山东淄博市临淄区2025-2026学年度第二学期期中考试九年级数学试题

2025—2026学年度第二学期期中考试 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，·考试时间120分钟. 阚 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写 在答题卡和试卷规定位置。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改 热 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 吹 3、非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题 鞭 目指定区域内：如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案。严禁使用涂改液、胶带 纸、修正带修改。 哭 4、保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。 5.评分以答题卡上的答案为依据。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4 分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分) K 1.下列算式中，运算结果为负数的是 拟 A.--2026 B.（-2026)2 C.-(-2026) D.20262 2. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图，是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面 K 是圆锥体)，从前面观察这个物体，得到的平面图形是 翰 从前面看 禁 (第2题图) (第3题图) 御 3.石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标 注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长d=0.0000000142cm.将0.0000000142用科学 记数法表示为 A.1.42×10 B.1.42×10-7 C.1.42×10- D.1.42x109 初四数学第1页（共8页) 一下列运算结果正确的是 Λ.x2.x23= B.（-2x2=6x C.(a-b)2=a2-b7 D.（a+2)(a-2)=a2-4 5.一位头“运动鞋”的经销商到一所学校对200名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商 最感兴趣的是这组鞋号的 A.众数 B.平均数 C.中位数 D.方差 6.如图，在△4BC中，∠B=45°，∠ACB=25°，将△ABC绕点C顺时针旋转n度(0<n<180)》 得到△EDC,若CE∥AB,则n的值为 A.90 B.95 C.110 D.120 D B E D (第6题图) (第7题图) (第9题图) ·如图，扇形纸片AOB的半径为6，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在弧AB的C处， 图中阴影部分的面积为 A.12r-18V3 B.12π-165 C.18x-163 D.18x-18V5 8。关于反比例函数y一子，下列说法中错误的是 A.它的图象分布在一、三象限 B.当x>0时，y的值随x的增大而减小 C.当x>一1时，y<-3 D.若点(a,b)在它的图象上，则(b,a)也在图象上 9如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的D处，折痕为EF,点E,F 分别在4C和BC上。若4C=6,AD=2,则CE为 A B C. D. 5 6 初四数学第2页（共8页） 10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,B分别在x轴，y轴上，去为正 方形对角线的交点，反比例函数y=(x>0)的图象经过 点C,E,若点D在函数y=二的图象上，则k的值是 A.5 B.3 C.25 D.4 0 二、填空题（每小题4分，共20分） (第10题图) 11.分解因式：4a2b+2ab2= 12.一个函数过点（1,3)，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解板 式 13.某学校数学兴趣小组组织了一次测桥牧高度的活动。如图，桥敬AB刚好在坡度为= I:√万的斜坡BC边上，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥暾最高点A的仰角为30°， CD平行于水平线BE,CD长为16√5米，则桥嫩AB的高度为 米。 C 30 C E (第13题图) (第15题图) 14.设a,b为一元二次方程x-x-2025=0的两个实数根，则a-a?+a+2026b的值 为 15.