2026年河南信阳市淮滨县王店乡第二初级中学等校初中学业水平考试考前预测数学

**基本信息** 以河南文化（龙门石窟）与现实问题（餐桌浪费、健康饮食、安检排队）为情境，通过动态几何、函数建模等综合题考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|数轴、三视图、科学记数法、概率|结合量角器与直尺考几何计算（第4题）| |填空题|5/15|众数、三角形内角、矩形平移|定义“等形点”考查四边形性质（第15题）| |解答题|8/75|圆的证明、函数应用、几何变换|安检排队函数模型构建（第22题）、矩形中动态直角三角形探究（第14题）|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年河南省初中学业水平考试 第三次适应性测试 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） ⒈如图，数轴上点A所表示的数的相反数为(　 　) A．－3 B．3 C．－ D． ⒉已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是(　 　) ⒊拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3 240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3 240万”这个数据用科学记数法表示为(　 　) A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108 ⒋如图，O是量角器的中心，直尺ABCD的一边BC与量角器的零刻度线重合，OQ与AD相交于点P.若量角器上显示∠COQ的读数为50°，则∠APQ的度数为(　 　) A．50° B．110° C．130° D．140° ⒌下列一元二次方程中，没有实数根的是(　 　) A．x2－x＋1＝0 B．x(x－1)＝0 C．x2＋12x＝0 D．x2＋x＝1 ⒍龙门石窟位于河南省洛阳市，是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”，位居中国各大石窟之首．某单位举办以“龙门石窟”为主题的摄影大赛，并准备了如图所示的四枚特种邮票《龙门石窟》作为奖品之一，获得第一名的参赛者可从中任选两枚．已知四枚邮票的面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．小李获得了第一名，他从这些邮票中随机抽取了两枚，则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率是(　 　) A． B． C． D． ⒎如图，在由边长为1的菱形组成的网格中，点A，B，C均为格点(网格线的交点)，已知每个菱形中较小的内角为60°，则的长为(　 　) A．π B．π C．π D．π ⒏如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，其中点O(0，0)，A(3，4)，C(8，0)，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交AB于点D，再将线段OD绕点O逆时针旋转90°得到线段OD′，则点D′的坐标为(　 　) A．(－4，4) B．(－4，4) C．(4，－4) D．(4，－4) ⒐如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿直线运动到菱形的中心，再从该点沿直线运动到顶点D.设点P的运动路径总长为x，＝y.图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则菱形ABCD的周长为(　 　) A．4 B．16 C．5 D．20 ⒑如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA上一个动点，连接BC，以BC为对称轴折叠△OBC得到△DBC，点O的对应点为点D，当点D落在上时，若OA＝2，则阴影部分的面积为(　 　) A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.请写出一个使代数式有意义的x的值 . ⒓小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩(单位：分)统计如下： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 成绩 97 98 100 98 99 99 98 第8次测试成绩为a分，若这8次成绩的众数不止一个，则a的值为 ． ⒔在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍(n为整数)，那么我们称这个三角形为n倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为 ． 14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将△BCD沿射线BD平移得△EGF(BE＜BD)，连接AE，AF，当△AEF是直角三角形时，平移的距离BE的长度为 ． ⒖我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的周长是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（10分）(1)计算：－4sin 60°＋(2 025－π)0＋|3－2|； (2)解不等式组： 17.（9分）为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学准备开展劳动教育实践活动．学校计划随机抽取部分学生，对他们进行问卷调查，问卷如下： 劳动教育实践活动的意向项目及 近一个月平均每天的劳动时长调查问卷 1.你希望学校开展的劳动教育实践项目是(　　)(必选，单选题) A．种植花草蔬菜　 B．房间的清洁与整理 C．烹饪 D．传统工艺制作 2.你近一个月平均每天的劳动时长是____min.(必填题，填一个数据) (1)下列抽取学生的方法最合适的是(　 　) A．从九年级随机抽取两个班的学生 B．从七、八、九年级各随机抽取若干名女生 C．从全校各个班级中各随机抽取若干名学生 (2)学校采用(1)中最合适的抽样方法进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图表(经核实，频数分布表中有个数据有误)： 意向项目扇形统计图 近一个月平均每天的劳动时长频数分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 时长 15≤x＜20 20≤x＜25 25≤x＜30 30≤x＜35 35≤x＜40 频数 6 12 15 21 6 所占百分比 10% m% 25% 30% 10% 根据以上信息，解答下列问题： ①填空：频数分布表中第 组对应的一个数据有误，应改为 . ②求样本中意向项目选择B项的人数． ③若该地教育部门倡议本地区中学生每天参加劳动的时间不少于30 min，请结合这次调查获得的数据给该中学提出一条合理化建议，并说明理由． 18.(9分)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BAC＝60°. (1)请用无刻度的直尺和圆规过点C作CD∥AB交⊙O于点D(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，连接BD，求证：BD＝CD. 19.(9分)如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴交于A，B两点，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过一次函数图象上一点C(2，3)． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出当x＞0时不等式kx＋b＞的解集 ； (3)若反比例函数y＝(x＞0)与一次函数y＝kx＋b的图象交于C，D两点，在图中用直尺与2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点C，点D； ②矩形的面积等于10. 20.(9分)我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面(阴影部分)如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径． (1)如图2，BA，CD的延长线交于圆心O，若甲组测得AB＝0.6 m，AD＝3 m，BC＝4 m，求OB的长． (2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得MN＝PQ＝0.5 m，NL＝LQ＝2 m，求该混凝土管片的外圆弧半径． 21.(10分)国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A，B两种食品，每份食品的质量为50 g，其核心营养素如下： 食品类别 能量(单位：Kcal) 蛋白质(单位：g) 脂肪(单位：g) 碳水化合物(单位：g) A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入1 280 Kcal能量和62 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共300 g，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g，且能量最低，应选用A，B两种食品各多少份？ 22.（10分）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数－已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝－x2＋60x＋100(0≤x≤30)． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为 ． 【模型应用】 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 23.（10分）综合与实践 (1)【提出问题】 如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，将PA绕点P顺时针旋转60°得到PQ，连接AQ，DQ，则∠ADQ的度数为 ； (2)【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，且BP＞DP，连接AP，将AP绕点P顺时针旋转90°得到PQ，连接AQ，DQ. ①求∠ADQ的度数； ②当BP＝BA＝2时，求DQ的长； (3)【迁移运用】 如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ADB＝30°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，以AP为边在AP的右边作Rt△APQ，且∠APQ＝90°，∠AQP＝30°，当点Q到BD的距离为时，请直接写出BP的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年河南省初中学业水平考试 第三次适应性测试 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） ⒈如图，数轴上点A所表示的数的相反数为(　A　) A．－3 B．3 C．－ D． ⒉已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是(　B　) ⒊拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3 240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3 240万”这个数据用科学记数法表示为(　C　) A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108 ⒋如图，O是量角器的中心，直尺ABCD的一边BC与量角器的零刻度线重合，OQ与AD相交于点P.若量角器上显示∠COQ的读数为50°，则∠APQ的度数为(　C　) A．50° B．110° C．130° D．140° ⒌下列一元二次方程中，没有实数根的是(　A　) A．x2－x＋1＝0 B．x(x－1)＝0 C．x2＋12x＝0 D．x2＋x＝1 ⒍龙门石窟位于河南省洛阳市，是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”，位居中国各大石窟之首．某单位举办以“龙门石窟”为主题的摄影大赛，并准备了如图所示的四枚特种邮票《龙门石窟》作为奖品之一，获得第一名的参赛者可从中任选两枚．已知四枚邮票的面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．小李获得了第一名，他从这些邮票中随机抽取了两枚，则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率是(　C　) A． B． C． D． ⒎如图，在由边长为1的菱形组成的网格中，点A，B，C均为格点(网格线的交点)，已知每个菱形中较小的内角为60°，则的长为(　A　) A．π B．π C．π D．π ⒏如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，其中点O(0，0)，A(3，4)，C(8，0)，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交AB于点D，再将线段OD绕点O逆时针旋转90°得到线段OD′，则点D′的坐标为(　A　) A．(－4，4) B．(－4，4) C．(4，－4) D．(4，－4) ⒐如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿直线运动到菱形的中心，再从该点沿直线运动到顶点D.设点P的运动路径总长为x，＝y.图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则菱形ABCD的周长为(　D　) A．4 B．16 C．5 D．20 ⒑如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA上一个动点，连接BC，以BC为对称轴折叠△OBC得到△DBC，点O的对应点为点D，当点D落在上时，若OA＝2，则阴影部分的面积为(　A　) A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.请写出一个使代数式有意义的x的值　x≠3（答案不唯一）　. ⒓小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩(单位：分)统计如下： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 成绩 97 98 100 98 99 99 98 第8次测试成绩为a分，若这8次成绩的众数不止一个，则a的值为__99__． ⒔在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍(n为整数)，那么我们称这个三角形为n倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为__30°或20°或18°或__． 14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将△BCD沿射线BD平移得△EGF(BE＜BD)，连接AE，AF，当△AEF是直角三角形时，平移的距离BE的长度为__或__． ⒖我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的周长是__8或6＋__． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（10分）(1)计算：－4sin 60°＋(2 025－π)0＋|3－2|； (2)解不等式组： 解：(1)原式＝3－4×＋1＋2－3 ＝3－2＋1＋2－3 ＝1. (2)解不等式①，得x≤3， 解不等式②，得x＞－2， ∴原不等式组的解集为－2＜x≤3. 17.（9分）为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学准备开展劳动教育实践活动．学校计划随机抽取部分学生，对他们进行问卷调查，问卷如下： 劳动教育实践活动的意向项目及 近一个月平均每天的劳动时长调查问卷 1.你希望学校开展的劳动教育实践项目是(　　)(必选，单选题) A．种植花草蔬菜　 B．房间的清洁与整理 C．烹饪 D．传统工艺制作 2.你近一个月平均每天的劳动时长是____min.(必填题，填一个数据) (1)下列抽取学生的方法最合适的是(　C　) A．从九年级随机抽取两个班的学生 B．从七、八、九年级各随机抽取若干名女生 C．从全校各个班级中各随机抽取若干名学生 (2)学校采用(1)中最合适的抽样方法进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图表(经核实，频数分布表中有个数据有误)： 意向项目扇形统计图 近一个月平均每天的劳动时长频数分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 时长 15≤x＜20 20≤x＜25 25≤x＜30 30≤x＜35 35≤x＜40 频数 6 12 15 21 6 所占百分比 10% m% 25% 30% 10% 根据以上信息，解答下列问题： ①填空：频数分布表中第__4__组对应的一个数据有误，应改为__35%__. ②求样本中意向项目选择B项的人数． ③若该地教育部门倡议本地区中学生每天参加劳动的时间不少于30 min，请结合这次调查获得的数据给该中学提出一条合理化建议，并说明理由． 解：(1)C (2)①4　35% ②60×(1－10%－30%－)＝27(人)． 答：样本中意向项目选择B项的人数为27人． ③建议学校多开展劳动教育，让学生养成积极劳动的好习惯． 理由：少于30 min的人数占比为1－(35%＋10%)＝55%，超过一半． 18.(9分)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BAC＝60°. (1)请用无刻度的直尺和圆规过点C作CD∥AB交⊙O于点D(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，连接BD，求证：BD＝CD. 解：(1)如图，CD即为所求作．(作法不唯一，合理即可) (2)证明：如图，连接BD. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝30°，∠BDC＝180°－∠BAC＝120°. ∵CD∥AB， ∴∠BCD＝∠ABC＝30°， ∴∠CBD＝180°－∠BDC－∠BCD＝30°， ∴∠BCD＝∠CBD， ∴BD＝CD. 19.(9分)如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴交于A，B两点，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过一次函数图象上一点C(2，3)． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出当x＞0时不等式kx＋b＞的解集__2＜x＜6__； (3)若反比例函数y＝(x＞0)与一次函数y＝kx＋b的图象交于C，D两点，在图中用直尺与2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点C，点D； ②矩形的面积等于10. 解：(1)∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点C(2，3)， ∴m＝2×3＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝. (2)2＜x＜6 (3)作图如下： 20.(9分)我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面(阴影部分)如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径． (1)如图2，BA，CD的延长线交于圆心O，若甲组测得AB＝0.6 m，AD＝3 m，BC＝4 m，求OB的长． (2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得MN＝PQ＝0.5 m，NL＝LQ＝2 m，求该混凝土管片的外圆弧半径． 解：(1)∵OA＝OD，OB＝OC， ∴∠OAD＝∠OBC， ∴△AOD∽△BOC， ∴＝＝. 设OB＝x m，则OA＝(x－0.6)m， ∴＝， 解得x＝2.4. 经检验，x＝2.4是原方程的根， 即OB＝2.4 m. (2)如图，设圆心为点O，连接OP，OM，OL，MP，OL与MP相交于点T，则∠OTM＝90°，MT＝NL＝2 m，TL＝MN＝0.5 m. 设外圆弧半径为r m，则OT＝(r－0.5)m. 在Rt△OMT中，由勾股定理，得OM2＝OT2＋MT2， 即r2＝(r－0.5)2＋22， 解得r＝4.25. 答：该混凝土管片的外圆弧半径为4.25 m. 21.(10分)国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A，B两种食品，每份食品的质量为50 g，其核心营养素如下： 食品类别 能量(单位：Kcal) 蛋白质(单位：g) 脂肪(单位：g) 碳水化合物(单位：g) A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入1 280 Kcal能量和62 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共300 g，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g，且能量最低，应选用A，B两种食品各多少份？ 解：(1)设应选用A种食品x份，B种食品y份． 根据题意，得 解得 答：应选用A种食品3份，B种食品2份． (2)设应选用A种食品m份，则选用B种食品＝(6－m)份． 根据题意，得12m＋13(6－m)≥76， 解得m≤2. 设每份午餐的能量为w Kcal， 则w＝240m＋280(6－m)＝－40m＋1 680. ∵－40＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝2时，w取得最小值， 此时，6－2＝4(份)． 答：应选用A种食品2份，B种食品4份． 22.（10分）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数－已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝－x2＋60x＋100(0≤x≤30)． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为__18x__，排队人数w与安检时间x的函数关系式为__w＝－x2＋42x＋100__． 【模型应用】 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 解：(1)18x　w＝－x2＋42x＋100 (2)w＝－x2＋42x＋100＝－(x－21)2＋541， ∴当x＝21时，w最大＝541. 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人． (3)设开设m条通道，则w＝y－6mx＝－x2＋60x＋100－6mx＝－x2＋6(10－m)x＋100， ∴对称轴为x＝3(10－m)． ∵排队人数在安检开始10分钟内(包括10分钟)减少， ∴0≤3(10－m)≤10，解得≤m≤10. 又∵最多开放9条， ∴≤m≤9. ∵m为正整数， ∴m最小值为7， ∴可开设7条安检通道． 23.（10分）综合与实践 (1)【提出问题】 如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，将PA绕点P顺时针旋转60°得到PQ，连接AQ，DQ，则∠ADQ的度数为__60°__； (2)【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，且BP＞DP，连接AP，将AP绕点P顺时针旋转90°得到PQ，连接AQ，DQ. ①求∠ADQ的度数； ②当BP＝BA＝2时，求DQ的长； (3)【迁移运用】 如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ADB＝30°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，以AP为边在AP的右边作Rt△APQ，且∠APQ＝90°，∠AQP＝30°，当点Q到BD的距离为时，请直接写出BP的长． 解：(1)60° (2)①如图1，过点A作AE⊥BD于点E. ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴∠ADE＝45°，即△ADE为等腰直角三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝45°. 由旋转可知△APQ是等腰直角三角形， ∴AQ＝AP，∠PAQ＝45°， ∴＝＝，∠PAE＝∠QAD＝45°－∠DAP， ∴△APE∽△AQD， ∴∠ADQ＝∠AEP＝90°. ②在Rt△ABE中，BE＝AB·cos 45°＝， ∴PE＝BP－BE＝2－. 由(2)①知△APE∽△AQD， ∴＝＝， ∴DQ＝PE＝2－2. (3)BP的长为2＋或2－. 【提示】可分为两种情况讨论如下： 第一种：当点Q在BD上方时，如图2，过点A作AL⊥BD于点L，过点Q作QK⊥BD，交BD的延长线于点K，则QK＝. 在Rt△APQ中，∠AQP＝30°， ∴＝. ∵∠ADB＝30°， ∴∠ABD＝60°. 在Rt△ABL中，BL＝AB·cos 60°＝2. ∵∠APQ＝∠ALP＝∠QKP＝90°， ∴∠APL＋∠PAL＝∠APL＋∠QPK＝90°， ∴∠PAL＝∠QPK， ∴△QPK∽△PAL， ∴＝＝， ∴PL＝＝， ∴BP＝BL＋PL＝2＋. 第二种：当点Q在BD下方时，如图3. 同理可得PL＝， ∴BP＝BL－PL＝2－. 综上，BP的长为2＋或2－. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $