第六章 计数原理（小结）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《第六章 计数原理（小结）》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能正确区分“分类”和“分步”，并运用两个原理解决简单计数问题. 理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数、组合数公式，并能解决简单的排列、组合实际问题. 能用计数原理证明二项式定理，理解二项式系数的性质，会用通项公式、赋值法解决与二项式有关的问题. 通过对计数问题的探究，提升逻辑推理、数学运算及数学建模核心素养，体会分类讨论、等价转化、正难则反等数学思想. 课标分析 本章是高中数学计数与概率统计的基础内容，承接排列组合、二项式定理，为后续概率、随机变量及其分布提供计数工具.课标强调：以两个计数原理为根本，以排列、组合模型为重点，以二项式定理为应用延伸；要求学生能准确判断问题类型、合理选择方法、规范列式计算.本章突出思想性与工具性，是培养学生有序思考、严谨推理、准确运算的重要章节. . 2、 教材分析 本章复习内容围绕三大模块展开： 1. 两个计数原理：分类加法、分步乘法，是所有计数问题的理论依据； 2. 排列与组合：概念辨析、排列数与组合数公式、性质、典型应用； 3. 二项式定理：展开式、通项公式、二项式系数性质、赋值法. 教材由浅入深、由原理到模型、由离散计数到多项式展开，结构清晰、应用性强.复习课重在梳理知识体系、辨析易混模型、总结通法技巧，帮助学生构建完整解题框架. 3、 学情分析 学生已经学习完本章全部内容，掌握基本概念、公式和方法，但存在明显薄弱点： 1. 原理混淆：分类与分步判断不清，重复或遗漏计数； 2. 模型模糊：排列有序、组合无序区分不准； 3. 方法僵化：不会使用捆绑法、插空法、隔板法、正难则反； 4. 计算易错：排列数、组合数运算错误，二项式通项下标搞错； 5. 综合题不会建模：分组分配、多面手、涂色、相邻不相邻问题处理困难. 学生具备基础运算能力，但有序思维、模型识别、方法选择能力不足，适合知识梳理+模型精讲+错题回扣的复习模式. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：构建计数原理—排列组合—二项式定理知识体系，抽象出典型计数模型. 1. 逻辑推理素养：正确分类、合理分步，严谨推理计数过程，不重不漏. 1. 数学运算素养：熟练计算排列数、组合数、二项式系数，准确运用通项与赋值法. 1. 直观想象素养：借助图示理解捆绑、插空、分组、涂色模型. 1. 数学建模素养：将排队、组数、分配、涂色、二项式问题转化为对应模型求解. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：两个计数原理；排列与组合的区别与计算；排列组合常用方法；二项式定理与通项、系数性质. 1. 难点：分类与分步的合理选择；相邻、不相邻、分组分配、多面手、涂色问题；二项式赋值法求系数和. 6、 教学过程 教师活动 投影基础回扣题，学生独立完成，巡视点评. 强调易错点：公式、有序无序、通项下标. 预习问题及答案 1. 分类用____法，分步用____法.（答案：加；乘） 2. 排列数公式：________.（答案：） 3. 组合数性质：，________.（答案：） 4. 二项式通项：________.（答案：） 5. 二项式系数和：________.（答案：） 学生活动 独立作答，举手订正，巩固基础. 设计目的 快速查漏补缺，夯实公式与结论. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 教师活动 引导学生构建本章知识框架： 计数原理→排列→组合→二项式定理. 提问： （1）分类加法与分步乘法的区别是什么？ （2）排列与组合的根本区别是什么？ （3）二项式通项公式是什么？ 学生活动 集体回顾，口述要点，快速进入复习状态. 设计目的 建立整体知识结构，明确复习主线. 环节三：合作探究 探究1：两个计数原理（5 分钟） 教师活动 对比梳理： 分类：完成事件，类类独立，不重不漏，相加； 分步：完成事件，步步相依，步骤完整，相乘. 