如图，C为线段AB外一点，连接AC,BC,AB=4,∠C=30°，在边BC上有一点P, 满足BP-4C,连接，则4P的最小值为】 三、解答题（第16,17,18,19题每题10分；第20,21题每题12分，第22,23题每题13 分；满分90分)解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本题满分10分) 1)计第：-回+ +(饮-2026°-2mn60:(2)化简： r+2x+2. 一一…。·m(北8页) 17.(本题满分10分) 如图，在△ABC和△DEF中，点C,F,B,E在同一条直线上，若∠C=∠DFE,AC =DF,请从以下三个选项：①CF=BE:②AB=DE:③∠ABC=∠DEF中选择一个合适 的选项作为补充条件，使得△ABC≌△DEF。 (1)你选择的补充条件是 (填序号)： (2)根据你选择的补充条件，写出△ABC≌△DEF的证明过程。 (第17题图) 18.（本题满分10分) 对于任意实数a,b,定义一种新运算：a⊙b=ab一2b,例如：3⊙1=3×1一2×1=1， 根据上面的材料，请完成下列问题： (1)若(3x一1)⊙(-1)=0，求x: 1 x⊙-s1 (2)解不等式组 2 ，并在数轴上表示出它的解集。 (-2)o1-x)>0 19.(本题满分10分) 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技”为主题的活动。 下面是该校某调查小组对活动中模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题。 模型设计水平调查报告 调查 “逐梦科技”活动中模型设计水平 主题 调查 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形 目的 成数据观念，发展应用意识。 调查 某校学生模型设计成绩 调查方式 抽样调查 对象 随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成缋为百分制，用x表示)，并整 理，将其分成如下四组： A:60≤x<70,B:70≤x<80,C:80≤x<90,D:90≤≤100。 下面给出了部分信息： 数据 其中C组的成绩为：80,81,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86， 收集 86,87,87,88,88,89,89,89。 与表 模型设计成绩的颜数分布直方图 模型设计成绩的扇形统计图 4人数（频数） 示 25 0 D A 20% B 5 5 30% 成绩/分 (第19题图) 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了 名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是 分， 数据 在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 分析 (2)请补全频数分布直方图： 与应 (3)请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数： 用 (4)学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名 同学作经验交流.请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的 概率。 20.（本题满分12分) 某学校开设了智能机器人编程的校本课程。学校购买了A,B两种型号的机器人模型， A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多120元，用4800元购买A型机器人模型的 数量与用3000元购买B型机器人模型的数量相同。 (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数 量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 21.（本题满分12分) 【问题背景】 如图所示，某数学兴趣小组在探究图形变换时，将一张矩形纸片ABCD沿对角线AC 剪开，得到两个直角三角形为△ABC和△ADC,AD=3,AB=4,接着，他们将△4BC沿 着AD方向（即向右）平移，得到△A'B'C。平移过程中，△AB'C与原来的△ADC有一 部分重叠，重叠部分是一个四边形A'ECF,其中，A'B交AC于点E,A'C交CD于点F, 【观察猜想】 （1)在平移过程中，线段A'E与C℉的长度有什么关系？请写出你的猜想，并说明理 由： 【特例研究】 (2)在平移过程中，当重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距离AA'。 【深入探究】 (3)在平移过程中，四边形AECF的面积如何变化？是否存在最大值？若存在，请 求出，若不存在，请说明理由。 B (第21题图) 初四数学第6页（共8页） 22.（本题满分13分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一x2+bx+c与x轴相交于A,B(1,0)两点， 与y轴相交于点C(0,3)。 (1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标： (2)点E为抛物线上第二象限内一点，连结OE,与直线AC交于点万，求 的最大 OR 值： (3)平移抛物线，使得新抛物线的顶点P(m,n)（m<一1)还在原抛物线y=一x2+bx+c 上，直线x=一1与新抛物线交于点0，连结PD,Pg,且∠PDQ=}∠DPO。 ①求证：△POD为等腰三角形： ②求点P的坐标。 y y D D E A 备用图 (第22题图) 23.（本题满分13分) 在△ABC中，D为边AC上一点，经过B,C,D三点作圆交边AB于点E,将△ABC 沿DE进行折叠，点A与点B恰好重合，连结CE。 D G E E B 图1 图2 图3 (第23题图) (1)如图1，求证：∠ABC=∠ACE+∠CED: (2)如图2，以点E为圆心，DE的长为半径画弧，分别交AE,CE于点M,N,再 以点M,N为圆心，大于号MW的长为半径画弧，两孤交于点下，作射线ER,交AC于点 G,求证：EG为圆的切线： (3)如图3，连接BD交CE于点P。 ①若an∠4CB=2,BE=2,求BC的长： ②设tanZACE-=k,记△DCP的面积为S,△BCP的面积为5，求。的值（用含K的 代数式表示)。 初四数学第8页（共8页） 2025一2026学年度第二学期期中考试 初四数学试题参考答案 友情提示：解题方法只要正确，可参照得分. 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的 选项填在下面的表中.每小题4分，满分40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记 0分.) 题号 2 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D A A C B D 二、填空题（每小题4分，共20分) 11.2ab(2a+b);12.y=x+2(答案个唯；1364：142026；15.25-2。 三、解答题（第16,17,18,19题每题10分；第20,21题每题12分，第22,23题每题13 分；满分90分)解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16(本题满分10分) 解：)(a)-2+ +(元-2026)°-2tan60° =25-1+2+1-2√5 =2; .5分 (2)x2 -x+2 x+2 =+(-x+2)0x+2) x+2 =x2+4-x2 x+2 4 x+2 10分 17.（本题满分10分) 解：（1)选①或③；.3分 （2)若选①， 证明：CF=BE, CF+BF=BE+BF,即BC=EF,5分 初四数学答案第1页（共9页） 在△ABC和△DEF中， AC=DF ∠C=∠DFE, BC=EF ∴.△ABC≌△DEF;...10分 若选③， 证明：在△ABC和△DEF中， ∠ABC=∠DEF ∠C=∠DFE, AC=DF ∴.△ABC≌△DEF;。 18.(本题满分10分) 解：(1)(3x-1)（-1)=0,.2分 .(3x-1)(-1)-2(-1)=0, x=1...4分 (2) (-2)(1-)>0 化简得 -1s10 ，6分 -2(1-x)-21-x)>0② 解不等式①得：x≤4， 解不等式②得：x>1, 把x≤4和x>1在数轴上表示为： …8分 -10123451 .原不等式组的解集为：1<x≤4.10分 19.（本题满分10分) 解：(1).10÷20%=50 .本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， ∴.B组学生人数为50×30%=15人， 初四数学答案第2页（共9页） ,·成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， 中位数= 83+84 =83.5分， 20 C组对应圆心角的度数为360°× =144°；.3分 50 (2)补全频数分布直方图如下： 模型设计成绩的频数分布直方图 A人数（频数） 25 20 20 15 0 .5分 10 5 0 B C D 成绩/分 (3)1200× 20+10=720, 50 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人；7分 (4)画树状图如下： 开始 丙 个八 个N 个 乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为 2-1 126 ...10分 20.(本题满分12分) 解：(1)设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为(x+150)元， 由题意可得 38003000 x+120x .4分 解得x=200, 经检验，x=200是原方程的解且符合题意， ..x+120=320, 答：A型机器人模型的单价为是320元，B型机器人模型的单价为是200元；.6分 (2)设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型(40一m)台， 由题意可得：40一m≤2m 初四数学答案第3页（共9页） 解得m≥40 3 -≤m≤40 .10分 又.m为正整数， .购买A型机器人模型至少为14台。..12分 21.