精品解析：湖南长沙外国语学校等校2025--2026学年下学期八年级期中检测试卷 数学科目

2026年上学期八年级期中检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 2026年3月，中国科学技术大学潘建伟团队依托超导量子计算原型机“祖冲之三号”，首次完成大规模基于测量的量子计算实验验证，制备出史上最大二维簇态，量子相干时间达到0.000085秒．将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 点在正比例函数的图象上，则a的值为（　　） A. B. C. D. 6. 若的三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，E、F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（ ） A. 32 B. 24 C. 16 D. 12 8. 正八边形的每一个内角为（ ） A. B. C. D. 9. 古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”意思是：尺绫类丝绸和尺罗类丝绸的价格相同，尺绫类丝绸和尺罗类丝绸的价格一共文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法正确的是（　　） A. 林茂整个行程共走了 B. 体育场离文具店 C. 林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 D. 林茂从文具店回家的平均速度是 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 在函数中自变量x的取值范围是___________． 12. 分解因式：______． 13. 已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 14. 如图，在中，，点D是边上的一点，点P是的中点，若的垂直平分线经过点D，，则______． 15. 若，则的值为________． 16. 如图，矩形纸片的长与宽比值为，将纸片沿、折叠，使得点B的对应点F在线段上，点C的对应点H在线段上，则的值为__________． 三、解答题（本大题共9个小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值，其中，． 19. 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随机抽取部分学生参加了数学文化知识竞赛，得到数据如下（说明：竞赛成绩均取整数，用表示）． 【收集数据】72，82，73，88，89，70，70，80，80，88，95，76，82，85，86，88，89，92，92，98． 【整理数据】 分数 频数 11 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________； （2）此调查的样本容量为_________； （3）若该校八年级学生共有1000人，请估计该校数学文化知识为“优秀”的学生有多少人？ 20. 如图，的对角线，相交于点O，且E，F分别是，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 已知，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）画出这个一次函数的图象； （3）一次函数的图象与x轴交于点C，点P为x轴上的一个动点，若的面积为12，求点P的坐标． 22. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作交的延长线于点H，若，，求的长． 23. 2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚．某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱．已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等． （1）求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元？ （2）该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来． 24. 对于关于x的一次函数（），我们定义其“关联函数”为，对于两个关于x的一次函数和，我们称为“强关联函数”． 例如：若，则其“关联函数”为；，其“关联函数”为，因此“强关联函数”． （1）已知一次函数，，求“强关联函数”的解析式； （2）已知一次函数，，它们的“强关联函数”为y，当时，，求k的值； （3）已知一次函数，，它们的“强关联函数”图象与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，当且时，求面积的最小值． 25. 在正方形中，点E、F、G分别是、和边上的点，连接、，且于点H． （1）如图1，点G与点B重合，即，求证：； （2）如图2，连接、、，若点E为中点，四边形的面积为10，求正方形的边长； （3）如图3，在（2）的结论下，将正方形沿翻折，点C的对应点为中点，的对应边交边于点Q，连接，交于点H，连接，交于点M，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期八年级期中检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 2026年3月，中国科学技术大学潘建伟团队依托超导量子计算原型机“祖冲之三号”，首次完成大规模基于测量的量子计算实验验证，制备出史上最大二维簇态，量子相干时间达到0.000085秒．将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 最简二次根式的被开方数不含能开尽方的因数或因式，且不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C、，被开方数不含能开尽方的因数，是最简二次根式； 选项D、 ，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：C． 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，合并同类项时，字母和指数不变，系数相加，，∴A错误； 选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴B错误； 选项C，根据完全平方公式，，∴C错误； 选项D，根据幂的乘方与积的乘方法则，，∴D正确． 5. 点在正比例函数的图象上，则a的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接把点代入正比例，求出a的值即可． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴，解得． 故选：C． 【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 6. 若的三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A． ∵，，∴，得，∴是直角三角形，此项不符合题意； B． ∵，，总份数为，∴，，，∴没有直角，不是直角三角形，此项符合题意； C． ∵，∴，，∴，是直角三角形，此项不符合题意； D． ∵，∴，∴是直角三角形，此项不符合题意． 