安徽鼎尖教育2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

高一数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴 区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清 晰。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知复数之=2-i(i为虚数单位)，则 A.2+i B.2-i C+ .号 1 2.在△ABC中，AB=4,AC=3,∠BAC=90°，则BA·BC= A.16 B.-16 C.9 D.-9 3.如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分 别为60°和30°，则B、C两点的距离为 60 30°c A.1005m B.100(5-1)m C. 200,3 3 m D.505m 4.《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”.某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下 底面周长分别为2π和4π，高为3，则该模型的体积为 A.7n B.8x C.9π D.10x 5.用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图是边长为2的正三角形，则原△ABC的面 积为 A.25 B.26 C.43 D.46 【高一数学第1页（共4页）】 6.对于简单凸多面体，满足欧拉公式：顶点数V一棱数E十面数F=2.已知某正多面体的每个面 都是正三角形，每个顶点连接4条棱，则该正多面体的棱数E为 A.6 B.12 C.16 D.20 7.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3(a cosC+ccosA)=2 bsinB,a+c =8,且AC边上的中线长为了，则△ABC的面积为 A.35 B.43 c D.153 4 8.已知非零向量a,b不共线，给出下列四个结论： ①若(a+b)⊥(a-b),则a=b|; ②若a·b>0,则存在正实数λ，使得λa十b与a垂直； ③“(a+b)·a>a2”是“a与b的夹角为锐角”的充分不必要条件； ④若a=|b|=1,则“|a十b=3”是“a与b的夹角为60”的充要条件. 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数：满足：(1十i)=2-2i(i为虚数单位)，且之是关于x的实系数一元二次方程x2+ mx十n=0的一个根，则下列说法正确的有 A.之的虚部为一2 B.复数x的共轭复数为一2i C.m=0 D.n=4 10.如图，已知正三棱柱ABC一A1B,C1的所有顶点都在表面积为16π C-..---- 的球O的球面上，底面边长为a,侧棱长为h,则下列说法正确的有 A.正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点 B.若底面边长a=3,则侧棱长h=23 C.若侧棱长h=2,则该正三棱柱的体积为35 D.该正三棱柱的侧面积的最大值为123 11.已知△ABC中，AB·AC=|AB-AC1=2,点P为边BC上的动点，满足AP=AAB+AC (入，4为实数)，则下列说法正确的有 A.△ABC的面积的最大值为3 B.当P为BC中点时，AP=,3 △ABP的面积为△ABC面积的则 D.若∠BAC=60°，则A户.BC的最小值为-1 【高一数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(2,4),b=(m,1),若a十b与a一b共线，则实数m= 13.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1,2,3，则该三棱锥的体积为 14.在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=120°，平面上任意一点P的斜坐标定义为：若OP=xe1+ ye2,其中e1、e2分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，则P的斜坐标为(x,y).已知点A的 斜坐标为(1,2)，点B的斜坐标为(3，k).若AB⊥c1,则实数k的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知u1,u2是夹角为60°的两个单位向量，设p=2u1+W2,q=一341+2u2. (1)求证：p十q与p一q垂直； (2)求向量p与q的夹角的大小 合高视金高，中数的出密型动店公 16.