(本题满分12分) 解：(1)A'E与CF的长度相等。1分 理由如下： .四边形ABCD是矩形， .AB∥CD, ∴.由平移可得，AB'∥CD,A'C'∥AC, A ∴.四边形A'ECF是平行四边形， ..AE=CF .4分 (2)解：在矩形ABCD中，AD=3,AB=4, ,AD=3,CD=4,∠ADC=90°， B AC=√AD2+CD2=V32+42=5' 设AA'=3a, 4 在Rt△AA'E中，tanA= 3 ∴.A'E=4a, ∴.AE=5a, ∴.CE=5-5a, .6分 ,四边形A'ECF为菱形， ∴.A'E=EC, 4a=5-5a,即a= 9 5 :移动的距离AM= .8分 (3)在平移过程中，四边形A'ECF的面积先变大再变小； 存在最大值： .10分 初四数学答案第4页（共9页) 设AA=x,则A'D=3-x,AE=4x Sag-D) 当x=2时，S4Bcr最大值为3。 2 12分 22.(本题满分13分) 解：(1)解：依题意，分别把B（1,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c, 0=-1+b+c 〔b=-2 得 解得 3=c (c=3, ∴.抛物线解析式为y=-x2-2x+3,.2分 顶点D（-1,4)。 ..3分 (2)解：过点E作x轴的垂线，与AC交于点G, ,抛物线解析式为y=-x2-2x+3, ∴.A（-3,0),B（1,0),C(0,3), 设AC的解析式为y=a+n（k≠0)， .A（-3,0),C(0,3), G 8e n=3 解得 k=1’ .AC的解析式为y=x+3, .△EFG∽△OFC, 5分 :F、EG ·OFOC 设Et,-2-2t+3,则G(t,什3)， 初四数学答案第5页（共9页) --r-a+-0+=+0=0++ OF 3 OF的最大值为 ..7分 (3)解：①存在，过程如下： 设平移后抛物线的解析式为y=-(x-m)+n, ,点P(m,n)在y=-x2-2x+3上， .-H .yp=n=-m2-2m+3, 8分 将x=-1代入y=-(x-m)2+n中， .yg=-(-1-m)2+n=-m2-2m-1+n=-2m2-4m+2,9分 又D(-1,4), p=+ 3 .△POD是等腰三角形。10分 ②过点P作DQ的垂线，垂足为点H, ∠PD0-4∠DP0 .∠PD0=30°，11分 在Rt△PDH中，tan∠PDH=PH DH -1-m .'tan30 4-(-m2-2m+3) ’12分 :51+m H 3(m+1)2 又.m<-1, ∴.m=-5-1, ∴.P(-√3-1,1)。13分 初四数学答案第6页（共9页） 23.(本题满分13分) 解：(1)，点B,C,D,E在同一个圆上， ∴.∠ADE=∠ABC, 又，'∠ADE=∠CED+∠DCE, .∴.∠ABC=∠CED+∠DCE。 .3分 (2)连接BD,取BD中点为O,连接OE, ,△BDE与△ADE关于直线DE对称，点A与点B恰好重合， .∠A=∠ABD,DE⊥AB BD为圆的直径，点O为圆心， D 又，∠ABD=∠ACE, G 、O ∴.∠A=∠ACE, M ∴.△ACE为等腰三角形， ..5分 图2 由作图过程可知，EF平分∠AEC,则∠AEG=∠CEG, ∴.EG⊥AC, 点O,E分别为BD,AB的中点， ∴.OE∥AC, ∴.OE⊥EG, .EG为圆的切线。 .7分 (3)解：①△BDE与△ADE关于直线DE对称，点A与点B重合， ∴AE=BE=2,DE⊥AB, .BD为圆的直径， O .∠ABD=∠ACE, G.tonZABD=, B 图3 .DE=1, 8分 .BD=AD=√5， .∠ACE=∠ABD,∠EAC=∠DAB, .∴.△ACE∽△ABD, 9分 AE、AC AD AB' 初四数学答案第7页（共9页） 2=5+CD 5 4 CD=35 在R△8CD中，由勾股定理得BC=BD2-CD2=5y-35)=5-9_16, 55 BC=45 5 .10分 ②设BE=m,m>0, 在Rt△BED中 ,'tan∠DBE=tan∠ACE=k, .'DE=mk, .BD=m2+(km)2 =mk2+1, D 取BD的中点为O,连接OE, B 由①问知，BD为⊙O的直径， 图3 ·OE=BD=mV2+1, 2 .'∠POE=2∠DCE,∠PEB=∠A+∠ACE=2∠DCE, .∠POE=∠PEB, 又.'∠EPO=∠BPE ∴.△POE∽△PEB, ..11分 .S POE OE 2 mvk2+1 k2+1 SPEB EB 2m 4, 设△PBE的面积为S,则SpOE= 2+1S, 4 Soc=9+15=3- -S, 4 4 1 在Rt△BED中，SBED= mmk= 2 2, 初四数学答案第8页（共9页） S00E =1 m2k S BED= 4 3-k2 S=mik, 4 4 .S=m2k 3-k2 .12 S osr=S OED-S=mkmik mik(1-k2) 23-k2-2(3-k2） m2k1-k2) .S DEP = 23-k2)m2k1-k2)3-k21-k2 S PEB m-k 23-k2）m2k2 3-k2 又S迎=S 受的值为 2.13分 注： S POE.k2+1 必 S PEB 4得到OP:BP,再获得DP,BP,然后求得面积比会简化运算。 初四数学答案第9页（共9页）