例题：从A到B有3条路，B到C有2条路，A直接到C有1条路，A到C共多少种走法？ 解：分类（直达+中转）：. 学生活动 记忆判断口诀：分类相加，分步相乘. 设计目的 夯实原理，突破判断第一关. 探究2：排列与组合模型与方法（5 分钟） 教师活动 辨析：有序→排列，无序→组合. 常用方法： 相邻：捆绑法； 不相邻：插空法； 定序：除以阶乘； 正难则反：总数减对立事件； 分组分配：均匀分组要除序. 例题：3男2女排队，女生相邻，有多少种排法？ 解：捆绑：. 学生活动 理解模型，记忆方法口诀. 设计目的 建立排列组合解题工具箱. 探究3：二项式定理（5 分钟） 教师活动 通项：（第项）. 性质：对称、先增后减、和为. 赋值法：令得系数和；令得奇偶项和. 例题：展开式中系数. 解：，系数. 学生活动 记录通项、性质、赋值法. 设计目的 突破二项式高频考点. 环节四：学以致用 题型1：两个计数原理综合 题目：某班有男生5人，女生4人，选1人任班长，有多少种选法？选男、女各1人，有多少种选法？ 解答： （1）分类：； （2）分步：. 答案：； 题型2：排列（相邻/不相邻） 题目：5人排成一排，甲、乙不相邻，有多少种排法？ 解答： 先排其他3人：，插空4个位置选2个：， 共. 答案： 题型3：组合与分组分配 题目：6本不同的书平均分成3组，有多少种分法？ 解答： 均匀分组除序：. 答案： 题型4：二项式通项与系数 题目：展开式中的常数项. 解答： ， 令， 常数项：. 答案： 题型5：二项式赋值法 题目：，求. 解答： 令，得. 答案： 教师活动 精讲步骤，强调模型、方法、列式规范. 学生活动 先做后听，错题订正，整理方法. 设计目的 覆盖高考高频题型，强化通法. 小试牛刀： 1.一个集合有5个元素. （1）这个集合的含有3个元素的子集有多少个？ （2）这个集合的子集共有多少个？ 2.填空题 （1）已知，那么______； （2）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是______； （3）某人设计的电脑开机密码由2个英文字母（不区分大小写）后接4个数字组成，且2个英文字母不相同，该密码可能的个数是______； （4）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是______； （5）在的展开式中，各项系数的和是______. 3.（1）平面内有条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点？ （2）空间有个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线？ 4.（1）求的展开式中按的升幂排列的第3项； （2）求的展开式的常数项； （3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求； （4）求的展开式中的系数； （5）求的展开式中的系数. . . . . 环节五：课堂小结 教师活动 带领学生总结： 1. 一个依据：分类加法、分步乘法； 2. 两个模型：排列（有序）、组合（无序）； 3. 五种方法：捆绑、插空、正难则反、隔板、除序； 4. 一个定理：二项式定理+通项+赋值法. 学生活动 回顾梳理，完善笔记. 设计目的 形成稳定解题思维，提升复习效率. 环节六：布置作业 1. 书面作业：完成本章综合练习题，选择、填空、解答各3道，规范书写. 2. 错题回扣：整理本章5类典型错题：原理错、模型错、方法错、计算错、审题错. 3. 预习：进入第七章随机变量及其分布，联系计数与概率. 教师活动 强调规范：必须写清分类/分步、模型、列式. 学生活动 记录任务，明确复习方向. 设计目的 巩固复习效果，落实查漏补缺. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课以单元整合复习为主线，学生对知识框架、模型区别、常用方法更为清晰，基础运算掌握明显提升.但仍存在：分类分步判断不准、排列组合混淆、均匀分组忘记除序、二项式通项下标易错等问题.后续应加强模型识别口诀训练，强化“先判断、再选法、后计算”步骤，增加典型错题变式练习，让学生真正做到有序思考、不重不漏、规范答题. 学科网（北京）股份有限公司 $