7. 如图，在菱形中，E、F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（ ） A. 32 B. 24 C. 16 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位线定理得出，进而根据菱形性质求出菱形周长． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， 是的中位线， ， 在菱形中，， 则菱形的周长为． 8. 正八边形的每一个内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，正n边形的一个内角度数为．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是， 故选：C． 9. 古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”意思是：尺绫类丝绸和尺罗类丝绸的价格相同，尺绫类丝绸和尺罗类丝绸的价格一共文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设绫每尺价文，罗每尺价文，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设绫每尺价文，罗每尺价文， 根据题意得， 所以选项符合题意． 10. 已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法正确的是（　　） A. 林茂整个行程共走了 B. 体育场离文具店 C. 林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 D. 林茂从文具店回家的平均速度是 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，准确的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，林茂从家到体育场跑了，选项错误，不符合题意； B、体育场离文具店，选项错误，不符合题意； C、林茂从体育场出发到文具店的路程为：，用了，平均速度是，选项错误，不符合题意； D、林茂从文具店回家，路程为：，用了，平均速度是，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查函数图象的应用．通过图象，准确的获取信息，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 在函数中自变量x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了函数自变量的取值范围，根据分式和二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】分式中分母不能为，被开方数不能小于0． ， ， 故答案为： 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小时，一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数，且y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：． 14. 如图，在中，，点D是边上的一点，点P是的中点，若的垂直平分线经过点D，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案. 【详解】∵点D在的垂直平分线上， ∴. ∵，点P是的中点， ∴. 故答案为：4． 15. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，用一个字母表示另一个字母，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 16. 如图，矩形纸片的长与宽比值为，将纸片沿、折叠，使得点B的对应点F在线段上，点C的对应点H在线段上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 设，根据矩形长宽比得出，利用折叠性质判定四边形为正方形，从而求出和的长，再根据折叠性质判定四边形为正方形，求出和的长，代入计算即可． 【详解】解：设 ，  矩形的长与宽比值为， ， 由折叠的性质知，， 、、， 四边形是矩形 ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 、， ， 由折叠的性质可知：， 、、， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， 点在线段上， ， ． 三、解答题（本大题共9个小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算单项式乘以多项式、完全平方公式，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 当，时，原式 19. 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随机抽取部分学生参加了数学文化知识竞赛，得到数据如下（说明：竞赛成绩均取整数，用表示）． 【收集数据】72，82，73，88，89，70，70，80，80，88，95，76，82，85，86，88，89，92，92，98． 【整理数据】 分数 频数 11 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________； （2）此调查的样本容量为_________； （3）若该校八年级学生共有1000人，请估计该校数学文化知识为“优秀”的学生有多少人？ 【答案】（1）5 （2）20 （3）200人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表以及用样本估计总体，理解题意是解答本题的关键． （1）根据收集的数据求解即可求出的值； （2）根据收集的数据求解即可求解； （3）用总人数乘数学文化知识为“优秀” 的学生所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由收集数据可知，； 故答案为：5； 【小问2详解】 解：由收集数据可知，此调查的样本容量为20， 故答案为：20； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计该校数学文化知识为“优秀” 的学生有200人． 20. 如图，的对角线，相交于点O，且E，F分别是，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵的对角线，相交于点O， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得到，再由线段中点的定义可推出，据此可证明四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的对角线互相平分得到的长，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵的对角线，相交于点O， ∴， ∵， ∴由勾股定理得． 21. 已知，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）画出这个一次函数的图象； （3）一次函数的图象与x轴交于点C，点P为x轴上的一个动点，若的面积为12，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 图象如图所示即为所求； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先描点，再连线画出函数图象即可； （3）先求出点C的坐标，再根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵点P为x轴上的一个动点，且 的面积为12， ∴，即， ∴， ∴点P的横坐标为或点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或． 22. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作交的延长线于点H，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义推出，得到；再证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形； （2）利用菱形的性质得到，则可求出的长，进而可求出的长，再利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴． 23. 2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚．某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱．已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等． （1）求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元？ （2）该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来． 【答案】（1）每枚岳麓山纪念徽章进价10元，每个橘子洲纪念钥匙扣进价15元 （2）共有3种购买方案，分别为：方案一：购进岳麓山纪念徽章25件，橘子洲纪念钥匙扣25件；方案二：购进岳麓山纪念徽章24件，橘子洲纪念钥匙扣26件；方案三：购进岳麓山纪念徽章23件，橘子洲纪念钥匙扣27件 【解析】 【分析】本题考查分式方程、不等式组的应用，根据已知条件列出分式方程及不等式组是解题的关键． （1）设每枚岳麓山纪念徽章的进价为元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价为元，结合两种文创的购进数量相等的等量关系，列分式方程求解即可，分式方程需要检验； （2）设购进橘子洲纪念钥匙扣件，则购进岳麓山纪念徽章件，根据题意列出不等式组，结合为正整数，即可求出所有符合条件的购买方案． 【小问1详解】 解：设每枚岳麓山纪念徽章的进价为元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 则元， 答：每枚岳麓山纪念徽章进价10元，每个橘子洲纪念钥匙扣进价15元； 【小问2详解】 解：设购进橘子洲纪念钥匙扣件，则购进岳麓山纪念徽章件， 由题意得： 解得， 为正整数， 可取25，26，27， 当时，件， 当时，件， 当时，件， 答：共有3种购买方案，分别为：方案一：购进岳麓山纪念徽章25件，橘子洲纪念钥匙扣25件；方案二：购进岳麓山纪念徽章24件，橘子洲纪念钥匙扣26件；方案三：购进岳麓山纪念徽章23件，橘子洲纪念钥匙扣27件． 24. 对于关于x的一次函数（），我们定义其“关联函数”为，对于两个关于x的一次函数和，我们称为“强关联函数”． 例如：若，则其“关联函数”为；，其“关联函数”为，因此“强关联函数”． （1）已知一次函数，，求“强关联函数”的解析式； （2）已知一次函数，，它们的“强关联函数”为y，当时，，求k的值； （3）已知一次函数，，它们的“强关联函数”图象与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，当且时，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据“关联函数”定义求出一次函数的“关联函数”是；一次函数的“关联函数”是，再根据“强关联函数”的定义解答即可； （2）分别求出一次函数，的“关联函数”为，，可得“强关联函数”的解析式，再分和两种情况讨论求解即可； （3）先求出一次函数，的关联函数，再求出“强关联函数”的解析式为，再求和，运用面积公式得出，由得，代入面积公式得，由得，由可求出面积的最小值． 【小问1详解】 解：一次函数的“关联函数”是； 一次函数的“关联函数”是， 所以，“强关联函数”的解析式为； 【小问2详解】 解：一次函数的“关联函数”为， 一次函数的“关联函数”为， 所以，“强关联函数”的解析式为； 当，即时，函数随的增大而增大， 因此，在内，当时，有最小值为3，当时，有最大值为9， 所以，，解得； 当，即时，函数随的增大而减小， 因此，在内，当时，有最大值为9，当时，有最小值为3， 所以，，解得； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：一次函数的关联函数是； 一次函数的关联函数是； 所以，强关联函数为， 令，则；令，则， 所以，和， ∴的面积 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵开口向上，对称轴为， ∴当时，S有最小值为． 25. 在正方形中，点E、F、G分别是、和边上的点，连接、，且于点H． （1）如图1，点G与点B重合，即，求证：； （2）如图2，连接、、，若点E为中点，四边形的面积为10，求正方形的边长； （3）如图3，在（2）的结论下，将正方形沿翻折，点C的对应点为中点，的对应边交边于点Q，连接，交于点H，连接，交于点M，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）因为要证明两条线段相等，且在正方形中存在垂直关系，所以考虑证明三角形全等；因为正方形的边相等、角为直角，且垂直可推出角相等，所以可找到全等的条件来证明和等． （2）因为已知四边形的面积，且是中点，，所以可利用（1）的结论得到线段关系，设正方形边长为未知数，通过面积的和差或割补法建立方程求解． （3）因为已知正方形边长，翻折后是中点，所以先利用翻折的性质得到线段、角的等量关系，通过勾股定理或相似三角形求出相关线段长度；因为要求的长，所以可先确定的长度，再利用一次函数解析式求出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设正方形边长为，过作于，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即． ∵是中点， ∴， 由勾股定理：， 解得， ∴（边长为正）． 即正方形边长为． 【小问3详解】 解：以点B为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系：则，，，，由题意是中点， ∴． 由翻折知，垂直平分， ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； ∴, 设, ∵点B、关于直线对称, ∴直线交直线于点， ∴, ∴， ∴ ∵， ∴解得,或(舍去)， ∴，设解析式为， 则， 解得：, ∴, 当时，, ∵, 设解析式为， 则, 解得, ∴， 联立得， 解得：， ∴, ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $