1的等比数列， an+1-2an=-1·(-1)m-1=(-1)”,故选项B正确： a112a,=(-1)所以a=2-1火，故选项D错误 fan+1 an 2n 3 S30=a1+a2+…+a30 =2-（-),2-（++20-（-100 3 3 3 =(2+2+.+230)-[(-1)+(-1)2+.+(-1)30] 3 -×2=2二”二S, 1-(-1) =20-1)=号80-1)，故选项C正确， 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】-1 第5页，共12页 解：因为)=2（写+2sinx 所以f′()=2f'(囹）+2cosx, 令x=7 则f'(囹=2f'(囹）+2os3f′（假=-1. 13【答案】民0三2 解：由an+1=a1+☑2+3+…+， 当n=1时，a2=a1=2, 当n≥2时，an=a1+22+a+…+m-1 两式相减，得0n1-au=a,即21-中c 所以+出=(0≥2)， `n+1 所以号=岩==受=1， 所以an=n(n≥2)， 由于n=1时，不满足上式， 所a,=三2 14.【答案】(2e,+o) 解：函数=re-r-alhx的定义城为0+)。 则7e=+2ak--是g+2e2） 令g)=re-号，则g)=(r+2x)e>0, 所以，函数g)在(Q+四)上为增函数，且g0)=-号 ①当-？≥0时，即当a≤0时，f()>0对任意的x>0恒成立， 所以函数f(x)为(0，+∞)上的增函数，则函数f(x)在(0，+∞)上至多只有一个零点，不合乎题意： ②当-号<0时，即当a>0时，则存在，>0使得8化，)=e-g=0, 当0<x<x时，g(x)<0,此时f'(x)<0,则函数f(x)在(0，x)上单调递减， 第6页，共12页 当x>x时，g(x)>0,此时f'(x)>0,则函数f(x)在(x,+∞)上单调递增， 由于函数f(x)有两个零点， 当x→0时，f(x)→+o;当x→+0时，f(x)→+0. 可得f()=xe- 可得号>e,解得a>2e. 综上，a的取值范围是(2e,+∞). 三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：(1)设等差数列an}的公差为d,数列bn}的等比为q, 由题意可得： a1=1,b1=3, b1q=2a1+d+6,b1q2=3a1+3d+21 解得：d=1,q=3, .4分 所以：an=n,bn=3m: …..6分 (2②（可得s=”,忌=n=4(日） 4 2 6=3+4(月)， ...8分 7,=c1+62++6n=02+41-) 1-3 ...11分 ....13分 16.解：(4)因为′)=x+2x-10, .1分 所以f′(3)=是+6-10=0， 因此a=16, .2分 则f6=16m(1+)+X-10x,xe(-1,+o),f'6)=22-r+3③=2-1x-2, 1+x 1+x .4分 当x∈(-1,1)U(3,+o)时，f′(x)>0, 当x∈(1,3)时，f(x)<0, .6分 所以f(x)的单调增区间是(-1,1)，(3，+o),f(x)的单调减区间是(1,3)： .7分 (2)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，+∞)上单调递增，且当x=1或x=3 时，f′(x)=0, 第7页，共12页 所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21. .9分 因为f(16)>162-10×16>16ln2-9=f(1),f(e-2-1)<-32+11=-21<f(3),...11分 所以要使直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点， 则在f(x)的三个单调区间(-1,1)，(1,3)，(3，+∞)内，直线y=b与y=f(x)的图象各有一个交点， 当且仅当f3)<b<f(1), ...14分 因此，b的取值范围为(32lm2-21,16ln2-9). ..15分 17.解：(1)当m=0时，f(x)=-nx-1, 所以f'=-是 ...1分 所以fe)=-2,f'(e)=- 所以曲线y=fx)在点(e,f(e)处的切线方程为y-(-2)=-x-e). 即y=-x-1. .3分 令x=0,y=-1,令y=0,x=-e, 则曲线y=f(x)在点(e,f(©)处的切线与坐标轴围成的面积为号 .5分 (2)当m≥1时，f(x)=mex-lnx-1≥e*-lnx-1. 