2025-2026学年人教版数学八年级下册期中自测训练试题

期中自测训练试题 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册 一、单选题 1．下列式子中，与为同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组数，不能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．3，4，5 B．1，1， C．2，3，4 D．6，8，10 3．下列各式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 7．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两直角边分别是a、b，且，大正方形的面积是9，则小正方形的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．已知：在四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围（   ） A． B． C． D． 10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到面积为9的大正方形和面积为2的小正方形，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，矩形ABCD的周长为1，连接矩形ABCD四条边中点得到四边形A1B1C1D1，再连接四边形A1B1C1D1四条边中点得到四边形A2B2C2D2，如此继续下去…，则四边形A10B10C10D10的周长为（    ） A．（）5 B．（）10 C．（）5 D．（）10 二、填空题 13．的平方根是____． 14．已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为______． 15．如图，将矩形纸片沿直线翻折，使点恰好落在边的中点处，点在边上，若，则__________． 16．如图，点P为平行四边形内一点，连接，且，，，，若，则平行四边形的面积是______． 17．如图，菱形中，，，点为上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，，则的取值范围是_______．    三、解答题 18．计算： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中． 20．手工课上，小明用卡纸分别剪出了一个正六边形和一个正五边形，他把两个图形按下图的方式叠合在一起，让它们的一个顶点重合，请你帮小明求出的度数． 21．已知：如图，、是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 22．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且． (1)若的长度为1，求的长度； (2)试说明：． 23．【阅读与思考】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， (1)按照下面的解法，试化简：． 化简： 解：隐含条件 解得 ∴ ∴原式 (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简；    24．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点O是对角线的中点．用尺规过点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是菱形． 25．综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 (1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ (2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 26．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，中，，若，，点是斜边上一动点，求线段的最小值． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到： 当时，线段取得最小值．根据小明的思路可以求出这个最小值为_______． (2)【思维运用】如图2，在中，，，，为斜边上一动点，过作于点，过作于点，求线段的最小值． (3)【问题拓展】如图3，，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上．，，分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离的最小值为______．（直接写出结果，不需要写过程） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C B A C A B B 题号 11 12 答案 B A 1．B 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，据此即可判断． 解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意． B、由于，所以与是同类二次根式，故B符合题意． C、与不是同类二次根式，故C不符合题意． D、与不是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 本题考查二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式的概念，本题属于基础题型． 2．C 根据勾股定理的逆定理，只需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可． A. 3 +4=25=5，故能构成直角三角形，故本选项错误； B. 1+1=2=()，故能构成直角三角形，故本选项错误； C.2+3=13≠4，故不能构成直角三角形，故本选项正确； D. 6+8=100=10，故能构成直角三角形，故本选项错误． 故选C. 此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握其定义 3．B 本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．由此逐项判断即可得出答案． 解：A、的被开放数中含有分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、的被开方数中在分母中，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．C 本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的加减乘除的运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 5．B 利用平行四边形对边平行且相等以及角平分线，构造等腰三角形，进而求出． 解：平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 6．A 本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 根据矩形和菱形的性质判断即可． 解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 7．C 本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 8．A 观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积−4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面积为9，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 解：∵(a+b)2=15， ∴a2+2ab+b2=15， ∵大正方形的面积为：a2+b2=9， ∴2ab=15−9=6，即ab=3， ∴直角三角形的面积为：， ∴小正方形的面积为：， 故选：A． 此题主要考查了完全平方公式及勾股定理的应用，熟练应用完全平方公式及勾股定理是解题关键． 9．B 连接，取的中点G，连接，．当时，最短，利用中位线定理可得，，利用三边关系可得的取值范围． 本题主要考查了三角形中位线定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答． 解：连接，取的中点G，连接，． ∵M是边的中点，G是的中点 ∴是的中位线， ∴； ∵N是的中点，G是的中点 ∴是的中位线， ∴ 在中，由三角形三边关系可知， 即， ∴， 当，即时，四边形是梯形， 故线段长的取值范围是． 故选：B． 10．B ①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②证△OMB△OEB得△EOB△CMB； ③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF； ④由②可知△BCM△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半继续求解即可． 解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵FO=FC， ∴FB垂直平分OC，故①正确； ②∵FB垂直平分OC， ∴△CMB≌△OMB， ∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO， ∴△FOC△EOA， ∴FO=EO， ∴OB⊥EF， ∴△FOB≌△OEB， ∴△EOB与△CMB不全等，故②错误； ③由△OMB≌△OEB≌△CMB 得：∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE， ∴△BEF是等边三角形， ∴BF=EF， ∵DF∥BE且DF=BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE=EF，故③正确； ④在直角△BOE中∵∠3=30°， ∴BE=2OE， ∵∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE， ∴S△AOE：S△BOE=1：2， 又∵FM∶BM=1∶3， ∴S△BCM = S△BCF= S△BOE ∴S△AOE：S△BCM=2∶3 故④正确； 所以其中正确结论的个数为3个， 故选：B． 11．B 本题考查了正方形的性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算，解决此题的关键是熟练地运用这些性质和读懂题目意思并把图形联系起来． 根据正方形的性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算逐项判断即可． 解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， 由题意得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 故①正确； 由①得， ∴ = = ∵， ∴， 即 故②错误； 用x，y表示直角三角形的两条边()， ∵大正方形面积为9，小正方形面积为2， ∴，， ∴直角三角形的面积和为， 于是得到， 解得； 即，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴． 故④正确， 12．A 根据矩形ABCD的周长，四边形A2B2C2D2的周长、四边形A4B4C4D4的周长，找到规律即可解题． 解：顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2， 连接AC，BD交于点O， ∵四边形A1B1C1D1是矩形ABCD的中点四边形， ∴A1B1的中点A2在AC上，A1D1的中点D2在BD上， ∴A2D2=AD， 同理A2B2=AB，B2C2=BC，C2D2=CD， ∴四边形A2B2C2D2的周长为四边形ABCD周长的一半，即为矩形ABCD周长的， 同理：四边形A4B4C4D4的周长为四边形A2B2C2D2周长的一半，即为矩形ABCD周长的， ……， ∴四边形A10B10C10D10周长为矩形ABCD周长的， 故选：A ． 本题考查了中点四边形以及矩形的性质，找到连接矩形、菱形中点所得的中点四边形的周长为原四边形周长的一半是解题的关键． 13．±3 根据算术平方根、平方根解决此题． 解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 14． 本题主要考查了二次根式的应用，长方形的周长等于其长与宽的和的2倍，据此列式求解即可． 解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 本题考查矩形中的折叠问题，勾股定理，由矩形的性质得到，根据折叠的性质，得到，根据已知求出，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵矩形纸片中，， ∴，， 由折叠的性质得， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 16． 延长交于点Q，由平行四边形的性质得，由得，由等腰三角形“三线合一”可求知Q为中点，从而可求出，解直角三角形求得，则，由得到答案． 此题考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 解：延长交于点Q， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 17． 画出最大值和最小值时相应的图形，过点作于点，连接，过点作于点，根据证明，可证明再点的运动轨迹是，根据垂线段最短、等腰直角三角形、含角的直角三角形的性质及菱形的性质进行计算即可． 解：如图，过点作于点，连接，过点作交于点，   ，， ，， 又， ， ， ， 点在直线上运动， 当时，有最小值，此时是等腰直角三角形； ，， ， ， ， ， 的最短距离为， 如图，当点移动到点时，最大，       ，， 是等边三角形， ， 在等腰直角三角形中，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 本题考查菱形、等腰直角三角形的性质及含角的直角三角形的性质，画出相应的图形，确定点的运动轨迹是解决问题的关键． 18．(1) (2) （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．， 先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 解： ， 当时， 原式． 20．的度数为． 根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，再作差即可解答． 解：由题意得：正六边形的每个内角都等于， 正五边形的每个内角都等于， ∴ ， ∴的度数为． 21．见解析 根据边角边的证明方法证明与全等，由此可得，再得与全等，由此可证明． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形是平行四边形． 22．(1) (2)见解析 本题主要考查勾股定理，正方形的性质； （1）根据正方形的性质得到，再结合勾股定理得到，计算求解即可． （2）设，则，结合勾股定理推出，即可求出结果． （1）解：因为， 所以． 因为四边形是正方形，所以． 因为，   所以在中，， 所以． （2）解：设，则． 因为为的中点， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以是直角三角形， 所以． 23．(1)1 (2) 本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． （1）根据二次根式有意义条件得出，求出，再根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据数轴得出，，再根据二次根式的性质和绝对值进行计算即可． （1） 隐含条件， 解得：， 所以 ； （2）从数轴可知：，， 所以 ． 24．(1)见解析； (2)见解析； 本题主要考查了过直线上一点作垂线，矩形的性质和菱形的判定，解决此题的关键是熟练掌握垂直平分线的尺规作图； （1）以点O为圆心，以大于为半径画弧，过点O和两弧交点的直线分别交，于点E，F，连接，即可； （2）先判断四边形是平行四边形，再得到临边相等即可得到答案； （1）解：如图所示； （2）解：在矩形中，， ∴， 由（1）可知垂直平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形． 25．(1)消防车距离着火楼距离是15米 (2)消防车靠近的为8米才能完成处救援任务 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）延长交于点，则，．在中根据勾股定理求出即可； （2）在中根据勾股定理求出，在根据即可解答． （1）解：延长交于点，则，． ∵， ∴在中，， 即此时消防车距离着火楼距离是15米． （2）解：∵，， ∴在中，， ∴， 即消防车靠近的为8米时才能完成处救援任务． 26．(1) (2) (3) （1）根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据垂线段最短得到答案； （2）根据勾股定理求出，根据矩形的性质得到，仿照（1）的方法解答； （3）连接、，延长交于，连接，证明四边形是矩形，得出，仿照（2）的方法即可求解． （1）解：当时，线段取得最小值． ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的最小值为． （2）解：连接，如图所示： ，， ， ， 四边形是矩形， ， ，，， ， 当时，最短， ， ∴线段的最小值为； 故答案为：． （3）如图3，连接、，延长交于，连接， 四边形，四边形是菱形，， ，，，，与互相垂直平分，与互相垂直平分， 、分别是对角线、的中点， 点是的中点，点是的中点，，， ， 又，， 四边形是矩形， ，， 当时，有最小值， 此时，，， ，， ，， ， 的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $