第六章 计数原理（小结）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

《第六章 计数原理（小结）》教学设计

一、课标及课标分析

课标要求

理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能正确区分“分类”和“分步”，并运用两个原理解决简单计数问题.

理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数、组合数公式，并能解决简单的排列、组合实际问题.

能用计数原理证明二项式定理，理解二项式系数的性质，会用通项公式、赋值法解决与二项式有关的问题.

通过对计数问题的探究，提升逻辑推理、数学运算及数学建模核心素养，体会分类讨论、等价转化、正难则反等数学思想.

课标分析

本章是高中数学计数与概率统计的基础内容，承接排列组合、二项式定理，为后续概率、随机变量及其分布提供计数工具.课标强调：以两个计数原理为根本，以排列、组合模型为重点，以二项式定理为应用延伸；要求学生能准确判断问题类型、合理选择方法、规范列式计算.本章突出思想性与工具性，是培养学生有序思考、严谨推理、准确运算的重要章节.

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二、教材分析

本章复习内容围绕三大模块展开：

1. 两个计数原理：分类加法、分步乘法，是所有计数问题的理论依据；
2. 排列与组合：概念辨析、排列数与组合数公式、性质、典型应用；
3. 二项式定理：展开式、通项公式、二项式系数性质、赋值法.

教材由浅入深、由原理到模型、由离散计数到多项式展开，结构清晰、应用性强.复习课重在梳理知识体系、辨析易混模型、总结通法技巧，帮助学生构建完整解题框架.

授课人个案修改记录：

三、学情分析

学生已经学习完本章全部内容，掌握基本概念、公式和方法，但存在明显薄弱点：

1. 原理混淆：分类与分步判断不清，重复或遗漏计数；
2. 模型模糊：排列有序、组合无序区分不准；
3. 方法僵化：不会使用捆绑法、插空法、隔板法、正难则反；
4. 计算易错：排列数、组合数运算错误，二项式通项下标搞错；
5. 综合题不会建模：分组分配、多面手、涂色、相邻不相邻问题处理困难.

学生具备基础运算能力，但有序思维、模型识别、方法选择能力不足，适合知识梳理+模型精讲+错题回扣的复习模式.

四、教学目标/核心素养目标

1. 数学抽象素养：构建计数原理—排列组合—二项式定理知识体系，抽象出典型计数模型.
2. 逻辑推理素养：正确分类、合理分步，严谨推理计数过程，不重不漏.
3. 数学运算素养：熟练计算排列数、组合数、二项式系数，准确运用通项与赋值法.
4. 直观想象素养：借助图示理解捆绑、插空、分组、涂色模型.
5. 数学建模素养：将排队、组数、分配、涂色、二项式问题转化为对应模型求解.

五、教学重难点及课时安排

1. 重点：两个计数原理；排列与组合的区别与计算；排列组合常用方法；二项式定理与通项、系数性质.
2. 难点：分类与分步的合理选择；相邻、不相邻、分组分配、多面手、涂色问题；二项式赋值法求系数和.

六、教学过程

教师活动

投影基础回扣题，学生独立完成，巡视点评.

强调易错点：公式、有序无序、通项下标.

预习问题及答案

1. 分类用____法，分步用____法.（答案：加；乘）
2. 排列数公式：________.（答案：）
3. 组合数性质：，________.（答案：）
4. 二项式通项：________.（答案：）
5. 二项式系数和：________.（答案：）

学生活动

独立作答，举手订正，巩固基础.

设计目的

快速查漏补缺，夯实公式与结论.

环节二：引入课题

（一）温故知新（3分钟）

教师活动

引导学生构建本章知识框架：

计数原理→排列→组合→二项式定理.

提问：

（1）分类加法与分步乘法的区别是什么？

（2）排列与组合的根本区别是什么？

（3）二项式通项公式是什么？

学生活动

集体回顾，口述要点，快速进入复习状态.

设计目的

建立整体知识结构，明确复习主线.

环节三：合作探究

探究1：两个计数原理（5 分钟）

教师活动

对比梳理：