21.3.1 矩形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.3.1矩形 第二十一章 四边形 人教版(2024) 素养目标 1 理解并掌握矩形的判定办法； 2 能熟练运用矩形的定义和判定知识进行计算和证明； 3 经历矩形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力. 知识回顾 1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质. 2.矩形的四个角都是直角. 数学语言：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ABC =∠BCD =∠CDA = ∠DAB = 90°. 3.矩形的对角线相等. 数学语言：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD. C B A D O 问题3：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？ 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 思考：你还有其他的判定方法吗？ A B C D 探索新知 性 质 猜 想 判定定理 逆命题 证明 你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？ 同样，我们能否通过研究矩形性质定理的逆命题，得到判定矩形的方法呢？ 我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 注意对角线相等的四边形不一定是矩形. 等腰梯形的两条对角线也相等. 下面我们来一起验证一下： 如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形. ∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB // DC. ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B=90°，∴∠C=90°. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O. 求证：AC=DB. O 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°. 在△ABC和△DCB中 ∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB， ∴△ABC ≌ △DCB（SAS）， ∴AC = DB. 知识梳理 1.矩形的定义：有一个角是 的平行四边形叫作 ，矩形也就是长方形. 2.作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，另外，矩形还有以下性质： (1)矩形的四个角都是 ； (2)矩形的对角线 . 几何语言： 如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. 直角 矩形 直角 相等 例1　下列选项中，矩形具有的性质是 A.四边相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 √ 活动2 请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ A B C D l1 l2 2条 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ） A. AB // DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OB C 2.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C 落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则 △DFC′的周长为_______. 12 例2　(课本P71例2)如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形. 证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°. 又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC=(∠BAD+∠ADC)=90°， ∴∠F=90°， 同理∠H=∠AEB=90°， ∴∠FEH=∠AEB=90°， ∴四边形EFGH是矩形. 反思感悟 题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形. 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AD = BD，CD = 4， 则 AB 的长为 （ ） A. 8　　　B. 6　　　　C. 4　　　　D. 2 A 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥ AB 于点 D ， E 是斜边 AB 的中点，若∠ECD =50°，则 ∠A =（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 在 Rt△CDE中， ∠ECD = 50°，∠CED = 40°. 50° 40° 在 △CEA中， CE = EA，∠ECA = ∠EAC 20° 20° B 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形. 例 2 分析：根据已知条件，容易证明 四边形 EFGH 的一个内角∠F为直角， 同理可证∠H，∠AEB 也为直角， 从而证明四边形 EFGH 是矩形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD . ∴∠BAD + ∠ADC = 180°. 又 AF，DF 分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF + ∠ADF = ∠BAD + ∠ADC = (∠BAD + ∠ADC) = 90°. ∴∠F = 90°. 同理∠H = ∠AEB = 90°. ∴∠FEH = ∠AEB = 90°. ∴四边形 EFGH 是矩形. 练 习 如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF . 求证：四边形ADCF是矩形. 【选自教材第71页 练习 第3题】 证明：∵AF∥BC，∴∠EAF = ∠EDB . ∵E 是 AD 的中点，∴AE = DE. ∴△AEF ≌△DEB（ASA）. ∴AF = BD. 在△AEF 和△DEB 中， ∠AEF = ∠DEB， AE = DE， ∠EAF = ∠EDB， ∵AB = AC，D 是 BC 的中点， 又 AF∥DC，∴四边形 ADCF 是平行四边形. 又∠ADC = 90°，∴□ADCF是矩形. ∴∠ADC = 90°，BD = DC，∴AF = DC. 跟踪训练3　(1)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线. ①若BD=3 cm，则AC=　　cm；  ②若∠C=30°，AB=5 cm，则AC=　　cm，BD=　　cm.  6 10 5 (2)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点.若AD=6，DE=5，则CD的长等于　　.  8 解析　∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE=5， ∴AC=2DE=10. 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10， 则根据勾股定理，得CD===8. 1.若直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 课堂练习 √ 解析　∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12，∴斜边长为13， ∴斜边上的中线长为=6.5. 课堂小结 $