江苏省苏州市相城区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 苏州相城区八年级期中数学卷以一元二次方程、四边形等核心知识为载体，融入“出入相补原理”等文化素材与钓鱼椅几何建模等生活情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/24|一元二次方程定义、平行四边形性质、菱形计算|第7题结合刘徽出入相补原理，考查面积转化思想| |填空|8/24|平行四边形角度计算、正方形折叠、方程根的特征|第15题通过四边形面积割补，渗透转化思想| |解答|11/82|方程解法、四边形证明与计算、动态几何、换元法|23题以钓鱼椅为模型，27题类比迁移矩形旋转，考查空间观念与推理能力|

江苏省苏州市相城区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题：（8题，每题3分，共24分） 1．（3分）下列是一元二次方程的是（　　） A． B．x2﹣x＝0 C．2（x﹣1）＝3x D．x2+2y＝1 2．（3分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（　　） A．AC＝BD B．OB＝OD C．AD∥BC D．AD＝BC 3．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6．若∠BAD＝120°，则AC的长是（　　） A．3 B．5 C．6 D．12 4．（3分）若x＝3是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1 5．（3分）如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3 6．（3分）在图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（　　） A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 7．（3分）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点：连接EC，DF，G，H分别是EC，DF的中点，连接GH，则GH的长度为（　　） A．4 B． C． D． 二、填空题：（8题，每题3分，共24分） 9．（3分）当m＝　 　 时，关于x的方程是一元二次方程． 10．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是　 　 ． 11．（3分）如图，▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ 　 　 ． 12．（3分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则纸条重叠部分的面积为 　 　 ． 13．（3分）在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则此方程必有一根为　 　 ． 14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 　 　 ． 15．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝　 　 ． 16．（3分）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 　 　 ． 三、解答题：（11题，共82分） 17．（6分）解方程： （1）x2﹣36＝0； （2）x（x﹣3）＝10． 18．（6分）在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD和BC上，且DE＝BF．求证：AF＝CE． 19．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图①中以已知线段为对角线画一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，该矩形的面积为 　 　 ． （2）在图②中以已知线段为对角线画一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上，该菱形的周长为 　 　 ． （3）在图③中画一个周长为的菱形（非正方形）． （4）在图④中画一个面积为8的正方形． 20．（6分）阅读与思考 小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣18＝0的过程如下： 解；移项，得2x2﹣8x＝18① 两边同除以2，得x2﹣4x＝9② 配方，得x2﹣4x+4＝9③ 即（x﹣2）2＝9④ ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3⑤ ∴x1＝5，x2＝﹣1⑥ 小明解方程的方法是　 　 ．（填字母） A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤　 　 （填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 21．（8分）已知关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0． （1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为5，求k的值． 22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为E，连接CD、BE． （1）求证：CE＝AD； （2）若D是AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 23．（8分）如图①为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图②所示，测得AC＝EF＝CG＝50cm，BD＝20cm，GF＝80cm，∠ABD+∠GFE＝180°，∠AGF＝90°，已知BD∥CE∥GF． （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面GF的距离． 24．（8分）如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长． 25．（8分）在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝t，则原方程可化为：t2﹣3t+2＝0． 解得：t1＝1，t2＝2． 当t＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当t＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x2﹣2|x|＝0； （2）解方程：． 26．（8分）已知在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm．点E从点A出发向点D运动，同时点F从点C出发向点B运动，运动速度都是1cm/s，设它们的运动时间为ts（0＜t＜8），解答下列问题： （1）如图1，求证：在运动过程中BD，EF总是互相平分； （2）如图2，若四边形BEDF是菱形，求t的值； （3）如图3，将△BEF沿BC翻折，得到△BGF．运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形BEFG是菱形？若存在求出t的值；若不存在说明理由． 27．（10分）【链接教材】 （1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分，正方形A1B1C1O可绕点O转动． 则下列结论正确的是 　 　 （填序号即可）； ①△AEO≌△BFO；②OE＝OF；③四边形OEBF的面积总等于；④连接EF，总有AE2+CF2＝EF2． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形ABCD的对角线的交点O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）①将n个边长都为2cm的正方形按如图3所示的方法摆放，点A1，A2、…、An分别是正方形的对角线的交点，则2026个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 　 　 cm2． ②如图4，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE＝4cm时，则CF的长度为 　 　 cm． 江苏省苏州市相城区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C D D A C 一、选择题：（8题，每题3分，共24分） 1．（3分）下列是一元二次方程的是（　　） A． B．x2﹣x＝0 C．2（x﹣1）＝3x D．x2+2y＝1 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答． 【解答】解：A、x2+3＝，是分式方程，故A不符合题意； B、x2﹣x＝0，是一元二次方程，故B符合题意； C、2（x﹣1）＝3x，是一元一次方程，故C不符合题意； D、x2+2y＝1，是二元二次方程，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．（3分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（　　） A．AC＝BD B．OB＝OD C．AD∥BC D．AD＝BC 【答案】A 【分析】平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．根据平行四边形的性质判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，OB＝OD， AC＝BD不一定成立，结论A错误，符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 3．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6．若∠BAD＝120°，则AC的长是（　　） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】首先根据菱形的性质知AB＝BC，再由∠BAD＝120°求出∠ABC＝60°，得△ABC是等边三角形，即可求出AC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6． 故选：C． 【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．（3分）若x＝3是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1 【答案】C 【分析】根据x＝3是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，可以得到32+3b﹣3＝0，然后求解即可． 【解答】解：∵x＝3是方程x2+bx﹣3＝0的一个根， ∴32+3b﹣3＝0， 解得b＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解使得原方程成立． 5．（3分）如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程﹣直接开平方法得到m+3≥0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得m+3≥0， 解得m≥﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 6．（3分）在图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（　　） A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 【答案】D 【分析】根据平行线间的距离处处相等，结合图形的面积公式进行判断即可． 【解答】解：设两平行线间的距离为h， 由图可知：平行四边形的面积为：4h，三角形的面积为，梯形的面积为； 故三个图形的面积都相等； 故选：D． 【点评】本题考查平行线间的距离，平行四边形的性质，三角形面积公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7．（3分）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OE，根据矩形的性质得到BC＝AD＝8，AO＝CO＝BO＝DO，根据勾股定理得到，求得OB＝OC＝5，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，连接OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝8，AO＝CO＝BO＝DO， ∵AB＝6，AD＝BC＝8， ∴， ∴OB＝OC＝5 ∴， ∴． ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握它们的性质和掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 8．（3分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点：连接EC，DF，G，H分别是EC，DF的中点，连接GH，则GH的长度为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接CH，并延长交AD于点P，依题意得AE＝BE＝BF＝CF＝4，证明△HDP和△HFC全等得PD＝CF＝4，HP＝HC，由此得AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得PE＝，再证明GH是△CEP的中位线，然后根据三角形中位线定理即可得出GH的长． 【解答】解：连接CH，并延长交AD于点P，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为8， ∴AB＝BC＝AD＝8，∠A＝90°，AD∥BC， ∴△AEP是直角三角形， ∵点E，F分别是AB，BC的中点， ∴AE＝BE＝BF＝CF＝4， ∵AD∥BC， ∴∠HDP＝∠HFC，∠HPD＝∠HCF， ∵点H是DF的中点， ∴HD＝HF， 在△HDP和△HFC中， ， ∴△HDP≌△HFC（AAS）， ∴PD＝CF＝4，HP＝HC， ∴AP＝AD﹣PD＝8﹣4＝4， 在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE＝＝＝， ∵HP＝HC，点G是CE的中点， ∴GH是△CEP的中位线， ∴GH＝PE＝＝， 即GH的长度为． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 二、填空题：（8题，每题3分，共24分） 9．（3分）当m＝　﹣2　 时，关于x的方程是一元二次方程． 【答案】﹣2． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列关系式求解即可． 【解答】解：将方程整理为一般形式可得（m﹣2）+x﹣2＝0， ∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解m2﹣2＝2，移项得m2＝4，开方得m＝±2， 解m﹣2≠0，得m≠2， ∴m的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键． 10．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是　100°　 ． 【答案】100°． 【分析】由平行四边形的性质得∠A＝∠C，而∠A+∠C＝160°，则∠C+∠C＝160°，求得∠C＝80°，所以∠B＝180°﹣∠C＝100°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠A+∠C＝160°， ∴∠C+∠C＝160°， ∴∠C＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝180°﹣∠C＝100°， 故答案为：100°． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质等知识，推导出∠A＝∠C，进而求出∠C的度数是解题的关键． 11．（3分）如图，▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ 　5　 ． 【答案】5． 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC＝2，则∠EAB＝∠CBA，而∠EBA＝∠CBA，所以∠EAB＝∠EBA，则AE＝BE＝3，求得DE＝AD+AE＝5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2， ∴∠EAB＝∠CBA， ∵BA平分∠EBC， ∴∠EBA＝∠CBA， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴AE＝BE＝3， ∴DE＝AD+AE＝2+3＝5， 故答案为：5． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、“等角对等边”等知识，推导出∠EAB＝∠EBA是解题的关键． 12．（3分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则纸条重叠部分的面积为 　24　 ． 【答案】24 【分析】连接AC，BD，过A作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，证明四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的面积公式即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AC，BD，过A作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F， 由纸条的对边平行可得：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABC＝S△ADC， ∴BC•AE＝CD•AF， ∵纸条等宽，则AE＝AF， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD为菱形， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×6×8＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记菱形的判定方法是解本题的关键． 13．（3分）在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则此方程必有一根为x＝2　 ． 【答案】x＝2． 【分析】将x＝2代入方程ax2+bx+c＝0，再根据在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，即可得到该方程的一个根． 【解答】解：∵在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0， ∴当x＝2时，方程ax2+bx+c＝0可变为4a﹣2b+c＝0， ∴此方程必有一根为x＝2， 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解使得原方程成立． 14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 　6　 ． 【答案】6． 【分析】过点E作EF⊥AC于点F，延长EF交AD于点G，连接BG交AC于点H，连接EH，由正方形的性质可得点E与点G关于AC对称，则当点Q与点H重合时，△BEQ的周长取得最小值，最小值为BE+BG的长，再结合勾股定理可得出答案． 【解答】解：过点E作EF⊥AC于点F，延长EF交AD于点G，连接BG交AC于点H，连接EH， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°， ∴∠AGF＝∠AEF＝45°， ∴GF＝AF＝EF， 即点E与点G关于AC对称， ∴GH＝EH， ∴当点Q与点H重合时，△BEQ的周长取得最小值， 最小值为BE+BG的长． ∵正方形ABCD的边长为4，AE＝3， ∴AB＝4，AG＝AE＝3，BE＝1， ∴＝5， ∴BE+BG＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质、正方形的性质以及勾股定理是解答本题的关键． 15．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝　　 ． 【答案】 【分析】运用割补法把原四边形转化为正方形，求出BE的长． 【解答】解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点， ∵∠FBC+∠CBE＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°， ∴∠FBC＝∠ABE， 在△BCF和△BEA中 ∴△BCF≌△BEA（AAS）， 则BE＝BF， ∵∠BED＝∠F＝∠D＝90°， ∴四边形BEDF是矩形， ∵BE＝BF， ∴四边形BEDF是正方形， ∴S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝8， ∴BE＝＝2． 故答案为2． 【点评】本题运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求BE就是正方形的边长；也可以看作将三角形ABE绕B点逆时针旋转90°后的图形． 16．（3分）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 　（，﹣）　 ． 【答案】（，﹣） 【分析】由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE＝OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对应边相等得到DE＝AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标． 【解答】解：由折叠得：∠CBO＝∠DBO， ∵矩形ABCO， ∴BC∥OA， ∴∠CBO＝∠BOA， ∴∠DBO＝∠BOA， ∴BE＝OE， 在△ODE和△BAE中， ， ∴△ODE≌△BAE（AAS）， ∴AE＝DE， 设DE＝AE＝x，则有OE＝BE＝8﹣x， 在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3，即OE＝5，DE＝3， 过D作DF⊥OA， ∵S△OED＝OD•DE＝OE•DF， ∴DF＝，OF＝＝， 则D（，﹣）． 故答案为：（，﹣） 【点评】此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 三、解答题：（11题，共82分） 17．（6分）解方程： （1）x2﹣36＝0； （2）x（x﹣3）＝10． 【答案】（1）x1＝6，x2＝﹣6； （2）x1＝5，x2＝﹣2． 【分析】（1）先移项得到x2＝36，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x2＝36， x＝±6， 所以x1＝6，x2＝﹣6； （2）方程化为一般式为x2﹣3x﹣10＝0， （x﹣5）（x+2）＝0， x﹣5＝0或x+2＝0， 所以x1＝5，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法． 18．（6分）在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD和BC上，且DE＝BF．求证：AF＝CE． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AE＝CF， ∴AE＝CF，AE∥CF ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝CE． 【分析】平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，进而推出AE＝CF，得到四边形AECF是平行四边形，即可得到AF＝EC． 【解答】证明：由条件可知AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AE＝CF， ∴AE＝CF，AE∥CF ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝CE． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 19．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图①中以已知线段为对角线画一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，该矩形的面积为 　8　 ． （2）在图②中以已知线段为对角线画一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上，该菱形的周长为 　　 ． （3）在图③中画一个周长为的菱形（非正方形）． （4）在图④中画一个面积为8的正方形． 【答案】（1）画图见解答；8． （2）画图见解答；． （3）见解答． （4）见解答． 【分析】（1）结合矩形的判定与性质画图即可；利用矩形的面积公式计算即可． （2）结合菱形的判定与性质画图即可；利用勾股定理求出菱形的边长，进而可得答案． （3）结合菱形的判定与性质画图即可． （4）结合正方形的判定与性质画图即可． 【解答】解：（1）如图①所示． 该矩形的面积为4×2＝8． 故答案为：8． （2）如图②所示． 该菱形的边长为＝， ∴该菱形的周长为． 故答案为：． （3）如图③所示． （4）如图④所示． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（6分）阅读与思考 小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣18＝0的过程如下： 解；移项，得2x2﹣8x＝18① 两边同除以2，得x2﹣4x＝9② 配方，得x2﹣4x+4＝9③ 即（x﹣2）2＝9④ ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3⑤ ∴x1＝5，x2＝﹣1⑥ 小明解方程的方法是B ．（填字母） A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤　③　 （填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 【答案】B，③． 正确的解析过程如下： 2x2﹣8x﹣18＝0， 2x2﹣8x＝18， x2﹣4x＝9， x2﹣4x+4＝13， （x﹣2）2＝13， ∴或， ∴． 【分析】运用配方法求解即可． 【解答】解：小明解方程的方法是配方法， 他的求解过程从步骤③开始出现错误， 正确的解析过程如下： 2x2﹣8x﹣18＝0， 2x2﹣8x＝18， x2﹣4x＝9， x2﹣4x+4＝13， （x﹣2）2＝13， ∴或， ∴． 故答案为：B，③． 【点评】本题主要考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键， 21．（8分）已知关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0． （1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为5，求k的值． 【答案】（1）见解答； （2）4或6． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后利用根的判别式的意义得到结论； （2）先利用公式法解方程得到x1＝k+1，x2＝k﹣1，则k+1＝5或k﹣1＝5，然后解一次方程得到k的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣1） ＝4＞0， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：x＝＝k±1， 解得x1＝k+1，x2＝k﹣1， 当k+1＝5时，k＝4； 当k﹣1＝5时，k＝6， 综上所述，k的值为4或6． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为E，连接CD、BE． （1）求证：CE＝AD； （2）若D是AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）当∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形． 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE＝AD； （2）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是： 理由：∵D为AB中点， ∴AD＝BD， ∵CE＝AD， ∴BD＝CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴CD＝BD， ∴▱四边形BECD是菱形； ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°， ∴AC＝BC， ∵D为BA中点， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴菱形BECD是正方形， 即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 23．（8分）如图①为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图②所示，测得AC＝EF＝CG＝50cm，BD＝20cm，GF＝80cm，∠ABD+∠GFE＝180°，∠AGF＝90°，已知BD∥CE∥GF． （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面GF的距离． 【答案】（1）∵BD∥CE∥GF，∠ABD+∠GFE＝180°， ∴∠ACE＝∠ABD，∠DEC＝∠GFE， ∵∠ABD+∠GFE＝180°， ∴∠ACE+∠DEC＝180°， ∴BC∥DE， ∴四边形BCED是平行四边形； （2）80cm． 【分析】（1）由平行线的性质得∠ACE＝∠ABD，∠DEC＝∠GFE，进而证明∠ACE+∠DEC＝180°，再证明BC∥DE，然后由平行四边形的判定即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得CE＝BD＝20cm，连接AG，延长AC交GF于点H，由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF，再证明四边形CHFE是平行四边形，得CH＝EF＝50cm，HF＝CE＝20cm，求得AH＝AC+CH＝100cm，GH＝GF﹣HF＝60cm，然后由勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵BD∥CE∥GF，∠ABD+∠GFE＝180°， ∴∠ACE＝∠ABD，∠DEC＝∠GFE， ∵∠ABD+∠GFE＝180°， ∴∠ACE+∠DEC＝180°， ∴BC∥DE， ∴四边形BCED是平行四边形； （2）解：∵四边形BCED是平行四边形， ∴CE＝BD＝20cm， 如图②，连接AG，延长AC交GF于点H， 由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF， ∴四边形CHFE是平行四边形， ∴CH＝EF＝50cm，HF＝CE＝20cm， ∴AH＝AC+CH＝50+50＝100（cm），GH＝GF﹣HF＝80﹣20＝60（cm）， ∵∠AGF＝90°， ∴AG＝＝＝80（cm）， 答：椅子最高点A到地面GF的距离为80cm． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24．（8分）如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长． 【答案】（1）见详解； （2）CD＝10． 【分析】（1）由CF＝BE，可得EF＝BC，即EF＝AD，结合AD∥BC，可得四边形AEFD是平行四边形，再结合AE⊥BC，可得平行四边形AEFD是矩形； （2）在菱形ABCD中，BC＝CD，可得CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，在Rt△CFD中，有，即可求解． 【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD＝AB， ∵CF＝BE， ∴CF+EC＝BE+EC， ∴EF＝BC， ∴EF＝AD， ∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴平行四边形AEFD是矩形； （2）在菱形ABCD中，BC＝CD， ∵BF＝16， ∴CF＝BF﹣BC＝16﹣CD， ∵在矩形AEFD中，∠F＝90°， ∵DF＝8， ∴在Rt△CFD中，， 解得：CD＝10． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键． 25．（8分）在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝t，则原方程可化为：t2﹣3t+2＝0． 解得：t1＝1，t2＝2． 当t＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当t＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x2﹣2|x|＝0； （2）解方程：． 【答案】（1）x1＝x2＝0，x3＝2，x4＝﹣2； （2）x1＝1和x2＝﹣． 【分析】（1）设|x|＝t，则原方程可化为t2﹣2t＝0，解方程求得t的值，再求x的值即可； （2）设＝m，则原方程可化为m﹣＝1，整理得m2﹣m﹣2＝0，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 【解答】解：（1）设|x|＝t，则原方程可化为：t2﹣2t＝0． 解得：t1＝0，t2＝2． 当t＝0时，|x|＝0， ∴x＝0； 当t＝2时，|x|＝2， ∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝x2＝0，x3＝2，x4＝﹣2； （2）设＝m，则原方程可化为m﹣＝1， 整理得m2﹣m﹣2＝0， ∴（m+1）（m﹣2）＝0， 解得：m＝﹣1或m＝2， 当m＝﹣1时，＝﹣1，即x2+x+1＝0， 由Δ＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此时方程无解； 当m＝2时，＝2，即2x2﹣x﹣1＝0， 解得：x1＝1和x2＝﹣， 经检验x1＝1和x2＝﹣都是原分式方程的解． 【点评】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 26．（8分）已知在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm．点E从点A出发向点D运动，同时点F从点C出发向点B运动，运动速度都是1cm/s，设它们的运动时间为ts（0＜t＜8），解答下列问题： （1）如图1，求证：在运动过程中BD，EF总是互相平分； （2）如图2，若四边形BEDF是菱形，求t的值； （3）如图3，将△BEF沿BC翻折，得到△BGF．运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形BEFG是菱形？若存在求出t的值；若不存在说明理由． 【答案】（1）证明：连接BE，DF． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8． ∵AE＝CF＝t， ∴DE＝BF＝8﹣t． ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BD，EF总是互相平分． （2）t＝3． （3）t＝． 【分析】（1）证四边形BEDF是平行四边形，即可得证； （2）在Rt△DCF中，由勾股定理，得CF2+CD2＝DF2，再代入建立方程求解即可； （3）利用建立方程求解即可得解． 【解答】（1）证明：连接BE，DF． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8． ∵AE＝CF＝t， ∴DE＝BF＝8﹣t． ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BD，EF总是互相平分． （2）若四边形BEDF是萎形，则DF＝BF＝8﹣t． ∴在Rt△DCF中，由勾股定理，得CF2+CD2＝DF2， ∴t2+42＝（8﹣t）2， 解得t＝3． （3）如图，连接EG交BC于点O． ∵四边形BGFE是菱形， ∴EG⊥BC，OB＝OF． ∵四边形ABOE是矩形， ∴OB＝AE＝t． ∴， ∴， 解得． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27．（10分）【链接教材】 （1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分，正方形A1B1C1O可绕点O转动． 则下列结论正确的是 　①②③④　 （填序号即可）； ①△AEO≌△BFO；②OE＝OF；③四边形OEBF的面积总等于；④连接EF，总有AE2+CF2＝EF2． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形ABCD的对角线的交点O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）①将n个边长都为2cm的正方形按如图3所示的方法摆放，点A1，A2、…、An分别是正方形的对角线的交点，则2026个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 　2025　 cm2． ②如图4，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE＝4cm时，则CF的长度为 　或　 cm． 【答案】（1）①②③④； （2）AE2+CF2＝EF2，见解析； （3）①2025；②或． 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明△AEO≌△BFO于是得到OE＝OF即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得S△AOB＝正方形ABCD的面积＝，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形OEBF的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到BE＝CF，根据勾股定理得到AE2+CF2＝EF2，从而判定④正确． （2）连接AC，延长EO交CD于点G，先证明△AEO≌△CGO得到OG＝OE，AE＝CG，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； （3）①根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）阴影部分的和 ②仿照（2）的解题思路，分点E在AC上和CA的延长线上，两种情况求解即可． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴∠ABC＝∠AOB＝∠A′OC′＝90°；∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴AB＝BC，OA＝OB＝OC＝OD，正方形ABCD的面积＝AB2＝1， ∵∠AOE＝90°﹣∠EOB＝∠BOF，OA＝OB， ∴△AEO≌△BFO（SAS）， ∴OE＝OF， 故①②正确； 根据正方形的性质，得S△AOB＝正方形ABCD的面积＝， ∵△AEO≌△BFO， ∴S△AEO＝S△BFO，AE＝BF， ∴S△AEO+S△BEO＝S△BFO+S△BEO， ∴四边形OEBF的面积＝S△AOB＝正方形ABCD的面积＝， 故③正确； ∵AE＝BF，AB＝BC， ∴BE＝CF， 如图1，连接EF，在直角三角形BEF中，根据勾股定理得到BF2+BE2＝EF2， 故AE2+CF2＝EF2， 故④正确． 故答案为：①②③④； （2）连接AC，延长EO交CD于点G， ∵矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E， ∴∠DCF＝∠EOF＝90°；OA＝OC，AE∥CG， ∴∠EAO＝∠GCO， 在△AEO和△CGO中， ， ∴△AEO≌△CGO（ASA）， ∴OG＝OE，AE＝CG， ∵∠EOF＝90°， ∴直线OF是线段EG的垂直平分线， ∴EF＝FG， 由勾股定理，得CF2+CG2＝FG2， 故AE2+CF2＝EF2； （3）①作A1E⊥A2G于E，A1F⊥A2H于F．则∠FA1E＝∠HA1G＝90°， ∴∠FA1H＝∠GA1E， 在△A1HF和△A1GE中， ， ∴△A1HF≌△A1GE（ASA）， ∴四边形A2HA1G的面积＝四边形A1EA2F的面积＝×4＝1， 同理，各个重合部分的面积都是1， 则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为1（n﹣1）＝n﹣1， ∴2026个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：2026﹣1＝2025． 故答案为：2025； ②当点E在AC上时， 过点B作BM∥AC，交ED的延长线于点M，连接FM， ∵BM∥AC， ∴∠C+∠CBM＝180°；∠EAD＝∠MBD， ∵∠ADE＝∠BDM，AD＝BD， ∴△AED≌△BMD（ADA）， ∴∠CBM＝∠C＝90°， ∴ED＝DM，AE＝BM， ∵∠EDF＝90°， ∴直线DF是线段EM的垂直平分线， ∴EF＝FM， 如图1，由勾股定理，得BF2+BM2＝FM2， 故AE2+BF2＝EF2． ∵AC＝6cm，BC＝8cm，AE＝4cm， ∴CE＝2cm，AE＝BM＝4cm， 设CF＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm， ∴CE2+CF2＝BM2+BF2， ∴22+x2＝42+（8﹣x）2， ∴x＝， ∴EF＝＝（cm）； 当点E在CA的延长线上时， 过点B作BN∥AC，交ED的延长线于点N，连接FN ∵BN∥AC，∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠NBF＝90°，∠EAD＝∠NBD， 在△AED和△BND中， ， ∴△AED≌△BND（ASA）， ∴ED＝DN，AE＝BN， ∵∠EDF＝90°， ∴直线DF是线段EN的垂直平分线， ∴EF＝FN， 由勾股定理，得BF2+BN2＝FN2， 故AE2+BF2＝EF2． ∵AC＝6cm，BC＝8cm，AE＝4cm， ∴CE＝10cm，AE＝BN＝4cm， 设CF＝xcm，则BF＝（8+x）cm， ∴CE2+CF2＝BN2+BF2， ∴102+x2＝42+（8+x）2， ∴x＝， ∴EF＝＝（cm）； 故EF的长度为cm或cm， 故答案为：或． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $