数学探究 杨辉三角的性质与应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

数学探究　杨辉三角的性质与应用

杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中北记载.在欧洲，这个表被叫做帕斯卡三角.

杨辉三角的性质：

(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1.

(2)从第二行起，不在两端的任意一个数，都等于它肩上的两个数相加，即C＝C＋C.

(3)当r＜时，二项式系数是逐渐变大的；当r＞时，二项式系数是逐渐变小的．

(4)当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．

(5)第n行数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.

(6)自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即C＋C＋C＋…＋C＝C，如图所示．

类型一　杨辉三角中“项”的问题

[例1] 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开后的二项式系数构成的三角形数阵(如图所示)，称做“开方作法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了600年左右，若从第0行开始，用A(m，n)表示三角形数阵中的第m行第n个数，则A(101，3)

＝________．(用数字作答)

【解析】　由杨辉三角及二项式展开式的二项式系数可知，第n行第k个数为C，故A(101，3)＝C＝＝5 050.

【答案】　5 050

类型二　杨辉三角中“行”的问题

[例2] 在“杨辉三角”中，不在两端的每一个数都是它“肩上”两个数的和，它前几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.

第0行1

第1行1　　1

第2行1　 　2　 　1

第3行1　 　3　 　3　 　1

第4行1　 　4　 　6　 　4　 　1

第5行1　　5　　10　　10　　5　　1

　⋮　　　　　　　⋮

【解析】　由题意可知，第n行第m个数为C(n，m∈N*)，根据题意，设所求的行数为n(n∈N*)，则存在正整数k，使得连续三项C，C，C，有＝

且＝.化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．

【答案】　62

类型三　杨辉三角中“和”的问题

[例3] 杨辉三角(如图所示)是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2 024行，每行的第3个数字之和为(　　)

A．C　　　　　　 B．C

C．C－1    D．C－1

【解析】　C＋C

＝＋

＝

＝＝

＝C，

由此可得，第2行到第2 024行，每行的第3个数字之和为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C.

【答案】　B

[跟踪训练] (1)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中所选数1，1，2，3，6，10，20，…构成的数列{an}的第n项，则a12的值为(　　)