期中培优：平面向量与三角恒等变换综合、解三角形与三角恒等变换综合 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第二册

期中培优：平面向量与三角恒等变换综合、解三角形与三角恒等变换综合专项训练 期中培优：平面向量与三角恒等变换综合、解三角形与三角恒等变换综合专项训练 考点目录 平面向量与三角恒等变换综合 解三角形与三角恒等变换综合 考点一 平面向量与三角恒等变换综合 例1．（25-26高一下·四川成都·期中）设向量，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据数量积公式计算，再利用三角恒等变换化简求值. 【详解】 . 例2．（2026·山东日照·一模）若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量数量积的坐标运算公式得，再代入余弦的倍角公式即得. 【详解】因为，所以， 所以. 例3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考·多选）已知为的垂心，角，，所对的边分别为，，，且，，则一定有（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】由两角和的正弦公式化简计算可判断A；连接交与点，由向量数量积的几何意义、余弦定理及基本不等式计算可判断B；若为的重心，则，结合题意可判断C；由两角差余弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简可得，结合正弦函数性质计算可得，结合B选项可判断D， 【详解】对于A，在中，，则， 所以， 所以，即， 因为，所以，则，，故A正确； 对于B，因为为的垂心， 连接交于点，则， 由向量数量积的几何意义可知， 在中，，所以， 由余弦定理可得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，故B正确； 对于C，当为的重心时，此时为边的中点， ， 当为等边三角形时，的重心与垂心重合，成立， 若不是等边三角形，则不成立，故C错误； 对于D，因为，则，， 所以可化为， 化简可得，即， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以为等边三角形，结合B选项可知，故D正确. 例4．（24-25高一下·江苏镇江·期中·多选）已知，，则下列命题正确的有（    ） A． B．若，则与共线 C．若，则 D．的最大值为3 【答案】ABD 【分析】计算其模，即可判断A；求出，从而得到，即可判断B；求出，即可求出，从而判断C；表示出，再根据向量模的坐标表示，三角恒等变换公式及三角函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为，， 所以，，所以，故A正确； 对于B：当时， ，则，所以与共线，故B正确； 对于C：当时，，则， 所以不成立，故C错误； 对于D：因为， 所以 ，所以当， 即时取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：ABD 例5．（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，若为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【分析】向量夹角为锐角，等价于这两个非零向量的数量积大于，且不同向，先求，再利用辅助角公式把式子化成三角函数不等式，再求同向，最后结合求出范围. 【详解】因为为锐角，所以且， 当时，不同向， 又 将其化为辅助角形式： 于是即 由，得 在这个范围内，所以 两边同时加上，可得 当同向时，，， 又，则，故当不同向时，， 因此且. 例6．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知平面向量，，，其中．则的充要条件为______． 【答案】2 【分析】根据向量垂直的充要条件及向量运算的坐标表示，结合两角和的正、余弦公式及同角三角函数关系式可得. 【详解】由题可知，，， 显然，不能同时为0，不能同时为0， 所以. 由 ，可得； 由，可得，即得． 故的充要条件为. 变式1．（2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线、辅助角公式可得，结合的范围即可求解. 【详解】因为在中，点为边上一点，已知， 所以，即， 而，所以，解得. 故选：A. 变式2．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标运算法则求，结合向量平行坐标表示列方程可得，化简求，再结合二倍角正切公式求结论. 【详解】因为，， 所以，又，， 所以， 若，则，与矛盾，故， 所以， 所以， 故选：D. 变式3．（25-26高一下·西藏拉萨·月考·多选）已知向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则向量的一个单位向量是 B．若，则 C．设函数，则的最大值为2 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 【答案】ACD 【分析】A项，即向量的一个单位向量；B项，由向量垂直得数量积为，根据坐标表示可求解，验证是否满足即可；C项，数量积运算可得，根据整体角的范围与正弦函数的图象可得最值；D项，将投影向量用两种坐标表示建立方程，求解两向量夹角即可. 【详解】A项，若，则，， 则是向量的一个单位向量，故A正确； B项，因为，，， 若，则， 则，代入， 得，则， 当时，则， 这与矛盾，故B错误； C项，函数， 因为，则， 所以当，即时，函数最大值为，故C正确； D项，由，得，即 则有，则, 则，与方向相同的单位向量，且， 设与的夹角为，则在上的投影向量， 又因为在上的投影向量为，即， 所以，即，由两向量夹角， 则，故D正确. 故选：ACD. 变式4．（25-26高一下·河南濮阳·月考·多选）已知向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，则的最大值为2 C．的最大值为 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 【答案】ABD 【分析】根据判断A，由数量积的坐标表示及辅助角公式判断B，根据向量模的坐标表示及辅助角公式判断C，根据投影向量的定义及夹角公式判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，故A正确； 对于B：， 所以当，即时取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C：因为， 所以， 所以当时取得最大值，最大值为，故C错误； 对于D：在上的投影向量为，所以， 所以， 又，所以，此时，故D正确. 故选：ABD 变式5．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知向量，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示、三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 所以当，即时取得最大值，且. 故答案为： 变式6．（25-26高一下·江苏·月考）设向量，且，则________；＝________. 【答案】 / 【分析】利用向量坐标运算得到方程组，利用和角的三角公式展开化简后即可求出的值，再运用二倍角公式与和角公式化简所求式，最后化弦为切即得. 【详解】由题意，， 化简得， 由； 则 故答案为：；. 考点二 解三角形与三角恒等变换综合 例1．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且的外接圆半径为1，求的面积； (3)若为边上一点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和正弦公式、同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可； （2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可； （3）根据正弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又，则， 所以， 即，又，则， 所以， 所以，由，得； （2）由，得， 由，得，可得， 所以． （3）因为， 所以， 在中，由正弦定理得，所以， 又在中，， 所以 ， 因为，所以， 当即时，的最大值为． 例2．（2026·陕西咸阳·三模）已知的内角所对的边分别是，且． (1)求； (2)若的周长为，外接圆的周长为，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理、余弦定理及三角形内角关系计算求解； （2）根据已知条件，结合正弦定理及三角形内角关系、和角公式求出及，再利用坐标法求． 【详解】（1）已知，， 则①， 由正弦定理， 代入①化简得， 由余弦定理知， ， ． （2）已知外接圆的周长为，则，解得， 由正弦定理得， 周长为，即， ， 又， 由正弦定理得， 则， 展开得，即 ， ， ，则A为锐角，， ，， ， ， 而，故在的延长线上， 以为原点建立如图所示的坐标系， 则， 角，故，， ，， ， ， ， ． 例3．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，结合三角形内角范围即可求得； （2）将代入题设条件，利用辅助角公式，解出，进而推得，再使用余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 即， 因， 代入可得 ，，则，即， 又，. （2）由（1）知，，即， 可得， 即，即， ，所以，解得，则，所以， 由余弦定理得，，解得，则， 所以的面积为. 例4．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知锐角三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角差的正弦公式 （2）根据锐角三角形的性质，结合两角和的正弦公式、二倍角公式进行求解即可. 【详解】（1）由与正弦定理可得：， 由可得：， 整理得：，即， 由题：，故有，即. （2）由（1）可知：，， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 由正弦定理可得： ， 由可得，故； 变式1．（25-26高一下·云南昭通·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足：，且. (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）法一，先利用三角形内角和与诱导公式化简，再通过正弦定理边化角，结合二倍角公式求解；法二，先得到，再平方降幂并利用内角和转化为关于的二次方程求解；法三，用正弦定理边化角消去，根据正弦相等的两种情况结合三角形内角和排除矛盾，直接求解. （2）利用余弦定理结合基本不等式得到ac的最大值，再代入三角形面积公式求面积最大值； （3）由余弦定理和基本不等式确定的范围，再通过换元构造函数，利用单调性求的最大值。 【详解】（1）法一：由三角形的内角和定理得， 此时就变为. 由诱导公式得，所以.     在中，由正弦定理知，， 此时就有，又，故， 即， 再由二倍角的正弦公式得，解得.     法二：由题设及正弦定理可得，又，故， 两边平方得，即.     又，即，所以， 进一步整理得， 解得，因此.     法三：根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得. 因为，，故或者，     而根据题意，故不成立，所以. 又因为，代入得，所以. （2）因为，由余弦定理可知：     即：， 当且仅当时等号成立.      . （3）根据余弦定理，得，得， 由基本不等式可知      因， （当且仅当时取等号）. 设，则，. 设，.     则在区间上单调递增， 的最大值为，的最大值为. 变式2．（25-26高一下·四川成都·期中）已知函数，，相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求的单调递增区间； (2)在锐角中，若，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简函数，结合题意整体代入求解；（2）将所求转化为只含一个角的三角函数，再根据锐角三角形中角的范围确定该三角函数的取值范围. 【详解】（1）， ∵相邻两条对称轴之间的距离为， ∴， ∵，∴，∴， ∵的单调递增区间为，， ∴， 得， 故单调递增区间为，； （2）， ∵，∴， ，得， ∴， ∵∴，∴， ∴， 的取值范围为. 变式3．（2026·四川广安·二模）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 则， 又因为，则，可得， 即，所以. （2）因为的面积为，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的周长为. 变式4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：平面向量与三角恒等变换综合、解三角形与三角恒等变换综合专项训练 期中培优：平面向量与三角恒等变换综合、解三角形与三角恒等变换综合专项训练 考点目录 平面向量与三角恒等变换综合 解三角形与三角恒等变换综合 考点一 平面向量与三角恒等变换综合 例1.(25-26高一下.四川成都期中)设向量a=(tan80°，4)，b=(-1,sin80),则a.6=() A.-2 B.-V3 C.3 D.2 例2.(2026山东日照.-一模)若向量ā=(-1,2)，万=(2,2)，记0=(a,万），则c0s20=() A.5 4 B D. √10 10 10 例3.（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考·多选)已知H为ABC的垂心，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 且sinA-sinC=sinBcosC,B7.BC=8,则一定有(） 2 A.B=60 B.b≥4 C.B丽=(BC+BA 3 D.若sin'A+sim2B=2sin4 sinBsin C+石，则c=4 例4.(24-25高一下·江苏镇江期中多选)已知a=(1,V5,万=(cos0,sin0),则下列命题正确的有（) A.回+=3 B.若0-}则a5供线 c.若0=名则a16 D.a-的最大值为3 例5.(25-26高一下，浙江·期中)已知向量a=(cosx,sinx),b=3,V3),x∈0，π，若<a,b>为锐角，则实数x的取值 范围是 期中培优：平面向量与三角恒等变换综合、解三角形与三角恒等变换综合专项训练 例6.(25-26高一下·湖南长沙月考)已知平面向量d=(4cosa,sina),b=(sinB,4cosB),c=cosB,-4sinB),其 中a,BeR.则a⊥(6-2c的充要条件为an(a+B)=一： 变式1,202海南模拟预测D在BC中，点P为8C边上一点，已知Pm43 2c0sA:AC,则角A的 大小为() A君 c号 D. 2 变式2.(2425高一下江苏南通月考)已知向量d=(2,3),万=(2，sina-3),c=(2,cosa),若(a+b)/,则 tan2a =( A B.2 C.3 4 D.4 3 变式3.(25-26高一下·西藏拉萨.月考多选)已知向量a=(sin0,-√5)，=(1，cos0),0≤0≤π，下列说法正确的 是() A.若0-子，则向量无的一个单位向量是(25,5 5,5 B.若a⊥b,则cos0=± C.设函数f(0)=ab,则f(0)的最大值为2 D.若问-5且7体a让的提影向最为5、则a5夹角为子 期中培优：平面向量与三角恒等变换综合、解三角形与三角恒等变换综合专项训练 变式4.(25-26高一下河南濮阳月考多选)己知向量a=(5,sin0,方=(cos0,1),0≤0≤元，下列说法正确的是 () A.若a⊥b,则tan0=-√3 B.设函数f(0)=ab,则f(0)的最大值为2 C.a+的最大值为2√2 D.问-5，且在a的投筑量为-5，则a方稍夹角为经 变式5.(24-25高二下·湖南长沙开学考试)已知向量a=(cos0,sin0),6=(-V5,,则2a-的最大值为 变式6.as26商-下I苏月考》向d=(eota+B1sna+fn6=(cesta-Bsma-》,且i+5=号多， 2cos2-3sina-1 2 则tana= V5sna+孕 期中培优：平面向量与三角恒等变换综合、解三角形与三角恒等变换综合专项训练 考点二 解三角形与三角恒等变换综合 例1.(25-26高一下·浙江期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a-√3 bsinC-bcosC=0. (1)求B; (2)若c=2√3a,且ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积； ⊙若D为边B上一点，且∠ACD子，求D的最大值。 AD 例2.(2026陕西咸阳三模)己知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 cos2 B+sin2C+sin2A=1+sin A sin C. (1)求B; (2)若ABC的周长为V5+V6,ABC外接圆的周长为2π，AD=CAC,a<c,求BD. c-a 期中培优：平面向量与三角恒等变换综合、解三角形与三角恒等变换综合专项训练 例3.(25-26高一下·江苏无锡期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 (2a+b).cosC+c.cos B=0. (I)求角C的大小： (2)若sinA+sinB=1,c=V3,求ABC的面积. 例4.（25-26高一下·浙江宁波·期中)已知锐角ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 acos B=2bcos24 2 (1)证明：A=2B: (②)求的取值范围 5 期中培优：平面向量与三角恒等变换综合、解三角形与三角恒等变换综合专项训练 变式1.(25-26高一下·云南昭通·期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足：b=3,且 asin 4+C=bsin d. (I)求B的大小： (2)求ABC面积的最大值： (3)求c的最大值， a+c 变式2.(25-26高一下-四川成都期中)已知函数f(x)=,cos2ox+V5 sin@.xcosox-sin'ox,0>0,相邻两条对 称轴之间的距离为？ (1)求∫(x的单调递增区间： (2)在锐角ABC中，若∫(B)=1,求sinA+cosC的取值范围. 6 期中培优：平面向量与三角恒等变换综合、解三角形与三角恒等变换综合专项训练 变式3.(2026四川广安二模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 2acos A+bcosC=ccos(A+C). (I)求角A的大小： (2)若a=√21，ABC的面积为√5，求ABC的周长. 变式4.(25-26高一下·江苏扬州期中)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 1+cos2A_tanB-1且c=2 sin 2A tan B+1 (1)求角C的大小 (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D,求中线CD的长度的取值范围 >