二轮复习-圆新定义题型演练2025-2026学年苏科版九年级数学下册

**基本信息** 聚焦圆的新定义题型系统训练，通过23道解答题构建从概念生成到综合应用的逻辑链条，强化几何直观与推理能力，适配中考创新题型备考需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础定义应用|1-5题|“纬线”“等垂弦”等概念辨析|从定义推导性质→结合圆的对称性与勾股定理计算| |坐标系综合|6-15题|反演变换、关联点等坐标化新定义|坐标法转化几何关系→方程思想解决动态问题| |动态几何综合|16-23题|可视圆、旋转点等动态场景|运动过程分类讨论→临界状态分析与最值求解|

二轮复习-圆新定义题型演练2025-2026学年苏科版九年级数学下册 一．解答题（共23小题） 1．定义：如图1，AB是⊙O的直径，若弦CD∥AB，则称弦CD为⊙O的纬线． （1）如图1，弦CD是⊙O的纬线，求证：； （2）弦CD和弦EF都是半径为5的⊙O的纬线，CD∥EF，CD＝6，EF＝8，求这两条纬线之间的距离； （3）如图2，弦MN和弦PQ是直径AB两侧的纬线，连接OM、ON、OP、OQ、PM、QN，⊙O的半径为r，记四边形MPQN，△OMN，△OPQ的面积依次为S，S1，S2，若同时满足下列两个条件时，求S的最大值（用含r的式子表示）． ①S1+S2S； ②其中的一条纬线长不超过半径r． 2．阅读下列材料 【材料一】我们知道，求数轴上两点之间的距离，可借助这两个点所表示的数来求． 例如：如图1，数轴上点A表示的数是x1，点B表示的数是x2，则点A，B之间的距离为AB＝|x1﹣x2|． 问题：如何求在平面直角坐标系中任意两点之间的距离？ 探究：如图2，A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中任意两点，过A，B两点分别向x轴、y轴作垂线，过A垂直于y轴的直线与过B垂直于x轴的直线相交于点C．在Rt△ABC中，∵AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，AB2＝AC2+BC2，∴，∴． 结论：平面直角坐标系中任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离公式为：． 【材料二】如图3，在平面直角坐标系中，以点P（a，b）为圆心，以r为半径的圆上有任一点Q（x，y），由【材料一】及“圆上任一点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）”可得：．整理得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2． 我们称此等式为以点P（a，b）为圆心，以r为半径的圆的方程． 根据上面的信息，回答问题： （1）填空：以点（2，﹣3）为圆心，以3为半径的圆的方程是 　 　 ； （2）求点M（2，﹣6），N（﹣1，8）之间的距离； （3）判断x2+y2+5x﹣8y+16＝0是否是表示圆的方程？如果是，求出圆的圆心坐标与半径；如果不是，请说明理由． 3．在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，如图①，AB、CD是⊙O的弦，如果AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦． （1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD，求证：AB、CD是⊙O的等垂弦； （2）在图①中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，，求AB的长度． 4．【概念认识】 与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆． 【初步理解】 （1）如图①～③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是 　 　 ，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是 　 　 ． 【计算求解】 （2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长． 【深入研究】 （3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） ①作它的1个第Ⅰ类圆； ②作它的1个第Ⅱ类圆． 5．【数学概念】 我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形． 【性质初探】 （1）双圆四边形的对角的数量关系是 　 　 ，依据是 　 　 ． （2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述） （3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF． 【揭示关系】 （4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示． 【特例研究】 （5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝1，∠BCD＝60°，∠B＝90°，则PM的长为 　 　 ． 6．如图1，在平面上，给定了半径为r的⊙O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP•OP′＝r2，这种把点P变为点P′的变换叫做反演变换，点P与点P′叫做互为反演点，⊙O称为基圆． （1）如图2，⊙O内有不同的两点A、B，它们的反演点分别是A′、B′，则与∠A′一定相等的角是 　 　 （A）∠O（B）∠OAB（C）∠OBA（D）∠B′ （2）如图3，⊙O内有一点M，请用尺规作图画出点M的反演点M′；（保留画图痕迹，不必写画法）． （3）如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．已知基圆O的半径为r，另一个半径为r1的⊙C，作射线OC交⊙C于点A、B，点A、B关于⊙O的反演点分别是A′、B′，点M为⊙C上另一点，关于⊙O的反演点为M′．求证：∠A′M′B′＝90°． 7．定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为点和直线的等距圆，圆心称为点和直线的等距点． 例如图1，⊙G过点P，且与直线l相切，⊙G为点P和直线l等距圆． 【概念理解】（1）在图2中用尺规法作出点A和直线m的等距圆⊙F，且与直线m的切点为B点．（不写作法，但要保留作图痕迹） 【初步运用】（2）如图3，已知点M（0，2），N（0，6），⊙D既为点M和x轴的等距圆，又为点N和x轴的等距圆，求点D的坐标． 【探索发现】（3）如图4，已知点M（0，2），⊙D为点M和x轴的等距圆，易见等距圆和等距点均有无数个，设等距点D（x，y），求出y与x的函数关系式． 【拓展提高】（4）已知点M（0，2），⊙D为点M和x轴的等距圆，圆D被y轴分得的较大部分的弧长不小于⊙D周长的，直接写出D点横坐标x的取值范围 　 　 ． 8．△ABC中，D、E分别是△ABC两边AB、AC的中点，若经过D、E的⊙M与△ABC有n个公共点（相切算一个公共点），则称⊙M为△ABC关于D、E的“中n点圆”．例如，图1中的圆是△ABC关于D、E的“中4点圆”． （1）①如图1，则△ABC的“中n点圆”中n可以取的值为 　 　 （写所有可能的值）； ②在所给图1中画出一个“中3点圆”； （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，6），点B（0，0），C（4，0），⊙M为△ABC的“中n点圆”． ①当a＝0，n＝4时，求圆心M纵坐标的取值范围． ②若n＝3时，圆心M总在△ABC外，直接写出a的取值范围． 9．在平面直角坐标系：xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP'＜2r，则称P'为点P关于⊙C的限距点，如图为点P及其关于⊙C的限距点P'的示意图． （1）当⊙O的半径为1时． ①分别判断点M（3，4），N（，0），T（1，）关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标； ②点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上．若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P'的横坐标的取值范围； （2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C 的坐标为（1，0），半径为r，若点P关于⊙C的限距点P'存在，且P'随点P的运动所形成的路径长为πr， 请直接写出r的最小值． 10．对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点． （1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是 　 　 ． （2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围． （3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围． 11．概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，△ABC，⊙O经过点A，并与点A的对边BC相切于点D，则该⊙O就叫做△ABC的切接圆．根据上述定义解决下列问题： 理解应用 （1）已知，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10． ①如图2，若点D在边BC上，CD，以D为圆心，BD长为半径作圆，则⊙D是△ABC的“切接圆”吗？请说明理由． ②在图3中，若点D在△ABC的边上，以D为圆心，CD长为半径作圆，当⊙D是Rt△ABC的“切接圆”时，求⊙D的半径（直接写出答案）． 思维拓展 （2）如图4，△ABC中，AB＝12．AC＝BC＝10，把△ABC放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边AB落在x轴上．试说明：以抛物线y4图象上任意一点为圆心都可以作过点C的△ABC的“切接圆”． 12．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是4．对于点P和⊙O，给出如下定义： 过点C的直线与⊙O交于不同的点M，N，如果点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“弦中点”． （1）如图1，已知点C（﹣2，0）； ①点P1（﹣1，1），P2（0，1），P3（﹣2，0）中是关于MN的“弦中点”的是 　 　 ； ②若一次函数y＝2x+b的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”，直接写出b的值； （2）如图2，正方形ABCD的中心为（﹣1，0），其各边平行于坐标轴，点C横坐标为t，其中t满足﹣8≤t≤﹣4，若对于任意的点C，都存在正方形ABCD，其边上有关于MN的“弦中点”，直接写出正方形ABCD边长AB的取值范围． 13．新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线． （1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形： ①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y，是⊙O的关联图形的是 　 　 （请直接写出正确的序号）． （2）如图1，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围． （3）如图2，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线 x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围． 14．如图①，点C在线段AB上，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段． （1）若AC＝2，求AB的长； （2）若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），并判断AC与BD的数量关系； （3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M，N是线段OC的圆周率点，求MN的长． 15．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和正实数k，给出如下定义：当ka2+b＞0时，以点P为圆心，ka2+b为半径的圆，称为点P的“k倍雅圆” 例如，在图1中，点P（1，1）的“1倍雅圆”是以点P为圆心，2为半径的圆． （1）在点P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1倍雅圆”的点是 　 　 ．该点的“1倍雅圆”的半径为 　 　 ． （2）如图2，点M是y轴正半轴上的一个动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，试判断直线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系，并证明； （3）如图3，已知点A（0，3），B（﹣1，0），将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l． ①当点C在直线l上运动时，若始终存在点C的“k倍雅圆”，求k的取值范围； ②点D是直线AB上一点，点D的“倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D为圆心，为半径的圆与直线l有且只有1个交点，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，14），C（2，0），E（8，0），A（a，0）（a＞8），连接AB，点P为OB、AB上的动点（O、A点除外），连接EP、CP，我们规定：线段CE所对的∠CPE叫做线段CE的可视角，把经过C、E、P三点的圆叫做线段CE的可视圆． （1）若CE的可视角∠CPE＝60°，求线段CE的可视圆的半径． （2）已知点P在OB上存在最大的可视角∠CPE，求出此时点P的坐标． （3）在（2）的可视圆中，探究AB上是否存在唯一的可视角∠CP′E．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 17．在平面直角坐标系xOy中，对于点M，N与角α（0°≤α≤180°）给出如下定义： 点M绕点O顺时针旋转α得到点M′，点O绕点M′顺时针旋转（180°﹣α）得到点O′，若点N在线段O′M′上，称点N是点M的“α﹣双旋点”． 已知点A（0，2）． （1）在图1中画出点A的所有“60°﹣双旋点”所在的线段O′A′，线段O′A′与OA的位置关系是　 　 ； （2）①对于点T（t，1），若存在不相等的角α，β，使得点T既是点A的“α﹣双旋点”，又是点A的“β﹣双旋点”，直接写出t的取值范围　 　 ； ②对于半径为r的⊙R，若对于⊙R内任意一点P，都存在不相等的角α，β，使得点P既是点A的“α﹣双旋点”，又是点A的“β﹣双旋点”，直接写出r的最大值为　 　 ； （3）点Q是坐标平面内一点满足OQ≤2，若存在0°≤α≤180°，使得点A是点Q的“α﹣双旋点”，直接写出所有满足要求的点Q形成的封闭区域的面积． 18．对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足（如图1所示），则称点Q是点P关于⊙O的密切点． 已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P（4，0）． （1）在点D（﹣2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为 　 　 ． （2）设直线l方程为y＝kx+b，如图2所示， ①k时，求出点P关于O的密切点Q的坐标； ②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O的密切点，直接写出t的取值范围． 19．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α关联点”． （1）点． ①在点C1（0，0）；C2（0，1），中，点　 　 是弦AB的“α关联点”，其中α＝　 　 °； ②若点D是弦AB的“60°关联点”，记点D的横坐标为m，则m的取值范围为　 　 ； （2）已知点P是直线y＝﹣2x+1上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“90°关联点”，记点P的横坐标为n，直接写出n的取值范围． 20．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙P内的一点M，若存在点N使得线段MN的中点恰好在⊙P上，则称点N是点M关于⊙P的“关联点”：特别地，当点N是点M关于⊙P的“关联点”且△PMN为直角三角形时，则称点N是点M关于⊙P的“直角关联点”． （1）如图，已知点A（0，1），⊙O的半径为2． ①在点，，B3（0，﹣4）中，点A关于⊙O的“关联点”是　 　 ； ②若点B是点A关于⊙O的“直角关联点”，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标； ③若直线y＝kx+b（k＞0）上有且只有一个点是点A关于⊙O的“关联点”，且该点恰好为点A关于⊙O的“直角关联点”，直接写出k的值； （2）已知⊙P的半径为3，若存在半径为r的⊙T，对于⊙T上的任意一点Q，都存在⊙P上的点C与⊙P内一点D，满足CD＝1，且点Q为点D关于⊙P的“直角关联点”，直接写出r的取值范围． 21．在平面直角坐标系xOy中，对于半径为1的⊙O，线段AB及直线l，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段A′B′是⊙O的弦，则称线段AB为⊙O关于直线l的引入弦． （1）如图1，点A1（﹣2，1），B1（0，3），A2（1，2），B2（3，2），A3（2，﹣1），B3（2，﹣2），线段A1B1，A2B2，A3B3中，是⊙O关于某条直线的引入弦的为 　 　 ． （2）如图2，点A（﹣1，3），B（﹣3，1），点C在直线y＝x+2上，若线段AB，AC和BC中，至少有一条线段是⊙O的引入弦，直接写出点C的纵坐标yc的取值范围． （3）如图3，线段MN是⊙O关于直线y＝﹣x+b的引入弦，且MN＝1．以点E（1，1），F（1，2），G（2，2），H（2，1）为顶点的正方形EFGH与线段MN有公共点，请直接写出b的取值范围． 22．概念认识： 平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d（T﹣⊙O）．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”． 数学理解： （1）在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d（T﹣⊙A）＝2，则AB＝　 　 ． （2）如图2，在平面直角坐标系中，以O（0，0）为圆心，半径为2作圆． ①将点C（4，3）记为图形T，则d（T﹣⊙O）＝　 　 ． ②将一次函数y＝kx+2的图记为图形T，若d（T﹣⊙）＞0，求k的取值范围． 推广运用： （3）在平面直角坐标系中，P的坐标为（t，0），⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为（5，5）、（5，﹣5），将△DOE记为图形T，若d（T﹣⊙P）＝1，则t＝　 　 ． 23．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在点Q，使得△CPQ是直角三角形且∠PCQ＝α（α≠90°），则称点P是⊙C的关联点，称α为点P与⊙C的关联角． （1）如图，⊙O的半径为2． ①判断：点P1（，0），P2（4，0）是⊙O的关联点吗？若是，请直接写出该点与⊙O的关联角度；若不是，请说明理由； ②点B是平面内一点，点D（m，3），当﹣3≤m≤3时，以D为圆心、BD为半径的圆上的所有点都是圆O的关联点，则线段BD的长度l的取值范围为　 　 ； （2）已知点E（1，2），F（3，4），T（t，3﹣t），t＞0，圆T的半径为4，若线段EF上的所有点都是圆T的关联点，且这些点与圆T的关联角度都不超过60°，直接写出t的取值范围． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）如图，连接BC， ∵CD∥AB， ∴∠DCB＝∠ABC， ∴∠DCB和∠ABC所对的弧相等， ∴， （2）∵弦CD和弦EF都是⊙O的纬线， ∴CD∥AB，EF∥AB， 作OH⊥CD交EF于I，则OI⊥EF，连接OD，OF， ∵CD＝6，EF＝8，OD＝OF＝5， 根据勾股定理可得OH＝4，OI＝3， 有两种情况： 当弦CD和弦EF在圆心的同一侧时，HI＝OH﹣OI＝4﹣3＝1； 当弦CD和弦EF在圆心的两侧时，HI＝OH+OI＝4+3＝7， ∴CD和EF的距离是1或7； （3）过点作OE⊥MN于点E，OF⊥PQ于点F， 设MN＝a，PQ＝b，OE＝m，OF＝n， 则S1am，S₂bn，s（a+b）（m+n）， ∵S1+S2S， ∴ambn（a+b）（m+n）， 即（a﹣b）（m﹣n）＝0， ∴a＝b或m＝n， 若m＝n，则a＝b 若a＝b，则m＝n ∴S＝2am， 则S2＝4a2m2， ∵OE⊥MN， ∴MEMN， 在Rt△OEM中，OE2+EM2＝OM2， ∴m2＝r2， 则m2﹣r2﹣号 令t＝a2， ∴S2＝4t（r2）＝﹣t2+4r2t， 对称轴为t＝2r2， ∵0＜a≤r， ∴0＜t≤r2， 当t＝r2时，S2有最大值为3r4， ∴S的最大值为r2． 2．【解答】解：（1）根据题意，得以点（2，﹣3）为圆心，以3为半径的圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2＝9， 故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2＝9． （2）根据题意，得， （3）是． ∵x2+y2+5x﹣8y+16＝0， 整理得（x）2+（y﹣4）2＝（）2， ∴是圆的方程，且圆心坐标为（，4），圆的半径为． 3．【解答】（1）证明：如图①，连接BC， ∵OC⊥OA，OD⊥OB， ∴∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOB＝∠COD， ∴AB＝CD， ∵， ∴， 同理∴， ∴∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝90°，即AB⊥CD， ∵AB＝CD，AB⊥CD， ∴AB、CD是⊙O的等垂弦． （2）解：如图②，作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，则四边形OHEG为矩形， ∵AB、CD是⊙O的等垂弦， ∴AB＝CD，AB⊥CD， ∴， ∵OA＝OD，∠AHO＝∠DGO＝90°， ∴Rt△AHO≌Rt△DGO（HL）， ∴OH＝OG， ∴矩形OHEG为正方形， ∴OH＝HE， ∵，AH＝BH， ∴AH＝2BE＝2OH， 在 Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2， 即（2OH）2+OH2＝AO2＝25， 解得：，则AB＝4HO． 4．【解答】解：（1）由定义可得，①的矩形有一条边AD与⊙O1相切，点B、C在圆上， ∴①是第Ⅰ类圆； ②的矩形有两条边AD、AB与⊙O2相切，点C在圆上， ∴②是第Ⅱ类圆； 故答案为：①，②； （2）如图1，设AD＝6，AB＝4，切点为E，过点O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，连接BO， 设BO＝r，则OE＝r，OF＝4﹣r， 由垂径定理可得，BF＝CF＝3， 在Rt△BOF中，r2＝（4﹣r）2+32， 解得r； 如图2，设AD＝4，BC＝6，切点为E，过点O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，连接BO， 设BO＝r，则OE＝r，OF＝6﹣r， 由垂径定理可得，BF＝CF＝2， 在Rt△BOF中，r2＝（6﹣r）2+22， 解得r； 综上所述：第Ⅰ类圆的半径是或； 如图3，AD＝6，AB＝4，过点O作MN⊥AD交于点M，交BC于点N，连接OC， 设AB边与⊙O的切点为G，连接OG， ∴GO⊥AB， 设OM＝r，则OC＝r，则ON＝4﹣r， ∵OG＝r， ∴BN＝r， ∴NC＝6﹣r， 在Rt△OCN中，r2＝（4﹣r）2+（6﹣r）2， 解得r＝10﹣4， ∴第Ⅱ类圆的半径是10﹣4； （3）①如图4， 第一步，作线段AD的垂直平分线交AD于点E， 第二步，连接EC， 第三步，作EC的垂直平分线交EF于点O， 第四步，以O为圆心，EO为半径作圆， ∴⊙O即为所求第Ⅰ类圆； ②如图5， 第一步：作∠BAD的平分线； 第二步：在角平分线上任取点E，过点E作EF⊥AD，垂足为点F； 第三步：以点E为圆心，EF为半径作圆E，交AC于点G，连接FG； 第四步：过点C作CH∥FG，CH交AD于点H； 第五步：过点H作AD的垂线，交∠BAD的平分线于点O； 第六步：以点O为圆心，OH为半径的圆，⊙O即为所求第Ⅱ类圆． 5．【解答】（1）解：双圆四边形的对角的数量关系是：对角互补， 理由：圆的内接四边形的对角互补， 故答案为：互补；圆内接四边形对角互补； （2）解：双圆四边形的边的性质：双圆四边形的对边之和相等； （3）证明：连接PH，PG，PE，PF，HE，设HF，EG交于点N，如图， ∵AD为⊙P的切线， ∴PH⊥AD， 同理：PG⊥CD，PF⊥BC，PE⊥AB， ∴∠DHP＝∠DGP＝∠PEB＝∠PFB＝90°． ∵∠PHD+∠D+∠PGD+∠HPG＝360°， ∴∠HPG+∠D＝180°． 同理：∠EPF+∠B＝180°． ∴∠HPG+∠D+∠EPF+∠B＝180°+180°＝360°， ∵∠D+∠B＝180°， ∴∠HPG+∠EPF＝180°． ∵∠HEG∠HPG，∠EHF∠EPF， ∴∠EHF+∠HEF（∠HPG+∠EPF）＝90°， ∴∠HNE＝180°﹣（∠EHF+∠HEF）＝90°， ∴GE⊥HF； （4）解：双圆四边形的大致区域，用阴影表示如下： （5）解：连接AC，ME，MF，如图， ∵四边形ABCD是双圆四边形， ∴∠D+∠B＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠D＝90°， ∴AC为⊙P的直径． ∵CG，CF为⊙M的切线， ∴CM平分∠BCD， 同理：AM为∠DAB的平分线， 利用对称性可知：A，M，P，C在一条直线上， ∵∠BCD＝60°， ∴∠ACB∠BCD＝30°， 在Rt△ABC中， AC＝2AB＝2， ∴BC． ∴APAC＝1． ∵BA，BF为⊙M的切线， ∴ME⊥AB，MF⊥BC， ∵∠B＝90°， ∴四边形MEBF为矩形， ∵ME＝MF， ∴四边形MEBF为正方形， ∴BE＝BF＝ME＝MF． 设BE＝BF＝ME＝MF＝x，则CFx， ∵MF∥AB， ∴， ∴， ∴x． ∴ME． ∵ME∥BC， ∴∠AME＝∠BCA＝30°， ∴在Rt△AME中， ∵cos∠AME， ∴AM1． ∴PM＝PA﹣AM＝1﹣（1）＝2． 故答案为：2． 6．【解答】（1）解：∵⊙O内有不同的两点A、B，它们的反演点分别是A′、B′， ∴； 又∵∠O＝∠O， ∴△AOB∽△B′OA′， ∴∠A′＝∠OBA； 故答案为：（C）； （2）解：过M作MN⊥OM交⊙O于点N，连ON．过N作NM'⊥ON交射线OM于点M'．点M'即为所求．如图所示： （3）证明：连BM、AM． ∵AB是⊙C直径， ∴∠BMA＝90°； ∵∠OA′M′是△A′M′B′的外角， ∴∠OA′M′﹣∠A′B′M′＝∠A′M′B′； ∵点A、M关于⊙O的反演点分别是A′，M′． ∴OA•OA′＝r2＝OM•OM′， ∵∠O＝∠O， ∴△OMA∽△OA′M′， ∴∠OMA＝∠OA′M′， 同理：∠OMB＝∠OB′M′， 由等式性质知：∠OMA﹣∠OMB＝∠OA′M′﹣∠OB′M′， ∴∠BMA＝∠A′M′B′即∠A′M′B′＝90°． 7．【解答】解：（1）作法如图所示，⊙F即为所求． （2）根据题意，⊙D既为点M和x轴的等距圆，又为点N和x轴的等距圆． ∴⊙D经过M、N两点且与x轴相切． 过圆心D作MN的垂线交y轴于点F，作DE⊥x轴，垂足为E. ∵MD＝ND，MN＝6﹣2＝4， ∴MF＝NF2． ∵四边形OEDF为矩形， ∴DE＝FO＝MF+MO＝2+2＝4． 在Rt△DFM中，DF2． 同理，点D关于y轴对称点D′左侧也符合条件． ∴点D坐标为（2，4）或（﹣2，4）． （3）如图所示，⊙D为点M和x轴的等距圆．⊙D和y轴交于M、N两点． 过圆心D作MN的垂线交y轴于点F，作DE⊥x轴，E为垂足. 点D的坐标（x，y）．点M坐标为（0，2）． ∵MD＝DE＝y，DF＝|x|，MD2＝DF2+MF2，MO＝2，MF＝DE﹣MO， ∴y2＝x2+（y﹣2）2． 整理得yx2+1． 故y与x的函数关系式为yx2+1． （4）设点D坐标为（x，y），⊙D周长为∁D． 由（3）可知MD＝MN＝y，DF＝|x|，yx2+1，MF＝|y﹣MO|＝|y﹣2|． 根据题意，∁D，则∠MDN360°＝90°． ∴△MDN为等腰直角三角形． ∵MF＝NF， ∴∠MDF≤45°． 又∵sin∠MDF．sin45°， ∴0． 解得：4﹣2y≤4+2， ∴4﹣2x2+1≤4+2， ∴﹣2﹣2x≤2﹣2或22≤x≤22． 8．【解答】解：（1）①经过D、E两点的圆与△ABC的交点个数可能为2或3或4或5或6， 故答案为：2或3或4或5或6； ②如图1（a），圆经过A、D、E三点，图1（b），经过D、E的圆与BC相切， 均是△ABC关于D、E的“中3点圆”； （2）①当a＝0，n＝4时，A（0，6），点B（0，0），C（4，0），⊙M为△ABC的“中4点圆”． 设M（1，y）， 如图2（a），⊙M经过点A时， ∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，D（0，3），E（2，3）， ∴∠ADE＝∠ABC＝90°， ∴圆心M在AE上，即M（1，）， 如图2（b），⊙M与AB相切于点D时，M（1，3）， ∴3＜y； 如图2（c），⊙M与AC相切时，过点M作MF⊥DE于F，连接EM， 则∠MEF+∠AED＝90°，∠EAD+∠AED＝90°， ∴∠MEF＝∠EAD， ∴tan∠MEF＝tan∠EAD， ∴，即， ∴MF， ∴y＜3； 当⊙M经过点B时，如图2（d）， 则M是OE的中点， ∴M（1，）， 当⊙M经过点C时，如图2（e）， 由勾股定理得：ME2＝EF2+MF2，MC2＝MG2+CG2， ∵ME＝MC， ∴EF2+MF2＝MG2+CG2， ∵EF＝1，MF＝3﹣y，MG＝﹣y，CG＝3， ∴12+（3﹣y）2＝（﹣y）2+32， 解得：y， ∴y； 综上所述，圆心M纵坐标y的取值范围为3＜y或y＜3或y． ②当n＝3时，⊙M为△ABC的“中3点圆”， ∵D（a，3），E（，3）， ∴M（a+1，y）， ∵且圆心M总在△ABC外， ∴当⊙M经过点A时，△ADE是钝角三角形，且∠ADE＞90°或∠AED＞90°， ∴a＜0或a＞4． 9．【解答】解：（1）①如图， 从图中可以看出点M（3，4），点T（1，）关于⊙O的限距点不存在， 点N关于⊙O的限距点存在，其坐标为（1，0）； ②如图所示，连接EO并延长交⊙O于点E′，连接FO并延长交⊙O于点F′， ∵点D的坐标为（2，0）， ∴OD＝2． ∵DE切⊙O于点E， ∴OE⊥DE． ∵OE＝1， ∴∠ODE＝30°，DE＝OD•cos30°． ∵DE，DF分别切⊙O于点E，点F， ∴DF＝DE，DH⊥EF，∠FDH＝∠EDH＝30°． ∴EH＝FHDE． DH＝DE•cos30°． ∴OH＝OD﹣HD． ∴E（，），F（，）． ∴E′（，），F′（，）． 设点P关于⊙O的限距点P'的横坐标为x， Ⅰ、当点P在线段EF上时， 直线 PO的延长线与点交点P′满足1≤PP′≤2， ∴点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标满足﹣1≤x； Ⅱ、当点P在线段DE，DE（不包括端点）上时， 直线PO与⊙O的交点P′满足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3， ∴点P关于⊙O的限距点不存在； Ⅲ、当点P与点D重合时， 直线PO与⊙O的交点P′（1，0）， ∴PP′＝1． ∴点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x＝1． 综上所述，点P关于⊙O的限距点P'的横坐标的取值范围为：﹣1≤x或x＝1； （2）由（1）可知△DEF为等边三角形， ∵C（1，0）， ∴CD＝CE＝CF＝1． ∴点C是△DEF的外接圆的圆心． 如图所示， ∵点P关于⊙C的限距点P'存在，且P'随点P的运动所形成的路径长为πr， ∴点P在△DEF三边上运动的轨迹为PP′，AA′，BB′，其中△CPP′，△CAA′，△CBB′为等边三角形． ∴PC∥DE， ∴． ∴． ∴PC， ∵rr≤2r， ∴r． ∴r的最小值为． 10．【解答】解：（1）如图，∵A（4，0），Q1（0，4）， ∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°， ∴点Q1不是点A关于点O的锐角旋转点； ∵Q2（2，），作Q2F⊥x轴于点F， ∴OQ24＝OA， ∵tan∠Q2OF， ∴∠Q2OF＝60°， ∴点Q2是点A关于点O的锐角旋转点； ∵Q3（﹣2，），作Q3G⊥x轴于点G， 则tan∠Q3OG， ∴∠Q3OG＝60°， ∴OQ34＝OA， ∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°， ∴Q3不是点A关于点O的锐角旋转点； ∵Q4（，﹣2），作Q4H⊥x轴于点H， 则tan∠Q4OH1， ∴∠Q4OH＝45°， ∵OQ44＝OA， ∴Q4是点A关于点O的锐角旋转点； 综上所述，在点Q1，Q2，Q3，Q4中，是点A关于点O的锐角旋转点的是Q2，Q4， 故答案为：Q2，Q4． （2）在y轴上取点P（0，5），当直线y＝2x+b经过点P时，可得b＝5， 当直线y＝2x+b经过点B时，则2×5+b＝0， 解得：b＝﹣10， ∴当﹣10＜b＜5时，OB绕点O逆时针旋转锐角时，点C一定可以落在某条直线y＝2x+b上， 过点O作OG⊥直线y＝2x+b，垂足G在第四象限时，如图， 则OT＝﹣b，OSb， ∴STb， 当OG＝5时，b取得最小值， ∵5×（b）＝﹣b×（b）， ∴b＝﹣5， ∴﹣5b＜5． （3）根据题意，点F关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分， 如图3（2）中，阴影部分与直线y＝2x+6相切于点G，tan∠EMG＝2，SG＝3，过点G作GI⊥x轴于点I，过点S作SJ⊥GI于点J， ∴∠SGJ＝∠EMG， ∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2， ∴GJ，SJ， ∴GI＝GJ+JI＝3， ∴MIGI， ∴OE＝IE+MI﹣OM，即xE＝t﹣3， 解得t， 如图3（3）中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，则MH＝3，EM＝3， ∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣3， 解得t＝﹣3， 观察图象可知，﹣3t＜3． 11．【解答】（1）解：①是，理由如下： ∵BC＝10，CD， ∴BD，即圆D的半径为， 如图2，过点D作DE⊥AC于点E， ∴∠DEC＝∠A＝90°， ∴△CDE∽△CBA， ∴CD：BC＝DE：AB，即：10＝DE：6， ∴DE， ∴BD＝DE，即圆D是△ABC的“切接圆”； ②在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴AC＝8； 当点D在AC上时，过点C且与AB相切，此时圆的直径为AC， ∵AC⊥AB， ∴点A为切点，则r＝CD＝4； 当点D在AC上，过点A且与BC相切时， 过点D作DF⊥BC于点G， ∴∠DGC＝∠CAB＝90°， ∴△CDG∽△CBA， ∴CD：BC＝DG：AB，即（8﹣r）：10＝r：6， 解得r＝3（舍）； 当点D在BC上时，过点C与AB相切； 如图3，过点D作DF⊥AB于点F，∴∠BDF＝∠C， ∴△BDF∽△BCA， ∴BD：BC＝DF：AC， 根据“切接圆”的性质可设，DF＝DC＝r， ∴BD＝10﹣r， ∴（10﹣r）：10＝r：8， 解得r； ∴圆D的半径为； 综上，圆D的半径为或4； （2）证明：根据题意作出图形，如图4所示， ∵AC＝BC＝10，AB＝12，∠AOB＝90°， ∴AO＝OB＝6， ∴OC＝8，即C（0，8）； 设点D的横坐标为m， ∴D（m，m2+4）， ∴CD2＝m2+（m2+4﹣8）2＝（m2+4）2，即CDm2+4， 过点D作DE⊥x轴于点E， ∴DEm2+4， ∴CD＝DE， 根据“切接圆”的定义可知，以抛物线y4图象上任意一点为圆心都可以作过点C的△ABC的“切接圆”． 12．【解答】解：（1）①∵点P为线段MN的中点，MN为⊙O的弦， ∴OP⊥MN，∠CPO＝90°， 又∵点C（﹣2，0）， ∴这样的点P在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆周上，如图1所示： 在点P1（﹣1，1），P2（0，1），P3（﹣2，0）中， 只有P1（﹣1，1）和P3（﹣2，0）在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆周上， 故答案为：P1，P3； ②∵一次函数y＝2x+b的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”， ∴一次函数y＝2x+b的图象与以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆只有一个交点， 即一次函数y＝2x+b的图象与以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆相切时满足题意． 如图1所示，一次函数y＝2x+b与y轴交点为B（0，b），与x轴交点为A（，0），D（﹣1，0）． 当b＞0时，如图2所示， 设一次函数y＝2x+b与x轴的夹角为α，则sinα， 即，解得b； 当b＜0，同理可得，解得b， 综上，b的值为． （2）如图3，正方形ABCD的中心E（﹣1，0），连接OC，取OC中点Q，作△COP的外接圆， ∵P是MN的中点， ∴OP⊥MN， ∴OC为△COP外接圆的直径， ∴Q为△COP外接圆的圆心， ∵正方形ABCD各边平行于坐标轴， ∴C（t，﹣1﹣t）， ∵Q为OC中点， ∴Q（，）， ∵存在正方形ABCD，其边上有关于MN的“弦中点”， ∴⊙Q与BC和CD的交点需要在⊙O内， ∴⊙Q与BC的另一个交点为（0，﹣1﹣t），与CD的另一个交点为（t，0）， ∴﹣1﹣t＜4或﹣t＜4， ∴t＞﹣5或t＞﹣4， ∵﹣8≤t≤﹣4， ∴﹣5＜t≤﹣4， ∵AB＝2（﹣1﹣t）， ∴6≤AB＜8． 13．【解答】解：（1）由题意①③是⊙O的关联图形， 故答案为①③． （2）如图1中， ∵直线l1y＝﹣x+b是⊙T的关联直线， ∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2， 当临界状态为l1时，连接TM（M为切点）， ∴TM＝1，TM⊥MB，且∠MNO＝45°， ∴△TMN是等腰直角三角形， ∴TN，OT＝1， ∴N（1，0）， 把N（1，0）代入y＝﹣x+b中，得到b＝1， 同法可得当直线l2是临界状态时，b1， ∴点N的横坐标的取值范围为1≤Nx1． （3）如图3﹣1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H（2，0），得到h的最大值为2， 如图3﹣2中，当点P在点Q是上方时，直线PB，QD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H（﹣6，0）得到h的最小值为﹣6， 综上所述，﹣6≤h＜0，0＜h≤2． 14．【解答】解：（1）BC＝πAC，AC＝2， BC＝2π， ∴AB＝AC+BC＝2+2π； （2）∵点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C）， ∴ 点D在如图所示的位置， AD＝πBD， AB＝AD+BD＝（π+1）BD， ∵AB＝AC+BC＝（π+1）AC， ∴AC＝BD； （3）∵将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周， ∴点C所表示的数为1+π， ∵点M，N是线段OC的圆周率点， ∴ ON＝πCN，CM＝πOM， ∴OC＝OM+CM＝ON+CN＝（1+π）OM＝（1+π）CN， ∴CN＝OM＝1， ∴MN＝OC﹣OM﹣CN＝π﹣1． 15．【解答】解：（1）对于P1（3，1），圆的半径为ka2+b＝1×32+1＝10＞0，故符合题意； 对于P2（1，﹣2），圆的半径为ka2+b＝1×12﹣2＝﹣1＜0，故不符合题意； 故答案为P1，10； （2）如图1，过点M作MQ⊥ON于点Q， 则点M（0，m）（m＞0），则圆的半径r＝2×0+m＝m， 则Rt△MQO中，∠MOQ＝∠MON＝30°， ∴MQOMm＜m， ∴直线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系为相交； （3）①过点B作BE⊥直线l于点E，过点E作x轴的垂线交x轴于点G，交过点A与x轴的平行线于点F， 设点E（x，y）， 将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l，则∠EAB＝45°，故EA＝EB， ∵∠FEA+∠FAE＝90°，∠GEB+∠FEA＝90°， ∴∠FAE＝∠GEB， ∵∠AFE＝∠EGB＝90°，EA＝EB， ∴△AFE≌△EGB（AAS）， ∴EF＝BG，EG＝FA，即3﹣y＝﹣1﹣x，y＝﹣x， 解得：x＝﹣2，y＝2，故点E（﹣2，2）； 设直线l的表达式为y＝kx+b，则，解得， 故直线l的表达式为yx+3， 设点C（x，x+3）， ∵始终存在点C的“k倍雅圆”时，则圆的半径r＝kx2x+3＞0恒成立， ∴k＞0且Δ＜0成立，即k＞0且Δ＝（）2﹣4×3k＜0， 解得：k； ②存在，理由： 如图2，过点D作DH⊥l于点H， 由点A、B的坐标同理可得，直线AB的表达式为y＝3x+3， 设点D（x，3x+3）， 由点A、D的坐标得，AD|x|，则HDAD|x|， 则R＝ka2+bx2+3x+3（x+2）2，则|x+2|， 假设存在以点D为圆心，为半径的圆与直线l有且只有1个交点， 则DH|x+2||x|， 解得：x＝﹣1， 故点D的坐标为：（﹣1，0）． 16．【解答】解：（1）如图1，过点E作EP′⊥OA，在x轴上方作∠ECP′＝30°， ∴∠CP′E＝∠CPE＝60°， ∴C、P、P′、E四点共圆， ∵∠CEP′＝90° ∴CP′是C、P、P′、E四点共圆的直径， ∵cos∠ECP′ ∴CP′4 ∴线段CE的可视圆的半径为2． （2）如图2，∵点P在OB上存在最大的可视角∠CPE，∴OB与CE的可视圆⊙O′相切于P， 连接O′P，过O′作O′H⊥CE于H，则CH＝HE＝3，连接O′C， ∴O′P＝OH＝OC+CH＝2+3＝5， ∴O′C＝O′P＝5 ∵∠CHO′＝90° ∴O′H4， ∵∠OPO′＝∠POC＝∠OHO′＝90°， ∴四边形OPO′H是矩形 ∴CP＝O′H＝4， ∴P（0，4）； （3）如图3，存在．依题意有直线AB与⊙O′相切于P′，延长PO′交AB于T， 设P′T＝x，O′T＝y， ∵BP，BP′分别与⊙O′相切于P，P′， ∴BP′＝BP＝10， ∴ 解得：（舍去），； ∴PT＝5， ∵tan∠OBA ∴PT×OB＝OA×BP，即14＝a×10 ∴a． 17．【解答】解：（1）如图，根据题意可知，∠AOA′＝60°，OA＝OA′，则△AOA′是等边三角形． ∵∠OA′O′+∠AOA′＝120°+60°＝180°， ∴O′A′∥OA． 故答案为：O′A′∥OA． （2）①由（1）可得O′的轨迹为以点A为圆心，半径为2的半圆，如图： 根据题意，点T在直线l：y＝1上． 当A′与点B重合时，O′与点C重合，点T刚好在线段A′O′上；当A′与点D重合时，O′与点B重合，点T也刚好在线段A′O′上． 这两个时刻α＝60°或120°，xT＝xB＝xD＝2×cos30°． 即当60°≤α≤120°时，直线l与线段A′O′才有交点，且当α＝90°时，xT＝2． 当xT时，α对应60°或120°；当xT＝2，α对应只有90°， ∵存在不相等的角α，β，使得点T既是点A的“α﹣双旋点”，又是点A的“β﹣双旋点”， ∴xT＜2． 故答案为：t＜2． ②由①可知当⊙R半径最大时，⊙R与y轴相切于点H，与⊙O外切，与⊙A内切．如图： 设圆心R的坐标为（r，a）．易得AR＝2﹣r，OR＝2+r，RH＝r． 由于AR2﹣r，OR2+r． 两式联立解得：a＝1，r． 故答案为：． （3）由（2）可知点A的所有“α﹣双旋点”（0°≤α≤180°）区域为线段AB、CD、EO，及弧BC、DE、AF、OF所围成的区域． ∴当OQ≤2时，点Q的所有“α﹣双旋点”（0°≤α≤180°）区域为半径等于4的⊙O所包括的范围； 同理，当OQ≤1时，点Q的所有“α﹣双旋点”（0°≤α≤180°）区域为半径等于2的⊙O所包括的范围． 由于0°≤α≤180°，则只有当点Q在y轴左侧时，点A才可能是点Q的“α﹣双旋点”． ∴所有满足要求的点Q形成的封闭区域为半径为1和2的⊙O所形成的圆环的左半侧部分． 故该区域面积Sπ． 18．【解答】解：（1）当圆心在坐标原点时，直线l为y＝0时， ∵⊙O的半径为2，点P（4，0）． ∴M（2，0），N（﹣2，0），PM＝2，PN＝6，， ∵， ∴， 设Q点坐标为（x，y），则QM＝|2﹣x|，QN＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|， ∴， ∴|2+x|＝3|2﹣x|， ∴2+x＝6﹣3x，或2+x＝3x﹣6， ∴x＝1，或x＝4， ∴E（1，0）是点P关于⊙O的密切点． 故答案为：E． （2）①依题意直线l：y＝kx+b过定点P（4，0）， ∵k ∴将P（4，0）代入yx+b得： 04+b， ∴b， ∴yx． 如图，作MA⊥x轴于点A，NB垂直x轴于点B， 设M（x，x），由OM＝2得： x24， ∴5x2﹣4x﹣10＝0， 则M，N两点的横坐标xM，xN是方程5x2﹣4x﹣10＝0的两根， 解得xM，xN， ∴AB，PA，PB， ∵， ∴，， ∴， ∴HA， ∴OH＝OA﹣HA1， ∴Q（1，1）． ②点P关于⊙O的密切点的轨迹为切点弦ST（不含端点），如图所示： ∴﹣1≤t＜0或2＜t≤3． 19．【解答】解：（1）①∵点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α关联点”， ∴C关于AB的对称点C'1为（﹣1，0），C2关于AB的对称点C'2为（﹣1，1），C3关于AB的对称点C'3为， 如图，C1符合条件， 连接AC1、BC1， ∵A，C1（0，0）， ∴， ∴△AC1C1为等边三角形，∠AC1C1＝60°， 同理∠BC1C1＝60°， ∴∠AC1B＝120°＝α， 故答案为：C1，120； ②由①知，∠AC1B＝120°， 如图，作⊙O关于直线AB的对称⊙O'， ∴O（﹣1，0），⊙O与x轴交于点（﹣2，0）， 若当D在⊙O优弧AB上时，∠ADB＝180°﹣120°＝60°， ∴点D是弦AB的“60°关联点”， ∵点D的横坐标为m，⊙O'与x轴交于点（﹣2，0），，． ∴点D的取值范围为， 故答案为：． （2）作⊙O关于AB的对称圆⊙O'， ∵点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α关联点”， ∴点C应在⊙O'的圆内或圆上， ∴点P需要在⊙'O的圆内或圆上， ∵点P是直线y＝﹣2x+1上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的°90°关联点”， ∴PM，PN是⊙O的两条切线，点P在以弦MN为直径的圆上， ①如图，当P在第二象限时，连接OM，ON，当P点为处于临界状态时，则OP最大，作以MN为直径的圆， ∵OM＝ON＝1，∠MPN＝90°， ∴∠MON＝180°﹣∠MPN＝90°， ∴， ∵PM，PN是⊙O的两条切线， ∴OM⊥PM，ON⊥PN， ∴四边形OMPN是正方形， ∴， ∵点P是直线y＝﹣2x+1上一点， 设P（n，﹣2n+1）， ∴n2+（1﹣2n）2＝2， 解得：n＝1（舍去）或； ∵P（n﹣2n+1）在第二象限，则n＜0， 观察图形，当n＝0时，即点P在y轴上时符合题意， ∴； ②如图，当P在第四象限时， 同理可得：n2+（1﹣2n）2＝2， 解得：n＝1或（舍去）， 当点P位于直线y＝﹣2x+1与⊙O的交点时，OP最小， 观察图形，OP＝1， ∴n2+（1﹣2n）2＝1， 解得：n＝0（舍去）或， ∴； 综上所述，n的取值范围是或． 20．【解答】解：（1）①AB1的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为， 故点B1符合定义； AB2的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为， 故点B2符合定义； AB3的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为， 故点B3不符合定义； 故答案为：B1、B2； ②根据定义，△OAB为直角三角形， ∵O（0，0），A（0，1）， 由图可知，若∠AOB＝90°，则点B在x轴上，不符合题意； 若∠ABO＝90°，则OB＜OA＝1＜2，则点B在⊙O内，不符合题意； 故只有∠OAB＝90°一种情况， ∴AB⊥y轴， ∴点B的纵坐标为1，设B（xB，1）， 则AB的中点坐标为，即， ∴， 解得，或（由题意，负值舍去）， ∴； ③设该点为点C（c，kc+b）， 由定义，可知AC的中点坐标为，即， 由定义，得， 整理，得（1+k2）c2+2（b+1）kc+b2+2b﹣15＝0， ∵有且只有一个点满足定义， ∴Δ＝[2（b+1）k]2﹣4（1+k2）（b2+2b﹣15）＝0， ∴16k2﹣b2﹣2b+15＝0， 求点A关于⊙O的“直角关联点”，由②可知，∠ACO＝90°的情况不存在，所以分两种情况： 当∠AOC＝90°时， 由②可知，点C在x轴上， ∴C（c，0），此时AC的中点坐标为，即， ∴， 解得，或， ∴，即或，即， 分别代入16k2﹣b2﹣2b+15＝0，解得（负值已舍去）， 当∠OAC＝90°时， 由②可知，，或，kc+b＝1， ∴，即， 或，即， 分别代入16k2﹣b2﹣2b+15＝0，解得（负值已舍去）， ∴的值为或． （2）如图，构造⊙P，由题意，可知，点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，且在⊙P内， 当∠PDQ＝90°时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在⊙P上，为最近端，和点D在PC上，为最远端， 显然，当点D在⊙P上时，记为D1，此时点Q也在⊙P上， 当点D在PC上时，记为D2，设此时D2的“直角关联点”为点M，中点为N， ∴PD2＝PC﹣CD2＝3﹣1＝2， ∴， ∴， ∴， ∴当⊙T的圆弧均在如图所示的圆环中时，满足题意， 分两种情况， 第一种：⊙T的圆心在圆环中，直径小于圆环宽度，即， ∴； 第二种，⊙T的圆心与点P重合，圆弧在圆环内，且当⊙T为圆环最外部时仍满足题意，即PC＜r≤PM， ∴； 当∠DPQ＝90°时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在⊙P上，为最近端，和点D在PC上，为最远端， 当点D在⊙P上时，记为D1，设此时D1的“直角关联点”为点M1，中点为N1， ∵∠D1PM1＝90°， ∴D1M1＝2PN1＝6， ∴， 当点D在PC上时，记为D2，设此时D2的“直角关联点”为点M，中点为N， 同理，可得D2M2＝2PN2＝6， ∴， 同之前说理，分两种情况， 第一种：⊙T在圆环内，此时， 第二种：⊙T的圆心与点P重合，此时， 综上，或3或． 21．【解答】解：（1）由图可知，则A1B1无法为⊙O关于直线l的引入弦，A2B2与A3B3符合题意． 故答案为：A2B2、A3B3； （2）∵， ∴要使得线段AB，AC和BC中，至少有一条线段是⊙O的引入弦，则AC与BC中较小的一个最小值得小于等于2， ∴C只能在如图红色线段上， ∴﹣1≤y≤3； （3）MN是⊙O关于直线y＝﹣x+b的引入弦，且MN＝1，那么对称后的M′N′为⊙O上的一条弦，且M′N′＝1， 那么我们可以通过确定好M′N′轨迹，从而判断出MN轨迹． ∵r＝1，M′N′＝1， ∴M′N′在⊙O运动时，可以生成一个半径为与半径为1的圆环， 那么MN就在以O′（b，b）为圆心，半径为与半径为1的圆环内， 要使得MN与EFGH有交点，则圆环O′与EFGH有交点． ①当半径为1的⊙O′过点G时，此时； ②当半径为的⊙O′过点E时，此时； ③当半径为的⊙O′过点G时，此时； ④当半径为1的⊙O′过点E时，此时； 综上所述，或． 22．【解答】解：（1）如图1中， ∵d（T﹣⊙A）＝2， ∴CB＝CB′＝2， ∵AC＝5， ∴AB′＝5﹣2＝3，AB＝5+2＝7． 故答案为：3或7． （2）①如图2中，连接OC交⊙O于E． ∵C（4，3）， ∴OC5， ∵OE＝2， ∴EC＝3， ∴d（T﹣⊙O）＝3． 故答案为：3． ②如图，设直线y＝kx+2与⊙O相切于E，K．连接OK，OE． ∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD＝2，OE＝OK＝2， ∴DK2，DE2， ∴DE＝OE＝DK＝OK， ∴四边形DEOK是菱形， ∵∠DKO＝∠DEO＝90°， ∴四边形DEOK是正方形， ∴∠ODE＝∠ODK＝45°， ∴直线DE的解析式为y＝﹣x+2，直线DK的解析式为y＝x+2， ∵d（T﹣⊙O）＞0， ∴观察图象可知满足条件的k的值为﹣1＜k＜1且k≠0． （3）如图3﹣1中，当点P在DE的右边时． ∵D（5，5）， ∴∠DOP＝45°， ∵d（T﹣⊙P）＝1， ∴OP＝5+1+2＝8 ∴t＝8． 如图3﹣2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM＝1，OP＝1+2＝3，t＝﹣3． 综上所述，满足条件的t的值为8或﹣3． 23．【解答】解：（1）①如图，AP1⊥x轴，OB⊥BP2， 根据定义可知，当点P不在⊙O上时都是⊙O的关联点，则点P1和P2都是⊙O的关联点． 在Rt△OP1A中，cos∠P1OA，则∠P1OA＝45°； 在Rt△P2BO中，cos∠P2OB，则∠P1OA＝60°； 故点P1和P2都是⊙O的关联点．关联角分别为45°和60°． ②如图，M（3，3），N（﹣3，3），点D在线段MN上，点G为MN与y轴的交点，⊙G、⊙M分别与⊙O相切与H、K． 由①可知当⊙D与⊙O相离时，⊙D上的点都是⊙C的关联点． ∴可由点D在线段MN上的位置，通过作⊙D与⊙O相切，可由⊙D的半径确定线段BD的长度l的范围． 当⊙O与⊙D相离时，⊙D上的所有点都在⊙O之外，符合题意： ∵OG＝GH+OH＝3，OM3OK+KM，OK＝OH＝2， ∴GH＝1，KM＝32． ∴0＜l＜32． 当⊙D包含⊙O时，⊙D上的所有点也在⊙O之外，符合题意： 此时l＞KM+4，即l＞32． 故答案为：0＜l＜32或l＞32． （2）如图，点M（0，3），点N（3，0），⊙M、⊙N、⊙H都是半径为4的等圆，且圆心都在射线MN上．点F在⊙N上，点E在⊙H上． 根据题意yT＝3﹣xT，由于xT＞0，则点T在射线MN：y＝﹣x+3上， 从图中可以看出，当点T在线段MN（不包括两个端点）上时，线段EF上所有点都在⊙T内，都是⊙T的关联点，符合题意． 此时0＜t＜3， 当点T在线段NH上时，⊙T与线段EF有公共点，不符合题意． 当点T在线段NH的延长线上时，即t＞xH，⊙T与线段EF无公共点，线段EF上所有点都是⊙T的关联点，符合题意． 此时xH＝xE+4×cos45°＝1+2，故t＞1+2， 综上，0＜t＜3或t＞1+2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $