精品解析：上海市市西中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

市西中学高一期中数学试卷 一．填空题 1. 2026°是第___________象限角 【答案】三 【解析】 【详解】，所以为第三象限角 2. 函数的最小正周期为______. 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用三角函数周期公式计算得到答案. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角函数周期，属于简单题. 3. 已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 【答案】 【解析】 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径， 则该扇形的弧长为 4. 若，则___________ 【答案】 【解析】 【详解】，所以 5. 函数的严格增区间是____. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切型函数的图象与性质，得到，即可求解. 【详解】由题意，函数，令， 解得， 即函数的递增区间为. 故答案为：. 6. 若角满足，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】. 故答案为：4. 7. 若数列的前项和为，则通项公式___________ 【答案】 【解析】 【详解】当，， 当时，，符合上式， 所以 8. 已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的最小正值是___________ 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，，其图象关于轴对称， 则，得， 故的最小正值是. 9. 已知数列满足且，则数列的前1001项的和是___________ 【答案】499 【解析】 【详解】因为，所以， ，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 所以， 所以 10. 已知，若函数在区间上恰好取得一次最大值1和一次最小值-1，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 函数在区间上恰好取得一次最大值1和一次最小值-1， 因为，所以内最小值点与最大值点分别是， 所以，解得， 所以的取值范围是 11. 如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，进而可得点坐标，再根据条件列式，利用三角公式是计算可得答案. 【详解】设， 其中， 则， 于是． 因为是中点， 所以， 即或，又因为， 所以，即点的纵坐标是. 故答案为：. 12. 设且，已知函数，若对任意，恒成立，则满足条件的常数的个数是___________ 【答案】1519 【解析】 【分析】由题可知当且仅当且时，不成立，再求出使与能同时成立的个数，从的总数中减去此个数即可求解． 【详解】， 当且仅当且时，不成立， 当时，解得， 当，， 又要使，，需取这样的整数， 又，所以可取共个， 则满足条件的常数的个数是． 二．选择题 13. 在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化及“大角对大边”及“大边对大角”性质可得. 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得：，即，. 充分性验证： 若，由大角对大边得，即，所以充分性成立. 必要性验证：若，则，即，由大边对大角得，所以必要性成立. 因此“”是“” 的充要条件. 14. 等比数列满足且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 由等比数列性质可知， 所以，. 15. 在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，确定点的轨迹图形，结合图象可求得线段所形成图形的面积. 【详解】因为，所以点在单位圆上， 由于，， 所以，是其与轴正方向的有向角为， ，则， 记点，，所以，点的轨迹是劣弧， 所以，动线段所形成图形为阴影部分区域， 因为，因此，阴影部分区域的面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查动线段运动轨迹图形的面积，解题的关键在于确定动点的轨迹图形，数形结合求出图形的面积. 16. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在锐角三角形中，，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，现有两个命题： ①； ②的取值范围是． 则下列论断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题． 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，根据题意，任意两半圆弧上的两点间距离的最大值为即可判断；对于②，设，则，利用基本不等式即可得到，结合锐角三角形，得到，进而得到即可求解． 【详解】对于①，如图，设分别为中点，连接并延长交圆弧于， ， 半圆与半圆上两点间距离的最大值为， 同理可得任意两半圆弧上的两点间距离的最大值为， 即， 故①是真命题； 设，则，， 由①知， 又， （当且仅当时取等，此时为等腰三角形，也是锐角三角形）， 又为锐角三角形，， 一定有一个大于1，不妨取，则角最大， ， 即，，解得， 又，，则，， ， 又，则， ， ， ， 综上，， ，故②正确． 三．解答题 17. 在平面直角坐标系中，设单位圆的圆心为坐标原点，锐角和锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，已知的终边与单位圆交点的横坐标为的终边与单位圆交点的纵坐标为． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由三角函数的定义及同角三角函数基本关系式可得； （2）由同角三角函数基本关系式得正切值，再由二倍的正切公式及两角和的正切公式可得所求值. 【小问1详解】 根据单位圆的三角函数定义：任意角的终边与单位圆交点坐标为. 因为是锐角，其终边与单位圆交点横坐标为，因此， 由同角三角函数平方关系： .​​  因为是锐角，其终边与单位圆交点纵坐标为，因此， 同理得： . 综上所述，， 【小问2详解】 因为，，所以， 再由二倍角正切公式， 又因为，，所以. 所以. 18. 如图，在三角形中，点在线段上（异于和）． （1）设，证明：； （2）若，为的中点，交于点，设（），求的值． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算进行证明； （2）利用（1）的结论及三点共线充要条件进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 因为为的中点， ， 所以，， 所以，即， 因为三点共线，所以，所以 19. 如图，某大型商场一楼大厅的局部是等腰直角三角形，商场管理部门拟用围栏在其中围出一个三角形区域，供商家开展促销活动．已知（米），分别在上，为的中点，，当． （1）当时，求三角形的周长；（精确到0.01米） （2）用表示三角形的面积，并求的最小值．（精确到0.01平方米） 【答案】（1）40.22米 （2），．最小值为46.41平方米 【解析】 【分析】（1）利用正余弦定理解三角形； （2）根据正弦定理表示出进而表示出三角形面积，根据角的范围结合正弦型函数的性质求解. 【小问1详解】 因为，所以， 在中，，所以， 在中，， 所以三角形的周长为米； 【小问2详解】 由题意，且， 在三角形中，由正弦定理得，即， 在三角形中，由正弦定理得，即， 则三角形的面积为， 即，又，即， 所以当，即时，取得最小值，为， 则区域面积的最小值为46.41平方米，对应的值为． 20. 设等差数列的公差为且，记数列的前项和分别为． （1）若，求的值； （2）若，证明：对任意，数列都不是等比数列； （3）若数列是等差数列，且，求的值． 【答案】（1）3 （2） 由，得等差数列通项：，因此． 假设数列是等比数列，则对任意正整数，都满足（为公比）， 代入得： 约去整理得： 展开后对比等式两边同次幂系数： 二次项系数：，因，得； 一次项系数：，得，与条件矛盾，故假设不成立 所以对任意，数列都不是等比数列； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式和前项和公式进行计算； （2）写出的通项公式，再求出，利用反证法，根据等比数列的定义进行证明； （3）先利用等差数列中项求出与的关系，再利用等差数列前项和性质，结合已知条件求解. 【小问1详解】 ，所以，所以， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 为等差数列， ，即， ，即，解得或． ． 又，由等差数列的性质知，， 即 ，即，解得或（舍） 当时，，解得，与矛盾，舍去； 当时，，解得，符合题意． 综上，． 21. 已知函数的定义域为，点在函数的图象上，若满足，则称为函数的点，函数的所有点组成的集合称为函数的集． （1）设，分别判断和是否为函数的点（不必说明理由）； （2）设，记函数的集为，求； （3）设，且存在，使得函数的集为，求的最大值． 【答案】（1）是点；是点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的定义计算即可； （2）结合以及余弦函数的性质化简即可； （3）令，将问题转化为对于任意，，分、、三种情况，结合正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则，故是点；是点． 【小问2详解】 由题意知，， 因为，所以． 又因为，所以，所以恒成立． 故. 【小问3详解】 由题意，对于任意，都有． 令，则对于任意，， 若，则对于任意恒成立， 因为，所以， 则，则； 若，则对于任意恒成立， 因为，所以，则， 则，则； 若，则恒成立， 若，则取，此时对于任意，恒成立， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市西中学高一期中数学试卷 一．填空题 1. 2026°是第___________象限角 2. 函数的最小正周期为______. 3. 已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 4. 若，则___________ 5. 函数的严格增区间是____. 6. 若角满足，则__________． 7. 若数列的前项和为，则通项公式___________ 8. 已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的最小正值是___________ 9. 已知数列满足且，则数列的前1001项的和是___________ 10. 已知，若函数在区间上恰好取得一次最大值1和一次最小值-1，则的取值范围是___________ 11. 如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是__________． 12. 设且，已知函数，若对任意，恒成立，则满足条件的常数的个数是___________ 二．选择题 13. 在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 等比数列满足且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 15. 在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（ ） A. B. C. D. 16. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在锐角三角形中，，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，现有两个命题： ①； ②的取值范围是． 则下列论断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题． 三．解答题 17. 在平面直角坐标系中，设单位圆的圆心为坐标原点，锐角和锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，已知的终边与单位圆交点的横坐标为的终边与单位圆交点的纵坐标为． （1）求和的值； （2）求的值． 18. 如图，在三角形中，点在线段上（异于和）． （1）设，证明：； （2）若，为的中点，交于点，设（），求的值． 19. 如图，某大型商场一楼大厅的局部是等腰直角三角形，商场管理部门拟用围栏在其中围出一个三角形区域，供商家开展促销活动．已知（米），分别在上，为的中点，，当． （1）当时，求三角形的周长；（精确到0.01米） （2）用表示三角形的面积，并求的最小值．（精确到0.01平方米） 20. 设等差数列的公差为且，记数列的前项和分别为． （1）若，求的值； （2）若，证明：对任意，数列都不是等比数列； （3）若数列是等差数列，且，求的值． 21. 已知函数的定义域为，点在函数的图象上，若满足，则称为函数的点，函数的所有点组成的集合称为函数的集． （1）设，分别判断和是否为函数的点（不必说明理由）； （2）设，记函数的集为，求； （3）设，且存在，使得函数的集为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $