一轮练习-圆分题型演练2025-2026学年苏科版九年级数学下册

**基本信息** 以圆的核心概念为起点，通过十大模块系统构建"概念-定理-应用"逻辑链条，提炼垂径定理与勾股定理结合等8类解题通法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆内最长弦|5题|直径性质应用|弦长范围→直径是最长弦| |垂径定理|5题|垂径定理+勾股定理|垂直弦→弦长一半、半径、弦心距关系| |圆心角|5题|等弧对等圆心角|圆心角与弧、弦关系推导| |圆周角|5题|圆周角定理及推论|圆心角与圆周角转化| |折叠问题|5题|对称性质+圆性质|折叠前后弧、角关系应用| |隐藏圆最值|5题|轨迹思想+三点共线|动态点轨迹确定最值| |内接四边形|5题|内对角互补|圆内接四边形角度转化| |正多边形和圆|5题|中心角与半径关系|正多边形边长、边心距计算| |阴影面积|5题|割补法+扇形面积公式|不规则图形面积转化| |旋转求解|5题|旋转性质+全等/勾股|图形旋转后线段、角关系|

一轮练习-圆分题型演练2025-2026学年苏科版九年级数学下册 一．圆内最长弦（共5小题） 1．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是 　 　 ． 2．若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，圆O的弦中最长的是（　　） A．AB B．CD C．EF D．GH 4．A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（　　） A．AB＞0 B．0＜AB＜5 C．0＜AB＜10 D．0＜AB≤10 5．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为（　　）cm． A．2 B．4 C．8 D．16 二．垂径定理（共5小题） 6．如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝6，则CD长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．5 7．如图所示，圆O的直径AB与弦MN相交于点P．已知圆的直径AB＝4，∠APN＝45°，则MP2+NP2的值是（　　） A．8 B．8 C．4 D．4 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝2，CD＝8，则⊙O半径为（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 9．如图⊙O的半径OD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则AB长为（　　） A．8 B．12 C．16 D． 10．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AE＝BE B．OE＝DE C．AO＝CO D． 三．圆心角（共5小题） 11．如图，在⊙O中，∠AOB＝45°，则∠COD＝（　　） A．60° B．45° C．30° D．40° 12．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 13．如图，在⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝BC B．CD＝CE C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA 14．如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（　　） A．37° B．74° C．53° D．63° 15．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（　　） A．48° B．24° C．22° D．21° 四．圆周角（共5小题） 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 17．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝66°，则∠OBC的大小是（　　） A．33° B．24° C．32° D．57° 18．如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．80° B．70° C．50° D．40° 19．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝77°，则∠B的大小是（　　） A．33° B．37° C．43° D．47° 20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝65°，则∠BAD的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 五．折叠问题（共5小题） 21．如图，将沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则∠AOC＝　 　 度． 22．如图，AB是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧BC沿BC所在的直线折叠后与直径AB交于点D，当AB＝8，OD＝2时，折痕BC＝　 　 ． 23．如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与相交于点D．若，则∠B＝　 　 ． 24．如图所示，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，将半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦AC恰好落在直径AB上，则折痕AD的长为　 　 cm． 25．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（　　） A．45° B．30° C．75° D．60° 六．隐藏圆最值问题（共5小题） 26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝24，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为 　 　 ． 27．如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，连接MN，P是直径AB上的动点，若弦MN＝2，则△PMN周长的最小值为 　 　 ． 28．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点．且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E，F．若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，则PC+PD的最小值是 　 　 ． 29．如图，正方形ABCD内接于⊙O，且AB＝4，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF，则CF长的最小值为 　 　 ． 30．如图，AB是半圆O的直径，点C、D在半圆O上，点D是弧BC的中点，点P是直径AB上的动点，连接AC．若AB＝2，∠CAB＝20°，则PC+PD的最小值为 　 　 ． 七．内接四边形求角度（共5小题） 31．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连结OC，BD，OC⊥BD，若∠A等于70°，则∠ADB的度数为 　 　 ． 32．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ABC＝125°，则∠ADC＝　 　 度． 33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝55°，则∠DCE＝　 　 ． 34．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，若∠CAB＝20°，则∠D＝　 　 °． 35．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠B+∠CDA＝　 　 ． 八．正多边形和圆（共5小题） 36．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为2，则正六边形ABCDEF的边心距是 　 　 ． 37．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为 　 　 ． 38．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P在AE上，则∠CPB的度数为 　 　 ． 39．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧CD上一点（不与点C重合），则∠BPC的度数为 　 　 ． 40．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AF是⊙O的直径，P是⊙O上的一点（不与点B，F重合），则∠BPF的度数为 　 　 °． 九．阴影部分面积（共5小题） 41．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．若∠CDE＝40°，则图中阴影部分的面积为 　 　 （结果保留π）． 42．如图，在⊙O内有一个平行四边形OABC，点A，B，C在圆上，点N为边AB上一动点（点N与点B不重合），⊙O的半径为1，则阴影部分面积为 　 　 ． 43．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，取AD的中点E，连接BE、CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面积是 　 　 ． 44．如图，分别以正方形ABCD的顶点D，C为圆心，以AB长为半径画，．若AB＝2，则阴影部分的周长为 　 　 （结果保留π）． 45．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．（结果保留π） 十．旋转求解（共5小题） 46．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝98°，则∠C的度数为 　 　 ． 47．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB＝3，则PP′＝　 　 ． 48．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE．若AD∥BC，则∠BDE的度数为 　 　 °． 49．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数（　　） A．35° B．75° C．55° D．65° 50．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图，1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，2，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以以AP为一边在AP右侧作等边三角形APP'，连接CP'，此时可证△ACP'≌△ABP，这样就可以将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程； 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． （2）基本运用 如图2，点P为等边△ABC外一点，∠APC＝30°，，AP＝3，求PC长． （3）能力提升 如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA+PB+PC的最小值是 　 　 ． 参考答案与试题解析 一．圆内最长弦（共5小题） 1．【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦， ∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）． 故答案为：6cm． 2．【解答】解：∵若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上， ∴AB的长不可能是5， 故选：D． 3．【解答】解：如图所示，圆O的弦中最长的是AB． 故选：A． 4．【解答】解：∵圆中最长的弦为直径， ∴0＜AB≤10． 故选：D． 5．【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm， ∴⊙O的半径为4cm． 故选：B． 二．垂径定理（共5小题） 6．【解答】解： 设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣1， ∵AB⊥CD，AB＝6， ∴AE＝BE＝3，∠AEO＝90°， 在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO2＝AE2+OE2， R2＝（R﹣1）2+32， 解得：R＝5， 即CD＝10， 故选：A． 7．【解答】解：如图所示，过点O作OC⊥MN于点C，连接ON，则NC＝MC， ∵∠APN＝45°， ∴OC＝PC， ∵MP2+NP2＝（NC﹣PC）2+（NC+PC）2 ＝2（NC2+PC2） ＝2（NC2+OC2） ＝2ON2， ∵AB＝4， ∴ON＝2， ∴MP2+NP2＝2×22＝8， 故选：B． 8．【解答】解：设⊙O半径为R，则OE＝（R﹣2），OC＝R， ∵AB⊥CD，CD＝8，AB过圆心O， ∴CE＝DE＝4，∠OEC＝90°， 由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2， ∴R2＝42+（R﹣2）2， 解得：R＝5， 即⊙O的半径为5， 故选：C． 9．【解答】解：连接OA，如图所示： ∵⊙O的半径OD＝10， ∴OA＝OC＝OD＝10， 又∵OM：OC＝3：5， ∴OM＝6， ∵AB⊥CD于点M， ∴AM＝BM， 在Rt△AOM中，AM8， ∴AB＝2AM＝16， 故选：C． 10．【解答】解：如图所示， ∵CD⊥AB， ∴AE＝BE，弧AD＝弧BD， ⊙O的半径都相等，那么AO＝CO， 不能得出OE＝DE． 故选：B． 三．圆心角（共5小题） 11．【解答】解：∵， ∴∠COD＝∠AOB＝45°． 故选：B． 12．【解答】解：连接OC、OD， ∵BC＝CD＝DA， ∴， ∴弦BC、CD、DA三等分半圆， ∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°， ∴∠BCD（180°+60°）＝120°． 故选：C． 13．【解答】解：∵， ∴AC＝BC， ∴A选项正确，不符合题意． ∵， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OA＝OB，点D，E分别是半径OA，OB的中点， ∴OD＝OE， 又∵OC＝OC， ∴△CDO≌△CEO（SAS）， ∴∠DCO＝∠ECO，CD＝CE， ∴B选项正确，不符合题意． ∵OA＝OC＝OB，∠AOC＝∠BOC， ∴∠ACO＝∠BCO， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴C选项正确，不符合题意． 假设CD⊥OA， ∵CD⊥OA，点D是半径OA的中点 ∴CD＝C0， ∴△AOC是等边三角形， 这题目条件矛盾． ∴D选项不正确，符合题意． 故选：D． 14．【解答】解：如图，连接OA， ∵A是劣弧的中点， 即弧DA＝弧FA， ∴∠DOA＝∠FOA， ∵∠EOD＝32°， ∴， ∵OD＝OA， ∴， 即∠CDA＝53°． 故选：C． 15．【解答】解：连接OC、OD， ∵AB＝CD，∠AOB＝42°， ∴∠AOB＝∠COD＝42°， ∴∠CED∠COD＝21°． 故选：D． 四．圆周角（共5小题） 16．【解答】解：∵∠BAC＝35°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°． 故选：C． 17．【解答】解：∵∠A＝66°， ∴∠BOC＝2∠A＝132°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB24°， 故选：B． 18．【解答】解：由题意得，∠ACB∠AOB80°＝40°． 故选：D． 19．【解答】解：∵∠D＝∠A＝40°， ∴∠B＝∠APD﹣∠D＝37°， 故选：B． 20．【解答】解：连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ACD＝65°， ∴∠BCD＝25°， ∴∠BAD＝∠BCD＝25°， 故选：A． 五．折叠问题（共5小题） 21．【解答】解：过O点作OD⊥AC交AC于D，交于E，连接OC，BC． ∴ODOE，AD＝CD， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，ODBC， 又∵OC＝OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°． 故答案为：120． 22．【解答】解：过C点作CH⊥AB于H点，连接CD、OC，如图， ∵AB＝8，OD＝2， ∴AD＝6， ∵圆弧BC沿BC所在的直线折叠后与直径AB交于点D， ∴和所在的圆为等圆， ∵和所对的圆周角都是∠ABC， ∴， ∴CA＝CD， ∵CH⊥AD， ∴AH＝DH， 当点D在O点右侧时，AD＝OA+OD＝6， ∴AH＝DHAD＝3， ∴OH＝DH﹣OD＝3﹣2＝1， 在Rt△OCH中，CH， 在Rt△BCH中，BC2； 当点D在O点左侧时，AD＝OA﹣OD＝2， ∴AH＝DHAD＝1， ∴OH＝DH+OD＝1+2＝3， 在Rt△OCH中，CH， 在Rt△BCH中，BC2 综上所述，BC的长为2或2 故答案为：2或2． 23．【解答】解：如图，取点D关于AB的对称点E，连接OC，BE．则∠DBC＝∠EBC， ∴， ∵∠ABC＝∠DBC， ∴∠ABC＝∠EBC， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠B， ∵∠AOC＝∠B+∠OCB， ∴∠B＝18°． 故答案为：18°． 24．【解答】解：如图，连接BC、BD、OD； ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°，由勾股定理得： BC2＝AB2﹣AC2＝100﹣36＝64， BC＝8； 由题意得：∠CAD＝∠BAD， ∴， ∴OD⊥BC，BE＝CE4； ∴OE3，DE＝5﹣3＝2， 由勾股定理得：BD2＝22+42＝20； ∵AD2＝102﹣20， ∴． 故答案为：4 25．【解答】解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于C，则∠ODA＝∠ODB＝90°， ∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O， ∴OD＝CDOCOAOB， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝120°， ∴∠APBAOB＝60°， 故选：D． 六．隐藏圆最值问题（共5小题） 26．【解答】解：如图，连接CE， ∴∠CED＝∠CEA＝90°， ∴点E在以AC为直径的⊙Q上， ∵AC＝20， ∴QC＝QE＝10， 当点Q、E、B共线时BE最小， ∵BC＝24， ∴QB26， ∴BE＝QB﹣QE＝16， ∴BE的最小值为16， 故答案为：16． 27．【解答】解：如图，作点N关于AB的对称点N′，则点N′在⊙O上，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即PM+PN＝MN′， ∵点N是的中点，∠BAM＝20°， ∴， ∴∠BAN′＝10°， ∴∠MAN′＝20°+10°＝30°， ∴∠MON′＝60°， ∴△MON′是正三角形， ∴OM＝ON′＝MN′AB＝6， 又∵MN＝2， ∴△PMN周长的最小值为2+6＝8， 故答案为：8． 28．【解答】解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图， ∵PC＝PC′， ∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′， ∴此时PC+PD的值最小， ∵， ∴∠COD＝∠AOD＝80°， ∴∠BOC＝20°， ∵点C和点C′关于AB对称， ∴∠C′OB＝20°， ∴∠DOC′＝120°， 作OH⊥DC′于H，如图， 则∠ODH＝30°， 则C′H＝DH， 在Rt△OHD中，OHOD， ∴DHOH， ∴DC′＝2DH＝5， ∴PC+PD的最小值为5． 故答案为：5． 29．【解答】解：如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K， ∵AF⊥BE， ∴∠AFB＝90°， ∵AK＝BK， ∴KF＝AK＝BK， ∵AB＝BC＝4， ∴KF＝AK＝KB＝2， ∵∠CBK＝90°， ∴CK2． ∵CF≥CK﹣KF， ∴CF≥22， ∴CF的最小值为22． 故答案为22． 30．【解答】解：作点D关于AB的对称点为点E，连接CE交AB于点P，连接PD，OC，OD，OE， ∴PD＝PE，AB⊥DE， ∴PC+PD＝PC+PE＝CE，此时PC+PD有最小值， ∵∠CAB＝20°， ∴∠COB＝2∠CAB＝40°， ∵点D是弧BC的中点， ∴， ∴∠COD＝∠DOB∠COB＝20°， ∵AB⊥DE， ∴， ∴∠BOE＝∠DOB＝20°， ∴∠COE＝∠COB+∠BOE＝60°， ∵OC＝OE， ∴△COE是等边三角形， ∴CE＝OC＝OEAB＝1， ∴PC+PD的最小值为1， 故答案为：1． 七．内接四边形求角度（共5小题） 31．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝70°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°， ∵OC⊥BD， ∴， ∴∠CDB＝∠CBD（180°﹣110°）＝35°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB＝35°， 故答案为：35°． 32．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°， ∴∠ADC＝180°﹣125°＝55°． 故答案为：55． 33．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DCE＝∠A＝55°． 故答案为：55°． 34．【解答】解：∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝20°， ∴∠B＝90°﹣20°＝70°， 在圆内接四边形ABCD中， ∠ADC＝180°﹣70°＝110°． 故答案为：110． 35．【解答】解：连接AB， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠CDA＝180°， ∵为50°， ∴∠ABE＝25°， ∴∠CBE+∠CDA＝180°﹣25°＝155°， 故答案为：155°． 八．正多边形和圆（共5小题） 36．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为2， 而正六边形可以分成六个边长相等的正三角形， ∴正多边形的半径即为正三角形的边长， ∴正三角形的边长为2， ∴正三角形的高为， ∴正六边形ABCDEF的边心距是． 故答案为：． 37．【解答】解：连接AC，OD，OH， ∵四边形ABCD是圆内接正四边形，∠ADC＝90°， ∴AC是圆的直径，AC＝2， ∵AD2+CD2＝AC2， ∴， ∵DH＝AH， ∴弧DH＝弧AH， ∴OH⊥AD， ∴， 故答案为：． 38．【解答】解：如图，连接OB，OC． ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠BOC72°， ∴∠CPB∠BOC＝36°． 故答案为：36°． 39．【解答】解：如图，连接OC，OB， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠COB＝360°÷5＝72°， ∴∠BPC∠COD＝36°， 故答案为：36°． 40．【解答】解：连接OC，OD， ∵正五边形ABCDE的五个顶点把圆五等分， ∴， ∴∠AOC＝∠AOD， ∴∠COF＝∠DOF， ∵OC＝OD， ∴直径AF⊥CD， ∴， ∵∠COD360°＝72°， ∴∠COF36°， 当P在上时，连接OB，BP，FP， ∵∠BOC360°＝72°， ∴∠BOF＝∠BOC+∠COF＝108°， ∴， 当P在上时， 由圆内接四边形的性质得∠BPF＝180°﹣54°＝126°． ∴∠BPF的度数是54°或126°． 故答案为：54或126． 九．阴影部分面积（共5小题） 41．【解答】解：如图，连接OC， ∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB， ∴四边形CDOE是矩形， ∴OD＝CE，DE＝OC，CD∥OE， ∵∠CDE＝40°， ∴∠DEO＝∠CDE＝40°， 在△DOE和△CEO中， ， ∴△DOE≌△CEO（SSS）， ∴∠COB＝∠DEO＝40°， ∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积， ∵S扇形OBC， 故答案为：． 42．【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，OA＝OC， ∴四边形OABC是菱形， ∴∠AOB＝∠BOC， ∵OC∥AB， ∴∠ABO＝∠BOC， ∴∠ABO＝∠AOB， ∴AB＝OA＝OB， ∴∠AOB＝60°， ∵AB∥OC， ∴S△ONC＝S△OBC， ∴S阴影＝S扇形OAB， 故答案为：． 43．【解答】解：在矩形ABCD中， ∵AB＝1，AD＝2，E是AD中点， ∴ED＝AE＝1，AD∥BC， ∴∠ABE＝∠AEB＝45°， ∴∠GBE＝∠AEB＝45°， ∴AB＝AE＝1，BE， ∴图中阴影部分的面积＝2S扇形BEG﹣S△BEC＝21×21． 故答案为：1． 44．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴的长的长•π×2＝π， ∴阴影部分的周长的长的长+AD+BC ＝π+π+2+2 ＝2π+4． 故答案为：2π+4． 45．【解答】解：作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝10，BC＝12， ∴BD＝CD＝6， ∴AD8， ∴S阴影部分12×8π×52＝48． 故答案为：48． 十．旋转求解（共5小题） 46．【解答】解：∵∠AOC＝98°， 由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°， ∴∠AOB＝98°﹣40°＝58°， ∵△AOD中，AO＝DO， ∴∠A（180°﹣40°）＝70°， ∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣58°＝52°， 由旋转可得，∠C＝∠B＝52°， 故答案为：52°． 47．【解答】解：根据题意将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP'重合， 结合旋转的性质可得BP＝BP′，∠PBP′＝90°， 根据勾股定理，可得PP′3； 故答案为3． 48．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC＝50°，AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∵AD∥BC， ∴∠ABC＝∠DAB＝50°， ∴∠ADB65°， ∴∠BDE＝∠BDA﹣∠ADE＝65°﹣50°＝15°； 如图， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴AB＝AD，∠ADE＝∠ABC＝50°， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠FAB＝∠CBA＝50°， ∴∠BAD＝130°， ∴∠BDA25°， ∴∠BDE＝∠BDA+∠ADE＝25°+50°＝75°， 故答案为：15或75． 49．【解答】解：根据题意，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C， 由旋转的性质，可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′， ∵∠A′DC＝90°， ∴∠A′＝90°﹣∠ADA′＝55°， ∴∠A＝∠A′＝55°． 故选：C． 50．【解答】解：（1）∵△APP'和△ABC都是等边三角形， ∴AB＝AC，AP＝AP'＝PP'＝1，∠BAC＝∠PAP'＝60°， ∴∠BAP＝∠CAP'， ∴△ABP≌△ACP'（SAS）， ∴BP＝P'C，∠APB＝∠AP'C， ∵P'P2+P'C2＝1+3＝4，PC2＝4， ∴PP'2+P'C2＝PC2， ∴∠PP'C＝90°， ∴∠AP'C＝150°， ∴∠APB＝150°； （2）如图②，将△BCP绕点C顺时针旋转60度，得到△ACE，连接PE，AE， ∴BP＝AE，CP＝CE，∠PCE＝60°， ∴△PCE是等边三角形， ∴PE＝PC，∠CPE＝60°， ∵∠APC＝30°， ∴∠APE＝90°， ∴PE2， ∴CP＝2； （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC， ∵△APB绕B点瞬时针方向旋转60°， ∴△A'P'B如图3所示， ∴∠A'BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'P'B， ∴A'B＝AB＝2，BP＝BP'，A'P'＝AP， ∴△BPP'是等边三角形， ∴BP＝PP'，∠BPP'＝∠BP'P＝60°， ∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°， ∴∠CPB+∠BPP′＝∠BP′A'+∠BP′P＝120+60＝180°， ∴当C、P、A'、P'四点共线，PA+PB+PC的值最小， 在Rt△A'BC中，A′C， ∴PA+PB+PC＝A′P′+P′P+PC＝A′C′． 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $