第五章《分式与分式方程》回顾与思考-【导学练评】 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学导学案以“分式与分式方程”为核心，围绕分式意义、运算及分式方程解法与应用设定学习目标，通过“定义-性质-运算-方程-应用”的递进式设计，结合例题解析与基础达标、能力提升、拓展迁移分层练习，构建完整知识体系与学习路径。 亮点在于“实际问题解决”的任务设计，如“扫地机器人清扫面积”“租车参观植物园”等实例，培养模型意识与应用能力，分式化简过程分析任务发展推理意识，分层练习兼顾基础与提升，为教师单元复习教学提供系统支撑，促进学生深度学习与核心素养发展。

第五章《分式与分式方程》回顾与思考-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 知识与技能： （1)使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； （2)提高学生分式的基本运算技能. 数学能力： （1)提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力； （2)注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力. 学习重点： （1)分式的四则运算 （2)分式方程的解法 （3)分式方程的应用。 学习难点： 用分式的整数解决实际问题。 1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式. 分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0即子零母不零】 例题1 1．下列式子中，是分式的是（　　) A． B． C． D． 2．当x取某个值时，分式 的值不存在，则此时x所取的值是（　　) A．-1 B．0 C．1 D． 3．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是 （　　) A． B． C． D． 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 例题2 4．若则 的值是 （　　) A． B． C． D． 5．下列各等式中成立的有 （　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．化简： （1） （2） 3.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 例题3 7． （1） （2） （3） （4） 4.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式 （最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。解分式方程的步骤： 1.方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 2.解这个整式方程。 3.把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 4.写出原方程的根。 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 例题4 8．（1） （2） 5.列方程应用题的步骤是什么?（1)审：分析题意，找出研究对象，建立等量关系； （2)设：选择恰当的未知数，注意单位； （3)列：根据等量关系正确列出方程； （4)解：认真仔细； （5)检：不要忘记检验； （6)答：不要忘记写。 例题5 9．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人 B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间a型机器人比b型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积? 例题6 10．甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料。两次购买饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，而不管购买的饲料量。设两次购买的饲料单价分别是m元/kg和n元/kg （m，n是正数，且m≠n)，那么甲、乙所购饲料的平均单价各是多少?哪一个较低?为什么? 例7 11．计算 例 12．求 的值 例9 13．已知分式方程 的解为非负数，求a的取值范围? 例10 14．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路.为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务.求原计划每小时修路的长度. 例题11 15．某救生员沿一条河顺流游泳 Lm，然后逆流游回出发点，设该救生员在静水中的游泳速度为xm/s，水流速度为 nm/s，该救生员来回一趟需要 ts。 （1） 用含L，x，n的代数式表示t； （2） 用含 t，x， n的代数式表示L。 解；根据顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速 例题12 16．某商品的标价比成本高P%，当商品降价销售，为了不亏本，降价幅度最多为d%，请用 p表示 d. 一、基础达标1： 17．下列函数中，自变量x的取值范围是 的函数是（　　） A． B． C． D． 18．已知 则 的值是 （　　) A． B． C．2 D．- 2 19．分式 化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 20．若分式有意义，则x的取值范围是　 　． 21． 当x=　 　时， 分式 无意义，当x=　 　时，分式 的值为0. 22．分式 的值是整数，则正整数m的值等于　 　. 23．若式子有意义，则实数x的取值范围是 　 　. 24．计算 （1） （2） 25．解方程 （1） （2） 二、能力提升1： 26．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务. 第一步 第二步 第三步 =2x-6-2x-1…第四步 =-7…第五步 任务一： 以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 任务二： 本题解答是否正确? ； 如果正确，请指出第四步变形的依据 ， 如果错误，请写出该分式化简的正确步骤. 三、拓展迁移1： 27．被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍.现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩. （1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克? （2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻? 28．阳春三月，草长莺飞，春花烂漫，为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力.永州某中学文学社组织学生到距离学校40千米的永州植物园参观，共租用了一辆大客车和一辆小汽车，两车同时从学校出发，已知小汽车速度是大客车的1.5倍，小汽车司机小李因不留神从植物园的大门驶过，后发现路况不对，只好停下车来向路人询问，方知已经驶过植物园7千米，于是立即调头，恰好在植物园的大门口与大客车相遇，已知小李因问路而耽误了6分钟，求两车的速度分别是多少? 四、基础达:2： 29．下列关于x的式子中，属于分式方程的是（　　) A． B． C． D． 30．若分式 有意义，则x的取值范围是（　　) A．x≠-3 B．x≠0 C． D．x≠3 31．化简 的结果是（　　) A． B． C． D． 32．解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是　 　. 33．某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为　 　元． 34．若 ，则 　 　． 35．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是　 　． 36．若分式有意义，求x的取值范围． 37．计算 （1）其中 （2）先化简再求值 38．解方程 （1） （2） 五、能力提升2： 39．阅读理解 材料1：为了研究分式 与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … --- -0.25 -0.3 -0.5 -1 无意义 1 0.5 0.3 0.25 　 从表格数据观察，当x>0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x<0时，随着x的增大，的值也随之减小. 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式.当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式.有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式.如： 根据上述材料完成下列问题： （1） 当x>0时， 随着x的增大，的值 　 　（增大或减小)； 当x<0时，随着x的增大， 的值 　 　（增大或减小)； （2） 当x>1时， 随着x的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数； （3） 当0≤x≤2时， 求代数式值的范围。 六、拓展迁移2： 40．为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔.某商店用1800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元. （1）第一批头盔的进货单价是多少元? （2）若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于 4200元，那么销售单价至少为多少元? 41．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上 （不包括300支)，可以按批发价付款；购买300支以下 （包括300支)只能按零售价付款。某会议会务人员到该店采购铅笔，如果给参会人员每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用 120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用 120元。 （1）该会议的参会人员总数在什么范围内? （2）如果按批发价购买360 支与按零售价购买300支所付款相同，那么该会议的参会人员有多少人? 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 7．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 8．【答案】（1）解：方程两边同时乘以x （x-1) 得： 3x-2 （x-1) =0， 解得： x=-2， 检验： 当x=-2时， x （x-1) ≠0， ∴x=-2 是原分式方程的解 （2）解：方程两边同时乘以2 （x-2) 得： 2 （1-x) =x-2 （x-2) ， 解得： x=-2， 检验： 当x=-2时， 2 （x-2) ≠0， ∴x=-2是原分式方程的解 9．【答案】解：若设A 型扫地机器人每小时清扫xm2， 等量关系式： A机器清扫100 平米的时间=B机器清扫100平方米的时间+40分钟 可列方程为：（ 10．【答案】解：甲： 元/ kg， 元/ kg 所以甲的平均单价是 乙的平均单价是 乙的平均单价低。 11．【答案】解：原式 12．【答案】解： 13．【答案】解：方程两边乘以 （x-1) 得2x+a=x-1 x=-a-1，由题意得-a-1≥0， a≤1 且x-1≠0， 即-a-1-1≠0，a≠-2 所以a得取值范围是a≤1，且a≠-2 14．【答案】解：设原计划每小时修路 xm，则根据题意可得： 解得x=50 经检验，x=50是原方程的解. 答：原计划每小时修路50米. 15．【答案】（1）解： （2）解：由 （1） 得 16．【答案】解：题目要求不亏本，降价幅度最多为d%，则现在销售价=成本，把成本看着‘ 17．【答案】B 【解析】【解答】解：A. 中x≥1，此选项不符合题意； B. 中x＞1，此选项符合题意； C. 中x≥ ，此选项不符合题意； D. 中x≥2，此选项不符合题意； 故答案为：B. 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-1≥0，求出x的范围，据此判断A，同理判断C、D；根据二次根式以及分式有意义的条件可得x-1>0，求出x的范围，据此判断B. 18．【答案】C 19．【答案】B 【解析】【解答】解： 故答案为：B． 【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算． 20．【答案】 21．【答案】-1；1 22．【答案】2或3或5 23．【答案】x≤1且x≠-2 24．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 25．【答案】（1）解：去分母， 得 去括号，得： 解得x=3， 经检验x=3是原分式方程的解. （2）解：去分母， 得3x-（x+2)=0， 解得x=1， 检验： 当x=1时， x（x﹣1)=0. ∴x=1是原分式方程的增根，即原分式方程无解 26．【答案】解：任务一：三；分式的基本性质 任务二：不正确 解：原式 27．【答案】（1）解：设A块试验田x亩， B块试验田 （x+4) 亩， 列方程得 化简得 求出x=8 经检验x=8是原方程的解 9600÷8=1200kg， 7200÷12=600kg 答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是 1200千克。 （2）解： 28．【答案】解：设大客车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为1.5x千米/小时， 由题意可知： 解得x=40， 经检验：x=40 是原方程的根. 答：大客车的速度为40千米/小时，则小汽车的速度为60千米/小时. 29．【答案】C 30．【答案】A 31．【答案】C 32．【答案】x（x+1） 【解析】【解答】解： 分式方程的最简公分母为x（x+1）. 故答案为：x（x+1）. 【分析】观察此分式方程中的分母，可得到此分式方程的最简公分母. 33．【答案】 【解析】【解答】解：∵m千克售价为n元， ∴每千克的售价为元： ∴8千克的售价为元． 故答案为： ． 【分析】根据题意直接列出代数式即可。 34．【答案】-2 【解析】【解答】解： 故答案为：-2 【分析】 中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据 ，代入化简即可得到结果． 35．【答案】且 36．【答案】解：∵=， ∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0 解得x≠﹣2、﹣3、﹣4． 【解析】【分析】先把除法化为乘法，再根据分式有意义的条件即可得到结果． 37．【答案】（1）解：原式 当 原式 （2）解：原式 38．【答案】（1）解：方程两边乘以x2-1得 解得 x =1 经检验 x =1是增根 所以原方程无解 （2）解：方程两边乘以（ 得 解得 经检验 x =1是增根 39．【答案】（1）减少；减少 （2）解： 当 的值无限接近0， 的值接近2 （3）解： 又∵0≤x≤2 40．【答案】（1）解：设第一批头盔的进货单价为x元，则第二批头盔的进货单价为(x+20)元. 根据题意，得 解得x=60. 经检验，x=60是原方程的根，故符合题意. 答：第一批头盔的进货单价为60 元. （2）解：设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为 (个)， ∵总利润不少于4 200元， ∴120y-(1800+7200)≥4200， 解得y≥110. 答：销售单价至少为110元. 41．【答案】（1）解：该会议的参会人员总数为x 人.则 解得240<x≤300 所以该会议的参会人员总数大于240人小于或等于 300人. （2）解：由题意可知零售价为 批发价 列方程得； 化简得解得x=300 经检验x=300 是原方程的解 答：该会议的参会人员有300 人. 学科网（北京）股份有限公司 $