(15分) 已知复数之满足|z=5,且之的共轭复数乏满足乏(1+2)为纯虚数. (1)求复数之： (2)若复数w= 中，求w在复平面内对应点的坐标，并判断该点所在的象限。 17.(15分) 在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知√3b=2 a sinB. (1)求角A的大小； (2)若a=2,求△ABC的周长的取值范围. 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C,中，底面△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC= 2,侧棱AA,=3.该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在 直三棱柱的上底面A,B,C,上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切. (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积； (3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记MN=d,R为外接 球的半径，求(R一d)2的最大值. 19.(17分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+(c一3a)cosB=0. (1)求cosB的值： (2)若b=3,解答下列问题： ①当△ABC的面积为2√2时，求AC边上的中线长； ②若点D在边AC上，且BD平分∠ABC,求D十D的取值范围， 【高一数学第4页（共4页）】高一数学参考答案 选择题：1-8题，每题5分；9-11题，每题6分，共58分。 2 3 5 6 7 8 9 10 C A C A B B D B ACD ABD ABC 填空题：每题5分，共15分。 1 12.2 i 14.6 15.【答案】(1)见解析(6分) 212n(或5)7分) 【解析】(1)由已知p十q=(2u1+u2)+(-3u1+2u2)=-41+3u2, p-q=(21十u2)-（-3l1十2u2)=5u1-42,…(2分) 计算(p+g)·(p-q)=(-u1+3u2)·(5u1-u2)=-5u1|2+16u2·41-3u2|2. 因为u1,12是夹角为60°的单位向量， 所以m,·,=cos60=2,且1u,=lu:=1. 代人得(p十g)·(p-g)=-5+16× -3=0, …(4分) 因此，p十q与p一q垂直；……………（(6分) （2)设向量p与g的夹角为，则co8=pq p·q 先计第pg=(ea,:）(-m+2a:)=-6lu+e,m+2l:=-6+2+2=子…(8分 1 再计算p2=(2u1十u2)2=4u12+u22+4u1·2=4+1+4×2=7, 所以|p=√7； 1g=(-3u,+2u,)2=91uP+4a,-12u,·u,=9+4-12x2=7. 所以|q=√7. …(10分） 7 7 于是c0s0 -21 √7X√7 7 2 因为0∈[0°，180]，枚0=120（或0=2 3 (13分) 16.【答案】(1)x=-2+i或之=2-i(8分) (2)见解析(7分) 【解析】(1)设x=a+bi,其中a,b∈R,由z|=√5得a2+b2=5, 又=a-bi,则z(1+2i)=(a-bi)(1+2i)=a+2ai-bi-2b=(a+2b)+(2a-b)i.…(2分) 因为(1十2i)为纯虚数，所以实部为零，即a十2b=0.…(4分) 联立方程 a2+b2=5, (6分) a+2b=0, 解得b=士1.… 当b=1时，a=-2;当b=-1时，a=2. 所以之=-2十i或之=2-i。…(8分) 唐0年而号故门。 (10分) 2 2+i时w52+i01D=二2计2i1+it=2 2 2 【高一数学参考答案第1页（共6页）】 0在复平面内对位点的坐标为（分，多）.且该点位于第二象限…《13分 当x=2-i时，0= (2-i)(1-i)_2-2i-i+13. 2 221, 0在复平面内对应点的坐标为兮，一名），且该点位于第四象限。…(15分) 2 17.【答案】(1)（或60°）(6分) (2)(2+2√3,6](9分) b 【解析】(1)由正弦定 sinA sinB,得b=asinB sinA, 代入已知3b=2 asinB,得5.asinB …………………………………(2分) sinA =2a sinB. 因为a>0,sinB>0,得 sin-2,即sinA=5 2 …………………………………(4分） 又△ABC为锐角三角形，所以A=(或60)：…（6分) snM后，所以b=A (2)由正弦定理得=4 sinB,c 4 inC. (7分) 因为A-骨所以B+C经即C--B, 3 0<B<T 2 因为△ABC是锐角三角形，所以 0<C-2a-B< 解得<B<受 ……………(9分） 3 周长L=a+b+c=2+ (sinB+sinc). 4 …(10分) sm8+nd=inB+sin停学-Bj-nB+停mB+2nB 2sinB+3。 cosB=5sin(B+君)： ……………………………(12分) 由于B∈（后，》，则B+晋∈（后）从而sinB+吾)（汽 ,………(13分) b十c 4 5sin(B+若）=4sin(B+若）∈(25,4， 所以周长L的取值范围是(2十2√5,6].…(15分) 18.【答案】(1)24r-14√2x(5分) (2)1707 8x6分) (g)195-166分 【解析】(1)在直三棱柱ABC一A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AC=BC=2,∠ACB=90°， 所以AB=2√2. △ABC的内切圆半径，-AC+BC-AB_2+2,2E=2-2. ………………………(3分) 2 2 圆柱的高h=AA1=3, 所以圆柱的表面积S=2xr2+2xrh=2πr(r+3)=2π(2-√2)(5-√2)=2x(12-7√2)=24x-14√2x; …(5分） (2)直三棱柱的外接球球心O位于上下底面外心连线的中点. 底面直角三角形外心是斜边AB的中点D.则CD=号-区 【高一数学参考答案第2页（共6页）】 AA1=3,所以OD= 3 2 外接球半径R=√2)+( =17 e.... 2 ……………………………………（18分) 体积V 17√17 …(11分) 2/ 8 6 (3)由球的几何性质，d的取值范围为R一|ON≤d≤R+ON|, 代入(R-d)2得(R-dmx)2=(R-dmn)2=|ON|2, 即(R一d)2的最大值，等价于求圆柱表面上的点到球心O的距离ON|的最大值的平方.…(13分) 设点N在底面ABC的投影为N',N到底面的竖直距离为h, 0N=1oN1+h-. 当h一号取最大值号（即N在圆柱上底面或下底面的圆周上）时，竖直分量最大：同时水平分量0，N'的 最大值出现在底面内切圆圆周上， 因此ON的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得. 在Rt△ABC中，内心I到外心O2的距离为|IO2|=|CO2|一|CI|=√2-√2r=2-√2， |O2N'1nx=|IOz|+r=4-2W2,… ……………………………(15分) 1ON|x=(4-22)2+ 105 -16√2， 4 故(R-d)x= 105 4 -162.…(17分) 19.【答案】1)3（4分) (2)0 2(6分) @[音+)分) 【解析】(1)根据已知，由正弦定理得sinBcosC+(sinC-3sinA)cosB=0. 因为sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,所以sinA-3 sinA cosB=0→sinA(1-3cosB)=0. 由sinA>0得1-3cosB=0,故cosB= 3. …(4分） (2)0由（1)知c0sB=号，则sinB=0s5-2区 3 由面积5=2反得wcsinB=2w反，即24c·2 3 =22今ac=6,…(6分) 又由余弦定理b2=a2十c2-2 accosB, 代人6=3，ac=6得9=a2+c-2X6×号>a2十2=13. …(8分) 设AC的中点为M,则Bi=号(B+BC), 1mi=子cBi+BC+2B.C)=子a2+e+2g) 17 …………………………(9分) 3 4 故中线长BM为7 2 …(10分) 您由角平分线定理相识设二， 又AD+CD=AC=b=3,得AD=3 产0-￥则品十品 1=a+c+a十c_(a十c)2 3a 3ac …(13分) 由余弦定理2=a2+c2-2 accosB,即9=a2+c2-2a ac-(a+e)Suc 3ac, 【高一数学参考答案第3页（共6页）】 所以a+c)=9+4cD十9dac 3ac3+8 3ac ac9' 3≥2ac 由a2+e2≥2ac(当且仅当a=c时取等号)，得：9=a2+c_2 2acAac 33 所以ac<平， …………………………………………………(15分) 又a为三角形边长则c>0,故∈]→十→2+号∈[侍+) 综上所述，D十品的取值范园为[停，+）小 …(17分) 【注】：以上各解答题，如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分。 【高一数学参考答案第4页（共6页）】 【详解】 2-i211 1.c解析】=2（2-)2十)=亏+， 2.A【解析】方法一：坐标法 以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，则A(0,0),B(4,0),C(0,3). BA=A-B=(-4,0),BC=C-B=(-4,3),BA·BC=(-4)×(-4)+0X3=16. 