全概率公式、贝叶斯公式、全概率公式与数列综合问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

全概率公式、贝叶斯公式、全概率公式与数列综合问题讲义 全概率公式、贝叶斯公式、全概率公式与数列综合问题讲义 考点目录 全概率公式 贝叶斯公式 全概率公式与数列综合问题 考点一 全概率公式 【知识点解析】 一、解题原理 将复杂事件的概率拆解为若干互斥完备子事件下的条件概率加权和，核心是“整体拆部分，分步求概率再求和”； 核心公式：若是样本空间的互斥完备事件组（两两互斥、和为全集，），则对任意事件，。 二、解题思路 1. 拆完备组：找对事件有影响的互斥完备事件组（如“第一次取正/反”“从甲/乙箱取球”）； 2. 求基础概率：计算各子事件的概率； 3. 求条件概率：计算在发生下的条件概率； 4. 加权求和：代入公式求。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 例2．（25-26高二下·江苏南通·月考）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由求出,再由求出，最后利用即可求解. 【详解】设为第天选套餐，为第天选套餐， 则， ； 从而， . 例3．（25-26高二下·贵州黔西南·月考·多选）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为0记为事件A，接收的信号为1记为事件B.则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用全概率公式展开即可求得结果. 【详解】定义事件发送信号为0，发送信号为1，接收信号为0，接收信号为1 由题意可知：， 发送0时，接收0的概率为：，接收1的概率为： 发送1时，接收0的概率为：，接收1的概率为： 根据全概率公式可得： ， 所以A选项错误，B选项正确； 同理， 所以C选项错误，D选项正确. 例4．（25-26高三上·江苏无锡·期末·多选）设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用条件概率公式计算判断选项A，D；利用全概率公式计算判断选项B；利用加法公式计算判断选项C． 【详解】已知，，，，， 选项A：由条件概率公式， 得，故A正确； 选项B：由全概率公式， 得，故B正确； 选项C：由加法公式， 得，故C正确； 选项D：由条件概率公式， 得，故D错误． 故选：ABC． 例5．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这两个球都是黄球的概率为__________． 【答案】 【详解】在第一个盒子中取到的两个球都是黄球的概率为， 在第二个盒子中取到的两个球都是黄球的概率为， 从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球， 则这两个球都是黄球的概率为. 例6．（2026·上海徐汇·模拟预测）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用对立事件的概率公式，以及全概率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得，且， 则，可得， 即，可得. 例7．（25-26高二下·福建厦门·月考）某校、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家用餐，已知该同学第一天选择餐厅的概率是，若在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，而在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，如此往复． (1)求该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率； (2)求该同学第二天选择餐厅的概率； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率公式计算即得. （2）利用全概率公式计算即得. 【详解】（1）设表示第1天选择餐厅，表示第2天选择餐厅，则表示第1天选择餐厅， 根据题意得， 该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率为； （2）由全概率公式得． 例8．（25-26高二下·江苏南京·月考）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； (2)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，结合古典概型的概率公式和对立事件的概率公式，可求解；②由缩小样本空间求条件概率的方法可求得所求概率； （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件，根据条件概率公式及全概率公式，可得所求概率. 【详解】（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，则表示取到的2个球全是白球， 由题可知，， 所以，即取出的2个球中至少有一个红球的概率为； ②第1次取到白球，则在第1次取球后，甲袋中有2个红球，2个白球， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则. 设“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件， 则，. 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建厦门·月考）某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件 根据题目条件可知，，，， 根据全概率公式，可得，解得. 变式2．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如下表，若该品牌智能手表的整体好评率为，则表中（    ） 甲 乙 丙 销量占比 好评率 A．75 B．80 C．85 D．90 【答案】B 【详解】依题意，，解得. 变式3．（2026·湖北孝感·二模·多选）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【答案】BCD 【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【详解】记小张第次去洗车店为，第次去洗车店为， 则，，，，，. 选项A：，故A错误. 选项B：， ， 所以小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小，故B正确. 选项C：，故C正确. 选项D：，故D正确. 变式4．（2026·湖南常德·一模·多选）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据独立事件定义以及条件概率乘法公式计算可得，再由全概率公式计算可得各选项结果，即可得出AB错误，C正确，再由随机事件概率的加法公式计算可得D正确. 【详解】由，可得；因此C正确； 又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以； 根据全概率公式可得, 解得，因此A错误； 又， 解得，因此B错误； 易知， 所以，即D正确. 故选：CD 变式5．（2026·上海静安·二模）现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 【答案】 【详解】用分别表示交换1次，2次后白球还在A罐中的事件， 依题意，，，， 由全概率公式得， 所以交换2次后，白球还在A罐子中的概率是. 变式6．（25-26高二下·河北石家庄·月考）已知，则__________. 【答案】/ 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】. . 变式7．（25-26高二下·江苏盐城·月考）一个盒子中有个白球、个黑球，从中不放回地每次任取个，连取次． (1)求第一次取得白球的概率； (2)求第二次取得白球的概率； (3)已知第二次取得白球，求第一次取得白球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可； （2）利用全概率公式求解即可； （3）利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件第一次取得白球，则. （2）记事件第二次取得白球，第次取得黑球， 则，，， 由全概率公式可得. （3）由条件概率公式可得. 变式8．（2026·河北邢台·二模）甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为，已知第一局甲队胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局. (1)求甲队第2局获胜的概率； (2)求比赛不超过4局且甲队获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式计算即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可求解. 【详解】（1）记事件第局甲队胜，， . （2）记事件“比赛不超过4局且甲队获胜”，比赛结束时的局数， 则； ， 所以 考点二 贝叶斯公式 【知识点解析】 一、解题原理 逆概率问题核心公式，在已知结果事件发生的前提下，反推导致发生的某子事件的概率，本质是“由果溯因”，以全概率公式为基础，结合条件概率变形推导； 核心公式：（为互斥完备事件组，）。 二、解题思路 1. 定果溯因：明确“结果事件（已发生）”和“待求因事件”，拆分互斥完备事件组； 2. 算分子分母：分子为，分母为全概率公式计算的； 3. 代入求解：分子除分母得，多因事件可依次计算对比。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·广东广州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件后根据题干得到，，，，由全概率公式求得，由乘法公式得到，由条件概率公式得到. 【详解】设事件为“抽到的学生来自高三（1）班”，事件为“抽到的学生来自高三（2）班”，事件为“抽到的学生参加数学兴趣社团”， 则，，，， 由全概率公式得， 由乘法公式得， 由条件概率公式得， 故选：B. 例2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯公式即可求解. 【详解】设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”， 由题意得，，，． 因为， 所以． 故选：D． 例3．（24-25高二下·河南濮阳·月考）甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲､乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是__________． 【答案】 【分析】设出事件，运用全概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】记“选到甲盒子”为事件，“选到乙盒子”为事件，“摸到黑球”为事件B. 由全概率公式得， 由条件概率公式得， 故答案为：. 例4．（24-25高三下·湖南长沙·月考）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为__________；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为__________. 【答案】 【分析】设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件 “表示迟到”，利用全概率公式可得小明这一天迟到的概率；利用贝叶斯公式即可得到若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率；或者在迟到的前提下计算概率即可． 【详解】由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”， 事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”， 则. 由全概率公式可得小明这一天迟到的概率： . 解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得 他自驾去上班的概率是. 解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率. 故答案为：；. 例5．（2026·云南玉溪·二模）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球取自2号箱的可能性最大 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为. （2）根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大． 【变式训练】 变式1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案. 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 变式2．（24-25高二下·河北保定·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件存在如下关系：.对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.06，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则使用微信支付遇到支付问题的概率是（    ） A．0.1 B．0.06 C．0.4 D．0.05 【答案】D 【分析】设出相应的事件以及对应的概率，代入贝叶斯公式即可求解. 【详解】设分别表示事件使用信用卡支付､使用支付宝支付､使用微信支付，表示事件出现支付问题， 则，所以使用微信支付遇到支付问题的概率，. 故选：D. 变式3．（24-25高三下·天津·月考）同种规格的产品，甲组生产占40%，优品率为10%；乙组生产占60%，优品率为20%，将两组生产的产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是优品的概率为______；若取出一件产品是优品的条件下，是甲组生产的产品的概率为______． 【答案】 0.16 【分析】根据贝叶斯公式和全概率公式求解即可. 【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品， 由题可得：， 故. 则. 故答案为：；. 变式4．（24-25高二下·江苏无锡·月考）某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为______；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为______. 【答案】 / 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件为小明母亲参加活动，设事件为小明父亲参加活动， 由题意可得, 所以， 因为， 所以在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为. 故答案为：； 变式5．（25-26高二下·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件 根据题目可得，，，， 根据全概率公式，可得：. （2）根据贝叶斯公式，可得： . 