要证明f(x)>1,只需证明ex-lnx-2>0, .7分 设g=e*-mx-2,则g'6)=e-是 设h(x)=e-是则h'()=e*+是>0， 所以函数h()=g'()=e*-在(0，+o)上单调递增， .9分 因为g'(月=2-2<0，g'(1)=e-1>0, 所以函数g'()=e-在(0，+∞)上有唯一零点x0,且x0∈(（侵，1) ...11分 因为g'(c,)=0时，所以e0=号即nx,=: ...12分 当x∈(0，xo)时，g'(x)<0:当xe(xo,+∞)时，g'(xo)>0, 所以当x=xo时，g(x)取得最小值g(x). 故g6x)>g6x)=e-mx0-2=+x0-2>0. ....14分 综上可知，当m≥1时，f(x)>1. .15分 第8页，共12页 解法二：当m≥1时，f(x)=mex-lnx-1≥ex-lnx-1. 要证明f(x)>1,只需证明e-lnx-2>0, .7分 利用切线不等式进行放缩：先证明x≥x+1(当且仅当x=0时取等号) .10分 再证明x-1≥lnx(当且仅当x=1时取等号) .13分 所以ex-1≥x,x≥lnx+1 所以ex-lnx-2>0 ...15分 18. 解：(1)'Sn=2an-2(neN*), 当n=1时，1=2a1-2,即a1=2, .1分 当n≥2时，Sn-1=2an-1-2,·an=Sn-Sn-1=2an-2an-1 an=2an-1,(n≥2，n∈N*), 数列{a}是首项为a1=2,公比为2的等比数列. an=2n,n∈N*, ..2分 又点P(bnbn+1)在直线x-y+2=0上， bn-bn+1+2=0,即bn+1-bn=2,又b1=1, ∴数列bn}是首项为b1=1,公差为2的等差数列. bm=2n-1. .4分 (2)"cn=an·bn=(2n-1)2"(n∈N*) Tn=2×1+22×3+23×5+.+2m×(2n-1),① .5分 2Tn=22×1+23×3+24×5+.+2"(2n-3)+2n+1(2n-1),② 因此①-②得：-Tm=1×2+(2×22+2×23+…+2×2)-(2n-1)2+1..7分 即-Tn=2+81-20--(2n-1）2n+1=-6-(2n-3)2+1 1-2 Tn=(2n-3)2n+1+6. .10分 (3)由(1)知当n≥1，=2-2n(2n-1), a2n bm+1-bm=2-2n-2(5-6n)<0(m>1), a20m+1)a2n 数列血}为单调递减数列， a2n 当m≥1时，品≤盘=即念最大值为号 ..13分 a2n a2n 由22-k+1>河得k<2+磊 ..15分 第9页，共12页 2+最>221×是=V6,当且仅当1=时取等号， kE(-∞，V⑥. ...17分 19.(解：：f)=ax++c(a>0),“f'(=a-9 .1分 ·f′(1)=a-b=1→b=a-1, ..2分 f(1)=a+a-1+c=2a-1+c, 又~点(1，f(1)在切线y=x-1上， ·2a-1+c=0→c=1-2a, 2=-2a .3分 (②)解：“f)=ax+安+1-2a(a>0, f(x)≥lnx在[1，+o)上恒成立， 设g(x)=f(x)-nx,则g(x)=f(x)-lnx≥0在[1，+o)上恒成立， .4分 ·g(x)mtm≥0， 又*g'=a-2-=3--=-岂， x2- x2 x2 .5分 而当是=1时，a=克 1当2≤1即a≥时， g′(x)≥0在[1，+o)上恒成立， “g(x)mm=g(1)=2a-1≥0→a≥2 .7分 2当2>1即0<a<别， g()=0时x=2 且1≤x<1.2时，g'(6<0, 当x>1.2时，g'>0: 则g9mn=9(。)≥0，① 又：9(：2)≤9()=2a-1<0与①矛盾，不符题意，故舍去. ...9分 综上所述，Q的取值范围为：[+∞) ..10分 第10页，共12页 (3)证明：由(2)可知a≥时，f()≥lnx在[1，+o)上恒成立， 则当a=时，2x-)≥x在[1，+∞)上恒成立， ….11分 令x依次取导号时。 则有×（匠-）≥n子，2×(-)≥1n2 … ×(生-)≥1n n .13分 由同向不等式可加性可得： 匠++号+…+)-（吃+号+++】≥(n+1), 吗I1+号+号+++0-a-是言子-…本】≥1nm+), ...15分 也即吃21++++分)+本-≥nm+1), t也即1++++片>1n+1)+zn≥). n ..17分 解法二：①当n=1时左边=1，右边=m2+}<1,不等式成立： .11分 ②假设n=k时，不等式成立，就是1+号+号++>1(k+1)+z车可k之1). 那么1++计++中>1k+1)+n+点 =la+)+品 ….13分 由(2)知：当a≥2时，有fx)≥lmx(x≥1) 令a=有f)=x-)≥mxc≥1) ...14分 令x=号号（号-）≥n号=lnk+2)-lhk+) k+2 k+1 In(k+1)+2(In(k+)+2(k) “1++号+++>hk+2+z k+1 ...16分 这就是说，当n=k+1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知不等式对任何n∈N*都成立. .17分 第11页，共12页