方法二：利用向量关系 BA·BC=BA·(BA+AC)=|BA|2+BA·AC 由于∠BAC=90°，BA·AC=0,所以BA·BC=|BA2=16. 3.C【解析】设山顶A在地面的投影为O,则AO=100m,从A看B的俯角为60°，则∠OAB=30°， 所以0B=A0·tan30°=1o0×3_1005, 3 3m. 从A看C的俯角为30°，则∠OAC=60°，所以OC=AO·tan60°=100×√3=100√3m. 由于B.C在0的同侧，则BC=0C-OB=100,5-1005)m=2003, -)m= -m. 3 3 4.A【解析】已知圆台上、下底面周长分别为2π和4π，则半径分别为r=1,R=2,高h=3.圆台体积公式 为V=号hR+Rr+r),代人得：V=3xX3X4+2+1)=7元 5.B【解析】由斜二测画法，直观图面积与原图面积的关系为S顾=2√2S直，已知直观图是边长为2的正 三角形，其面积为汽×2-，所以原三角形面积为2X万=2， 6。B【解析】握手定理：总度数=-2E,得V-号；面的性质：每个面是正三角形，每条楼属于2个面，故 3P=2E,得F-S 代人欧拉公式：号B十罗2，解得E=12. 7.D【解析】由已知条件√5(2 acosC+2 ccosA)=4 bsinB,化简得2√5(a cosC+ccosA)=4 bsinB. 根据射影定理，acosC十ccosA=b,代人得b=2bsinB,即sinB=尽 2 由于三角形为锐角三角形，所以B=60°. AC边上的中线长为号由中线公式得如+台-（子，即2a+26=40, 4 又由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cosB=a2十c2-ac, 代入得：2a2+2c2-(a2+c2-ac)=49→a2+c2+ac=49. 已知a+c=8,平方得a+2ac+e2-64,两式相藏得ac=15,Sa=7csnB-号×15×气15日 1 2 4 8.B【解析】①由(a十b)⊥(a-b)得(a十b)·(a-b)=0,展开得a|2-|b12=0,故a=b|,正确. ②若a十b与a垂直，(a十b)·a=0>xa+a·b=0,解得入=-a·b a 因a·b>0、a|2>0,故入<0，不存在正实数x,错误. ③(a十b)·a>a|2,即a·a十b·a>a|2,得b·a>0,即a与b夹角为锐角（因为不共线）， 反之亦然，故为充要条件，不是充分不必要，错误 ①由a=b1=1,a十b=2十2c0s0=3得c0s0=20=60,反之亦然，故为充要条件，正确， 正确结论为①④，共2个. 【高一数学参考答案第5页（共6页）】 。ACD【解析】由之0十D=2一2得之一2，其虚部为-2，共轭复数为21，故A正确、B结灵 实系数方程一根为一2i,则另一根为2i,两根之和为0，积为4，所以m=0,n=4,C、D正确. 10.ABD【解析】由已知球表面积为16π得半径R=2. 正三棱柱外接球球心为上下底面中心连线的中点，故A正确。 由几何关系得R-(修)广+（层）广-4：即动+4如=48.代入。-5得有=2万，B正确 答h=2则a=3体积V=Q2h=2,C错澳 面积5w3=2。-云，由号片≥信·客-得 @.-ah>ah≤4尽，S≤12尽，D正确. 11.ABC【解析】由已知条件AB·AC=2,得bc cosA=2, |AB-AC|=2,得|BC|=2, 平方得b2+c2-2bcc0sA=4,得b2+c2=8,c0sA=C 2 Saane-besinA-be cobe)e 由b2+c2≥2bc,得bc≤4，故Smx=√3，A正确. 当P为BC中点时，A市-=？A店+AC),1A=2VB++2b0sA=28干4=B,B正确 由P在BC上，设AP=入AB+AC且入+H=1,则△ABP与△ABC面积比等于H, 由以=号得A=子，C正确， 2 若∠BAC=60°，则bc=4,结合b2+c2=8,得b=c=2,△ABC为等边三角形. 设BP=x·BC,x∈[0,1门，则AP·BC=一2十4x,最小值为-2，D错误. 12.【答案】2 【解析】由已知得a十b=(2十m,5),a-b=(2-m,3), 因为两向量共线，所以3(2十m)-5(2-m)=0,解得m=号 21 13.【答案】2 3 【解析】由题意，设三条侧棱长分别为a,b,c,且两两垂直，三个侧面为直角三角形， 面积分别为学1，受-2.竖-8，即ab-2ac=4灰=6 bc 三式相乘得(abc)2=2X4X6=48,所以abc=√48=43，三棱锥的体积为V=a 6×4=23 31 14.【答案】6 【解析】因AB⊥e1,所以AB·e1=0,由题意，AB=2e1十(k-2)e2. AB·e1=[2e1+(k-2)e2]·e1=2e1+(k-2)e2·e1=0, 已知e16:为单位向量：夹角为120，故e16,=c0s120=一名则2一合一-2》=0，解得=6 【高一数学参考答案第6页（共6页）】