精品解析：安徽芜湖市第十二中学2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷

芜湖十二中2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷 命题人：李雅琼 试做人：姚志富 审核人：张丽 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 2. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知数列满足.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 7. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分） 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 已知二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为________．（用数字作答） 13. 已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 14. 已知函数，若过y轴上的点A至少可以作两条直线与曲线相切，则动点A的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： （1）有女生但不少于男生； （2）女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项的和. 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明． 18. 函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若在上没有零点，求实数的取值范围； （3）当时，设，若，满足，证明：. 19. 我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.定义：若数列是“阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”.例如：，后项与前项的差值：，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列为“二阶等差数列”. （1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； （2）若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； （3）若“三阶等差数列”的前4项依次为，其前项和为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖十二中2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷 命题人：李雅琼 试做人：姚志富 审核人：张丽 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 2. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 3. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 4. 已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求出，再解方程组求出，即可得解. 【详解】因为是等比数列， 所以， 则，解得或， 又因为是单调递增的等比数列， 所以， 所以公比. 故选：A. 5. 已知数列满足.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐项计算找到数列的周期即可. 【详解】由题意，，，，， 故数列周期为4，则. 6. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】采用捆绑法和特殊位置优先法，结合分步乘法计数原理可求得结果． 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将丁、戊和甲乙的整体首先安排到两端，则有种方法， 再安排丙和剩余的人，有有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 故选：B． 7. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 且在的切线方程为，恰好过,故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 二、多选题（共3小题，每小题6分） 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得，故C正确； 对于D，，故D正确. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 11. 已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由等差数列的条件求得通项公式，进而求得，，可判断AC，再根据，的正负情况判断BD. 【详解】设等差数列的公差为，则，， ，因为是与的等比中项，所以， 即，解得或，又因为，所以， 所以，故A正确； ， 令，则，又因为，所以，此时， 即只有时，且，除此之外， 所以成立，故B正确； ，故C错误； 因为只有时，，除此之外，所以的最小值为， 又时，，所以的最大值为， 所以成立，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题求解，，都比较常规，关键点在于由的正负特征推出的最值，从而判断出BD. 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 已知二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为________．（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，令，求出，再代入计算可得. 【详解】因为二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以， 则展开式的通项为， 令，解得，所以展开式中常数项为. 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过对递推公式变形，构造出等差数列来求解数列的通项公式. 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 14. 已知函数，若过y轴上的点A至少可以作两条直线与曲线相切，则动点A的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据导数求切线方程，代入点得到与切点横坐标关系，转化为函数与直线交点问题，求导判断单调性与极值，根据交点情况确定范围，进而求轴上线段长度. 【详解】设轴上点，切点为，  由题意可得：， 设切线方程为，将代入得：  ， 将代入化简可得： ，又因为过点至少有两条切线， 所以方程至少有2个不同实根， 所以，令， 则或或，  所以根据导数符号，单调性如下： 区间 递增 递减 递增 递减 所以极大值​，，极小值， 当时，当时， 所以由方程至少2个实根，可得， 又因为在轴上，所以轨迹为轴上的线段， 长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： （1）有女生但不少于男生； （2）女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 【答案】（1）5400 （2）4620 【解析】 【分析】（1）分类讨论有3个女生2个男生或有4个女生1个男生，利用排列组合结合分类计数原理即可求解； （2）分类讨论男生甲入选和不入选，利用排列组合结合分类计数原理即可求解. 【小问1详解】 由女生人数不少于男生可知，有3个女生2个男生或有4个女生1个男生， ①有4个女生的选法有：种； ②有3个女生的选法有：种； 不同的安排方法种数有种． 【小问2详解】 因为女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表， ①男生甲入选的安排方法有：种； ②男生甲不入选的安排方法有：种； 所以不同的安排方法种数有种． 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系化简可得，利用等比数列通项公式求法计算即可求解； （2）求得，利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 当时，由题意可知， 因为，即， 当时，，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 当时，， 当， ， 因为， 所以， 综上，. 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明． 【答案】（1） 若，在上单调递减； 若，在上单调递减，在上单调递增. （2） 由（1）知，当时，在处取得最小值， 所以等价于，即． 设，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值且为最小值，最小值为． 所以当时，． 从而当时，，即． 【解析】 【分析】（1）利用导数，分类讨论当、时函数的单调性即可求解； （2）由（1）知，原不等式等价于，设，利用导数求出即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， ． 若，则当时，，故在上单调递减； 若，则当时，当时， 故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 18. 函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若在上没有零点，求实数的取值范围； （3）当时，设，若，满足，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 当时，， 则 令得，即， 又，则存在唯一的使得 且 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又， 要使且，必有， 则必有 ①先证：. ，且在上单调递减， 要证 只需证即可，又， 故只需证对恒成立即可， 只需证 而， 只需证，即只需证对恒成立即可，这显然成立， 故有； ②再证：. 必有， 又当时，在上单调递减，则有. 而当时，， 令， 则 令，等价于，方程有唯一解，记为，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 又， 即当时，必有，与题意不符， 所以要使，且，必有， 综合①②可得：. 【解析】 【分析】（1）代入并对函数求导，得出切线斜率，再由点斜式方程即可求出切线方程； （2）将函数无零点问题转化为方程在上无解，求出函数的值域可求得实数的取值范围； （3）易知，对函数求导得出的单调性，利用分析法先证，再证，构造函数并结合隐零点问题即可证明得出结论. 【小问1详解】 当时，. 所以有， 所以函数在处的切线方程为， 即 【小问2详解】 由题意，在上没有零点，等价于方程在上无解， 因为； 即等价于方程在上无解， ，即等价于方程在上无解， 等价于方程在上无解，等价于方程在上无解. 设，原题等价于关于的方程在上无解. 设， 则 当时，，则， 对恒成立，则在上单调递减， 又， 故满足题意的实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.定义：若数列是“阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”.例如：，后项与前项的差值：，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列为“二阶等差数列”. （1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； （2）若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； （3）若“三阶等差数列”的前4项依次为，其前项和为，求. 【答案】（1）是，理由：， 是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知定义及等差数列的定义即可判断；（2）由已知定义及等差数列的通项公式，求和公式即可求解；（3）结合已知递推关系及等差数列的求和公式先求出，然后结合组合数公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意是“一阶等差数列”，又首项为1，公差为3. 满足上式，. “二阶等差数列”的通项公式为. 【小问3详解】 是“三阶等差数列”，是“二阶等差数列”， 设是“一阶等差数列”. 由题意得， ， . 满足上式，. . 满足上式，. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $