河北省衡水市武强中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

武强中学2024—2025学年度下学期期中考试 高一数学试题 出题人:郝敬先 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.若,则( ) A. B. C. D. 2.已知复数,则 ( ) A.1 B. C. D.2 3.在 ABC中,,,所对的边分别为a,b,c,其中,,,则( ) A. B. C. D. 4.要得到的图象,需要将函数的图象( ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 5.在 ABC中,点D在线段BC上,且,E是线段AB的中点,则( ) A. B. C. D. 6.在 ABC中,角所对的边分别是,已知,则 ABC的形状为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 7.已知,向量,且,则( ) A. B. C. D. 8.在 ABC中,,是的中点,与交于点,若,则( ) A. B. C. D.1 二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分) 9. 中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是( ) A.,, B.,, C.,, D.,, 10.下列命题中的真命题是( ) A.若为非零向量,则与同向 B.若,则与的夹角为钝角 C.若,,则 D.的充要条件是且 11.三角形的三边所对的角为,,则下列说法正确的是( ) A. B.若 ABC面积为,则 ABC周长的最小值为12 C.当,时, D.若,,则 ABC面积为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知单位向量,的夹角为,则 . 13.已知,则的值为 . 14.若复数是纯虚数,则实数 . 四、解答题(本题共5小题,共77分) 15.(本小题13分) 已知,,且与夹角为求: (1); (2)与的夹角. 16.(本小题15分) 在 ABC中,内角所对的边分别为,,,已知已知. (1)求角的大小; (2)若,,求的值; (3)若,判断的形状. 17.(本小题15分) 已知向量. (1)当时,求实数的值; (2)当时,求向量与的夹角的余弦值. 18.(本小题17分) 在 ABC中,. (1)求及的值; (2)若,求. 19.(本小题17分) 已知函数的最小值为1. (1)求的值和的最小正周期; (2)求在上的单调递增区间; (3)若成立,求的取值范围. 试卷第2页,共3页 试卷第3页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 《2025年3月25日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D A A C A ABD AC 题号 11 答案 ABD 1.B 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为,则. 故选:B. 2.B 【分析】利用复数模的计算公式即可得到结果. 【详解】, . 故选:B. 3.B 【分析】直接利用正弦定理可求解. 【详解】,, , 由正弦定理得, . 故选:B. 4.D 【分析】利用三角函数图象变换可得出结论. 【详解】因为, 为了得到的图象,需要将函数的图象向右平移个单位. 故选:D. 5.A 【分析】根据平面向量基本定理及线性运算求解即可. 【详解】因为,所以, 则. 故选:A. 6.A 【分析】由余弦定理代入整理得,进而得答案. 【详解】解:由余弦定理, 故代入边角互化得: ,整理得: 所以,故三角形为等腰三角形. 故选:A 【点睛】本题考查利用边角互化判断三角形形状,考查化归转化思想,是基础题.解题的关键在于边角互化. 7.C 【分析】利用二倍角公式结合向量平行求解即可. 【详解】法1:根据题意得,则有,变形可得,解得或.又,则必有.故选:C. 法2:选项验证法! 观察选项,当时,,不符合题意; 当时,,,不符合题意; 当时,,符合题意; 当时,,不符合题意. 故选:C. 8.A 【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得,由此求得的值,即可得到结果. 【详解】 ∵,∴, ∴. ∵A,P,D三点共线,∴. ∵,∴. ∵E是边AB的中点,∴. ∵E,P,F三点共线,∴, ∴,解得,, ∴,即,,故. 故选:A. 9.ABD 【解析】选项A,根据已知得到,再根据正弦定理即可得到三角形只有一解,故符合题意.选项,根据正弦定理得到,因为,所以只有一解.选项C,根据正弦定理得到,无解,不符合题意.选项D,根据正弦定理得到,,符合题意. 【详解】选项A,,,,又, 由正弦定理得:,只有一种情况, 此时三角形只有一解,故A符合题意. 选项B,,,, 由正弦定理:得:, 又,,只有一解,故B符合题意. 选项,,,, 由正弦定理得:, 无解,不符合题意. 选项D,,,; 由正弦定理:得, 此时 三角形只有一解,故D符合题意. 故选:. 【点睛】本题主要考查正弦定理中三角形解的个数问题,属于中档题. 10.AC 【分析】对于A,由共线向量的概念和单位向量的求法即可判断;对于B,考虑特殊情况与的夹角为即可判断;对于C,由相等向量的概念即可判断;对于D,由相等向量和共线向量的概念即可判断. 【详解】对于A,因为是个正数,所以与是同方向的单位向量,故A正确; 对于B,当与的夹角为时,,,故B错误; 对于C,由,得,的长度相等且方向相同;由,得,的长度相等且方向相同, 所以,的长度相等且方向相同,即,故C正确; 对于D,当且方向相反时,不成立,所以且不是的充要条件,故D 错误. 故选:AC. 11.ABD 【分析】由题意可得,选项A:利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小;选项B:由三角形面积和角可得,利用均值不等式求周长最小值即可;选项C:利用边角互化后得到的解即可;选项D:利用正弦定理求,然后后面积公式求解即可. 【详解】因为, 由题意可得, 整理得, 由正弦定理边角互化得, 又由余弦定理得,所以,A正确; 当时,,所以,当且仅当时等号成立, 所以,即, 所以,B正确; 由当,时,,解得,C错误; 由,得,由正弦定理得解得, 又因为, 所以,D正确; 故选:ABD. 12. 【分析】根据给定条件,利用数量积的定义及运算律计算即得. 【详解】由单位向量,的夹角为,得, 所以. 故答案为: 13. 【分析】根据,结合诱导公式可得结果. 【详解】∵, ∴. 故答案为:. 14.2 【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0,计算即可. 【详解】 由题意得解得. 故答案为:2. 15.(1)12; (2). 【分析】(1)根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可; (2)根据平面向量夹角公式,结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】(1),,且与夹角为, ,, , ; (2), , , 设与的夹角为, , 又, 所以,即与的夹角为. 16.(1); (2); (3)正三角形. 【分析】(1)利用余弦定理求出的大小作答. (2)代入给定等式计算作答. (3)根据已知条件可得,再结合(1)确定三角形的形状作答. 【详解】(1)在中,由及余弦定理得,而, 所以. (2)由,及,得, 所以. (3)由及,得,则,由(1)知, 所以为正三角形. 17.(1)1 (2) 【分析】(1)由垂直关系的向量坐标表示可解; (2)由向量平行的坐标表示求出,再代入向量夹角公式可得. 【详解】(1)由题意可得, 因为,所以. (2), 因为,所以, 所以, 所以, 即向量与的夹角的余弦值为. 18.(1), (2) 【分析】(1)利用三角形的内角范围与同角三角函数的平方关系,二倍角公式,结合两角和的正弦、余弦公式即可求解; (2)利用三角形的内角之间关系及范围与同角三角函数的平方关系,两角和的余弦公式即可求解. 【详解】(1)在中,因为,又, 则,, , 所以, . (2)在中,因为,则是锐角, 又,则, 因为,,则是锐角, 所以, 在中,, 所以 . 19.(1),最小正周期 (2) (3) 【分析】(1)利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式,再根据最值待定的值与最小正周期; (2)利用整体角代换求解函数单调区间即可; (3)将有解问题转化为函数最值问题求解参数范围. 【详解】(1), 由题意,解得,的最小正周期. (2)令,则. 因为的单调递增区间是, 由,得; ,得; 所以,在的单调递增区间是. (3)由题意知,,即, 当时,, 所以当,即. 所以,即. 所以的取值范围是. 答案第8页,共9页 答案第1页,共10页 学科网(北京)股份有限公司 $$