考点三 全概率公式与数列综合问题 【知识点解析】 一、解题原理 将递推型概率问题与数列通项求解结合，利用全概率公式拆解第次事件的概率，推导出概率数列的递推公式，再通过数列方法求通项、极限或特定项，核心是“全概率拆递推，数列法解通项”。 二、解题思路 1. 设概率数列：设为第次事件发生的概率（如“第次取到白球的概率”）； 2. 用全概率推递推式：找第次与第次的关联，拆互斥完备事件组（如“第次发生/未发生”），代入全概率公式得与的线性递推关系（如）； 3. 解数列通项：用构造等比数列（形如）求解递推公式，得的通项； 4. 求目标量：根据通项求特定项、数列极限（如时的稳态概率）或验证单调性。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 例2．（2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式可求得； （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】（1）由题意，； （2）当时， ， 整理得，， 是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以. 例3．（25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】(1) (2)（i），，证明见解析；（ii）和见解析，能提高. 【分析】（1）由题意，根据全概率公式，即可求得答案. （2）（i）根据条件，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证. （ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立可得和，求出第n次提前送达的概率，分析比较，即可得答案. 【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. （2）（i）第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为 则 ， 随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）某种电路开关闭合后，会出现闪动的红灯或绿灯.已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第次闭合后出现红灯的概率为，求： (1)求； (2)求，（，）。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分析开关第一次闭合后出现红灯和绿灯的概率，然后再分别计算在第一次出现红灯和绿灯的情况下第二次出现红灯的概率，最后根据全概率计算公式进行求解即可. （2）先根据已知条件列出之间的递推关系式，然后构造整理出等比数列，进而可求出结果. 【详解】（1）第二次闭合后出现红灯的概率的大小决定于两个互斥事件， 即第一次红灯后第二次又是红灯，第一次绿灯后第二次才是红灯，于是 . （2）研究开关第次闭合后出现红灯的概率，则要考虑第次闭合后出现红灯或绿灯的情况， . 再利用待定系数法，令，整理比较可得. 故为等比数列，所以. 所以. 变式2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位食堂有两个餐厅，员工每天中午必须在其中一个餐厅就餐.员工小王第一天午餐时随机选择一个餐厅，如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.7；如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.4. (1)小王第二天选择餐厅就餐的概率； (2)若餐厅拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小王从这些菜品中随机选择3种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值； (3)设员工小王第天选择餐厅就餐的概率为，求. 【答案】(1)0.45 (2)最大值为，或4. (3) 【分析】（1）抽象为全概率公式，结合题意，代入数据，即可求解； （2）首先根据组合数公式，结合古典概型概率公式，得到，设最大，则，列式求解； （3）首先根据全概率公式，列出的递推关系式，利用构造法求通项公式. 【详解】（1）根据题意，设“第i天在餐厅就餐”为事件，设“第i天在餐厅就餐”为事件， 则 （2）可能的取值为， 大为， 令， 设最大，则 即 所以，因为为正整数， 所以当， 故的最大值为，此时或4. （3）根据题意，设， 则， 则有 ， 则有，即， 变形可得， 又由，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以， 故. 变式3．（2025·河南郑州·模拟预测）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. 【答案】(1)0.5; (2)证明见解析，，. 【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解； （2）根据给定条件，求出、的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证. 【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间， 设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间， 则 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）由题意，， 当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 所以，则， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式也满足题意，则. 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为. 所以， 整理可得， 因为，所以， 即， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，满足上式也满足题意，则， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $全概率公式、贝叶斯公式、全概率公式与数列综合问题讲义 全概率公式、贝叶斯公式、全概率公式与数列综合问题讲义 考点目录 全概率公式 贝叶斯公式 全概率公式与数列综合问题 考点一 全概率公式 【知识点解析】 一、解题原理 将复杂事件的概率拆解为若干互斥完备子事件下的条件概率加权和，核心是“整体拆部分，分步求概率再求和”； 核心公式：若是样本空间的互斥完备事件组（两两互斥、和为全集，），则对任意事件，。 二、解题思路 1. 拆完备组：找对事件有影响的互斥完备事件组（如“第一次取正/反”“从甲/乙箱取球”）； 2. 求基础概率：计算各子事件的概率； 3. 求条件概率：计算在发生下的条件概率； 4. 加权求和：代入公式求。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·江苏南通·月考）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·贵州黔西南·月考·多选）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为0记为事件A，接收的信号为1记为事件B.则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·江苏无锡·期末·多选）设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这两个球都是黄球的概率为__________． 例6．（2026·上海徐汇·模拟预测）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 例7．（25-26高二下·福建厦门·月考）某校、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家用餐，已知该同学第一天选择餐厅的概率是，若在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，而在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，如此往复． (1)求该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率； (2)求该同学第二天选择餐厅的概率； 例8．（25-26高二下·江苏南京·月考）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； (2)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建厦门·月考）某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如下表，若该品牌智能手表的整体好评率为，则表中（    ） 甲 乙 丙 销量占比 好评率 A．75 B．80 C．85 D．90 变式3．（2026·湖北孝感·二模·多选）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 变式4．（2026·湖南常德·一模·多选）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式5．（2026·上海静安·二模）现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 变式6．（25-26高二下·河北石家庄·月考）已知，则__________. 变式7．（25-26高二下·江苏盐城·月考）一个盒子中有个白球、个黑球，从中不放回地每次任取个，连取次． (1)求第一次取得白球的概率； (2)求第二次取得白球的概率； (3)已知第二次取得白球，求第一次取得白球的概率． 变式8．（2026·河北邢台·二模）甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为，已知第一局甲队胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局. (1)求甲队第2局获胜的概率； (2)求比赛不超过4局且甲队获胜的概率. 考点二 贝叶斯公式 【知识点解析】 一、解题原理 逆概率问题核心公式，在已知结果事件发生的前提下，反推导致发生的某子事件的概率，本质是“由果溯因”，以全概率公式为基础，结合条件概率变形推导； 核心公式：（为互斥完备事件组，）。 二、解题思路 1. 定果溯因：明确“结果事件（已发生）”和“待求因事件”，拆分互斥完备事件组； 2. 算分子分母：分子为，分母为全概率公式计算的； 3. 代入求解：分子除分母得，多因事件可依次计算对比。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·广东广州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·河南濮阳·月考）甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲､乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是__________． 例4．（24-25高三下·湖南长沙·月考）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为__________；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为__________. 例5．（2026·云南玉溪·二模）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【变式训练】 变式1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·河北保定·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件存在如下关系：.对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.06，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则使用微信支付遇到支付问题的概率是（    ） A．0.1 B．0.06 C．0.4 D．0.05 变式3．（24-25高三下·天津·月考）同种规格的产品，甲组生产占40%，优品率为10%；乙组生产占60%，优品率为20%，将两组生产的产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是优品的概率为______；若取出一件产品是优品的条件下，是甲组生产的产品的概率为______． 变式4．（24-25高二下·江苏无锡·月考）某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为______；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为______. 变式5．（25-26高二下·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 考点三 全概率公式与数列综合问题 【知识点解析】 一、解题原理 将递推型概率问题与数列通项求解结合，利用全概率公式拆解第次事件的概率，推导出概率数列的递推公式，再通过数列方法求通项、极限或特定项，核心是“全概率拆递推，数列法解通项”。 二、解题思路 1. 设概率数列：设为第次事件发生的概率（如“第次取到白球的概率”）； 2. 用全概率推递推式：找第次与第次的关联，拆互斥完备事件组（如“第次发生/未发生”），代入全概率公式得与的线性递推关系（如）； 3. 解数列通项：用构造等比数列（形如）求解递推公式，得的通项； 4. 求目标量：根据通项求特定项、数列极限（如时的稳态概率）或验证单调性。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 例2．（2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 例3．（25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）某种电路开关闭合后，会出现闪动的红灯或绿灯.已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第次闭合后出现红灯的概率为，求： (1)求； (2)求，（，）。 变式2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位食堂有两个餐厅，员工每天中午必须在其中一个餐厅就餐.员工小王第一天午餐时随机选择一个餐厅，如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.7；如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.4. (1)小王第二天选择餐厅就餐的概率； (2)若餐厅拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小王从这些菜品中随机选择3种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值； (3)设员工小王第天选择餐厅就餐的概率为，求. 变式3．（2025·河南郑州·模拟预测）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $