广东东莞实验中学等校2025-2026学年第二学期期中教学质量自查高二数学

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦排列组合、导数应用等核心知识，以端午节购粽、乡村振兴工厂利润等真实情境设计问题，梯度覆盖基础巩固与创新应用，适配期中教学检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数单调区间、二项式常数项、排列组合（端午节购粽）|基础概念与文化情境结合| |多选题|3/18|组合数性质、二项式系数和|多维度辨析逻辑推理| |填空题|3/15|排列数计算、三次函数拐点|创新定义应用（拐点）| |解答题|5/77|导数切线与最值、志愿者分配、乡村振兴利润建模|综合考查数学建模与逻辑推理（如利润函数求最值）|

2025—2026 学年第二学期期中教学质量自查 高二 数学 命题人：傅利门 审题人：唐建 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项） 1．计算：（   ） A．120 B．90 C．60 D．30 2．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 3．的展开式中常数项是（　 　） A．8 B．16 C．24 D．32 4．端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（  ） A．4 B．16 C．32 D．64 5．函数的图象大致为（  ） A． B． C． D． 6．若直线是曲线与曲线的公切线，则（  ） A．0 B．1 C． D． 7．已知定义在上的函数满足，则（  ） A． B． C． D． 8．已知函数有两个极值点，求的取值范围（  ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分） 9．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．若，则正整数x的值是1 10．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（  ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 11．已知函数，则（   ） A．函数在上单调递减，在上单调递增 B． C．若，则实数的取值范围是 D．当时，若方程有且只有一个根，则 3、 填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 13．展开式中，的系数为_________. 14．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算__________． 四、解答题（共5小题，共77分，要求有解析过程） 15．（13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 16．（15分）某校志愿者团队共派出6人参加志愿服务活动，其中男生4人，女生2人． (1)从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，共有多少种选法？ (2)从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有多少种选法？ (3)活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边，有多少种不同的排法？ (4)现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？ 17．（15分）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台（）获得的利润 （利润销售收入固定成本流动成本）为万元. （参考数据） (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 18．（17分）已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值； (2)若，且，求被5除的余数； (3)若，求的展开式中系数最大的项. 19．（17分）已知函数． (1)讨论单调性； (2)若恒成立，求的值； (3)当时，证明：当时，恒成立． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026 学年第二学期期中教学质量自查参考答案 高二 数学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B D A A B A ABC AD BC 1．A【详解】. 2．C【详解】易知函数的定义域为，， 又，令，解得.所以函数的单调递增区间为. 3．B【详解】的展开式的通项为， 令，即，则常数项为.故选：B. 4．D【详解】端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则每位同学都有4种不同的购买方式种数，故总共有种不同的购买方式种数. 故选：D 5．A【详解】或时；时，排除B、D； ，则，得；得或， 故在上单调递增，在和上单调递减，排除C.故选：A 6．A【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得，即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即，由题意得，即，解得，故选：A. 7．B【详解】令，，故恒成立， 故在上单调递增，故，即.故选：B 8．A【详解】，，依题意得有两个左右异号的实根，即有两个左右异号的实根，所以和在上有两个交点， ，，记，， 显然在上恒成立，即在上单调递减，且， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，，所以在上单调递减， 所以，当趋向0时，趋向，当趋向时，趋向0， 综上，当，即时，和在上有两个交点.故选：A. 9．ABC【详解】选项A，因为，故A正确； 选项B，，故B正确； 选项C，由， ，得，故C正确； 选项D，因为，所以或，即或6，故D错误.故选：ABC. 10．AD【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 11．BC【详解】对A：，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对B：因，由，及在上单调递增， 可得，故B正确； 对C：，令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即，故C正确；对D：令，即， 由C知，函数在上单调递减，在上单调递增， 由，，， 若方程有且只有一个根，则或，故D错误. 12．18【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3中任取1个数字，有种选择；而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有种选择， 所以从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为种选择. 故答案为：18. 13．【详解】展开式中，的项为，则的系数为. 故答案为： 14．【详解】解：由题意，，， 由，得，解得，而，所以函数关于点，对称， 所以，. 故答案为：. 15．【详解】（1）对函数求导，，....................................1分 ， ....................................3分 所求得的切线方程为， .....................................4分 即； .....................................5分 （2）由（1）有， 令，解得：或， .....................................6分 故函数在递增，在递减， .....................................8分 故函数在取最大值， .....................................10分 ，， .....................................12分 故函数在的最大值为4，最小值为0． .....................................13分 16．【详解】（1）从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，分两步完成， 第一步从男生4人中选1人有4种选法，第二步从女生2人中选1人共2种选法，故有种选法； ............................................3分 （2）从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有2种情况： 第一种：男生选2人，女生选1人，共有种选法， 第一种：男生选1人，女生选2人，共有种选法， 故总共有种选法； .............................................7分 （3）活动后6人排成一排拍照共有种排法，男生甲与女生乙有2种排法，满足顺序排法相同， 所以活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边共有排法； .........................10分 （4）现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，则三所学校分配志愿者人数为：， 若人数为，则有种安排方法， 若人数为，则有种安排方法， 若人数为，则有种安排方法， 根据分类加法计数原理共有种安排方法. .........................15分 （本题式子列对，结果正确即可给满分） 17． 【详解】（1）设，代入可得， .........................2分 所以， .........................3分 所以， 所以. .........................7分 （未写定义域扣1分） （2）因为， 所以， .........................9分 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， .........................11分 所以万元， .........................14分 所以当时有最大利润为万元. .........................15分 18【详解】（1）由二项式系数性质,仅第5项最大,则 为偶数且 ,解得 . ................1分 第4、5、6项系数、、,成等差数列得 . ................3分 代入 ,,, 整理得 ,解得 或 . 故 , 或 ； .........................5分 （2）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . .........................6分 又 ,则     .........................7分 .........................9分 故 被5除的余数为 . ........................10分 （3）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . ........................11分 展开式通项为 ,系数为 ,. ........................12分 设第 项系数最大,则满足由 ........................14分 得 ,即 . 由组合数计算公式得 .,故 ,解得. 由 得 ,即 .故 ,解得. 综上 ,即 或 . ........................16分 故系数最大的项为第3项和第4项:,； ........................17分 19.【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为， 且， ........................1分 ①当时，，故在单调递增； .......................3分 ②当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. ........................5分 （2）解：由函数的定义域为． ①若，由（1）知在单调递增， 因为，所以不满足恒成立； ........................7分 ②若，由（1）知，在单调递减，在单调递增， 故在时取得最小值，所以， ........................9分 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又因为，所以，当且仅当时取到等号， 所以的解为，故所以实数的值为. ........................11分 （3）证明：当，且时，则，可得． 要证明，即证， 而， 令，只需证明即可， ........................13分 由，再令，可得， 由于函数在上单调递增，所以在上单调递增， 则，即在上单调递增， ........................15分 可得，即在上单调递增， ........................16分 故，得证. ........................17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年第二学期期中教学质量自查 高二数学 命题人：傅利门审题人：唐建 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项) 1.计算：A×3!=（) A.120 B.90 C.60 D.30 2.函数f(x)=(x-2)e的单调递增区间是（ A.（-D,1) B.(0,2) C.(1,+0) D.(3,+∞) 3.(2+√)4的展开式中常数项是( ) A.8 B.16 C.24 D.32 4.端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不 同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是() A.4 B.16 C.32 D.64 5.函数f()=1的图象大致为() A. 6.若直线y=x+l(k∈R)是曲线y=lnx+2与曲线y=e+b(b∈R)的公切线，则b=() A.0 B.1 C.e D.1 7.已知定义在R上的函数f(x)满足sinf(x)+cosxf'(x)>0,则() A.r月B.( ）c.[周D.财[g 8.已知函数f(x)=xx+me有两个极值点，求m的取值范围() a.〔o B.60 c. D.(0, 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分， 部分选对得部分分，有错选的得0分) 9.下列结论正确的是（ A.3×4×5×6=A B.C2+C=C3 C.C+Cs+Cs+C=128 D.若C,=C1,则正整数x的值是1 10.已知3x-=4+4+4++a,且第5项与第8项的二项式系数相等，则《) A.n=11 B.展开式的二项式系数和为22 C.展开式的各项系数和为 n.号导+号- 33 11.已知函数f(x)=xnx,则( A.函数f(x)在(0，e)上单调递减，在(e,+o)上单调递增 .》 C.若a<y,则实数a的取值范围是〔品） D.当上≤x≤e时，若方程/()-b∈R)有且只有一个根，则是<bs2c 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12.从0,1,2,3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是·（用 数字作答) 13.（x2+x+1)展开式中，x的系数为 14.对于三次函数f(x)=ax+bx2+cx+d(a≠O)给出定义：设f'(x)是函数y=f(x)的导数，f"(x) 是函数∫(x)的导数，若方程"(x)=0有实数解x。,则称点(x,f(x)为函数y=f(x)的“拐点”， 某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点”就是对称中心。给定函数/()+，请你根据上面探究结果，计算 (2013 四、解答题（共5小题，共77分，要求有解析过程） 15.(13分)已知函数f(x)=x3-3.x+2. (1)求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程： (2)求f(x)在区间[-2，o]上的最值. 试卷第2页，共4页 16.(15分)某校志愿者团队共派出6人参加志愿服务活动，其中男生4人，女生2人 (1)从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，共有多少种选法？ (2)从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有 多少种选法？ (3)活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边，有多少种不同的排法？ (4)现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，共有多少种 不同的安排方法？ 17.(15分)为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农 机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另 投入流动成本()（万元）与血。成正比（其中x(台）表示产量)，并知当生产20台该产品 时，需要流动成本n2万元，每件产品的售价p(x)与产量x（台)的函数关系为 D(仪三00+0+0C万元)（其中x210).记当年销售该产品x台(210）获得的利随 (利润=销售收入-固定成本-流动成本)为∫(x)万元.（参考数据1n5≈1.609） (1)求函数∫(x)的解析式： (2)当产量x为何值时，该工厂的年利润f(x)最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 18。(17分)已知x+)a≠0)的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项第5项 第6项的系数成等差数列 (1)求a和n的值： ②)若a>1,且x=2,求+g 被5除的余数： (3)若a<1, 的展开式中系数最大的项 19.(17分)已知函数f(x)=x-1-alnx. (1)讨论f(x)单调性； (2)若f(x)≥0恒成立，求a的值： 3)当a时，证明：当x>1时，f(水e-1恒成立. 试卷第4页，共4页■口口☐ 2025-2026学年第二学期期中教学质量自查 高二数学答题卷 班级： 姓名： 考场： 座位号： 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色 字迹的钢笔或者铅笔填写 准考证号和姓名等，将条形 条形码粘贴区 码正确粘贴到指定的条形 码粘贴区域。 正确填涂■缺考标记口 单选题(40分) 1 CAJ CB]CC]CD] 5 CA]CB]C]CD] 2 CAJ CB]C]CD] 6 CA]CB]CC]C] 3 CA]CB]CC]CD] 7 CA]CB]CC]CD] 4 CA]CB]CC]CD] 8 CA]CB]CCJCD] 二、 多选题(18分) 9 CA]CB]CC]CD] 10 CA]CB]CC]CD] 11 CA]CB]CC]CD] 三、 填空题(15分) 12、(5分) 13、(5分) 14、(5分) 请勿在此区域作答 ▣■口口 四、解答题(77分) 15、(13分) 第1面共2面 ■ 16、(15分) ■ 17、(15分) ■ 18、(17分) 第2面共2面 ■ 19、(17分)2025—2026学年第二学期期中教学质量自查参考答案 高二数学 题号 12 345 678 9 10 11 答案 A BDAABA ABC AD BC 1.A【详解】A3×3!=5×4×3×2×1=120 2.C【详解】易知函数f(x)的定义域为R,f"(x)=e+(x-2)e=(x-1)e, 又e>0,令f'(x)>0,解得x>1.所以函数f(x)的单调递增区间为(1，+∞) 3.B【详解】(2+V)的展开式的通项为T,1=C:24·x2, 令行=0，即)-0，则常数项为C2“=16故选：B 4.D【详解】端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中 一种口味的粽子，则每位同学都有4种不同的购买方式种数，故总共有4=64种不同的购买方式种数. 故选：D 5.A【详解】x<-1或x>1时∫(x)>0;-1<x<1时f(x)<0,排除B、D: )。,则f)=之，f0得1-5<1万：了<0得1-5政x>1+5, e* 故f(x)在1-V2,1+V2)上单调递增，在(-m,1-V2)和1+V2,+∞)上单调递减，排除C故选：A 6.A【详解】设f)=nx+2,了)=，设切点为a,血a+2),则切线斜率为 则切线方程为y-ma+2)=二x-a,即y=】x+na+1, 由题遮得=加+14ha+1,即层-女 ,解得：即)与②的公切线为立 a ha+1=1 g(x)=e*+b,g'(x)=e,设切点为(c,e°+b),则切线斜率为e, 则切线方程为y-(e+b)=e(x-c),即y=ex+b+e1-c),由题意得y=x+1=ex+b+eI-c),即 e=1 b=0 b+ea-c=1解得Q-0,故选：A 7.B【详解】令F)=但，x≠+mk∈Z,故F')=")cosr+f)sim>0恒成立， COS-x 即 c0s 3 1 故选：B 6 3 2 2 8.A【详解】f(x)=xlnx+e,f'(x)=1+hx+e,依题意得f'(x)=1+lnx+e=0有两个左右异号 的实根，即-m=1+血x有两个左右异号的实根，所以y=-m和g)=1+血x在(0，+)上有两个交点， e ex g(x)=1+h e’g'()= 是1-h,记=1-，M)= e Γx2-x 显然h(x)<0在(0，+o)上恒成立，即(x)在(0，+w)上单调递减，且hI)=0, 当x∈(0,1]时，h(x)≥0，g'(x)≥0，所以g(x)在(0，]上单调递增， 当x∈1，+o)时，h(x)<0,g'(x)<0,所以g(x)在(L,+∞)上单调递减， 所以g网m=g0-。当趋向0时，g6创是向，当趋向+0时.g6)趋向0， 答案第1页，共5页 综上，当0<-m日即-<m<0时、少=-m和86)-1+n在0，+)上有两个交点故适：A e 9.ABC【详解】选项A,因为A=6×5×4×3,故A正确： 法质G-心数n0 选项C,由(1+1)8=C+C+C+C+C8+C+C+C%+C⑧=2， (1-1)8=C8-C+C-Cg+C-C+C-C8+C⑧=(，得C+C8+C8+C8=2=128,故C正确： 选项D,因为C,=C,所以x=2x-1或x+2x-1=17,即x=1或6，故D错误.故选：ABC 10.AD【详解】对于A:由题意可得C4=C,则n=11,故A正确；对于B:因为n=11,所以展开式的 二项式系数和为2，故B不正确： 对于C令1.则展并式的备项系数有为”[侣 ,所以C不正确： 对D令x=0,得风=，令得a+号+学++-3 1142 332 33,所以 ,故D正确， 1.Bc【详解1别a血+n1,当=0时，<0，当很时，()0， 故f(在0日)上单调递减，在日+ )上单调递增，故A错误： 可得得)品) 故B正确： 对c:a<-=rnr=rn,令g四=fn,则g()=2nx+2子xphx*l, 1 当xe0,e3时，g'(k0,当xee,+o时8'(>0， 故g(y)在0，e上单调递减，在ei,+∞上单调递增， 由C知，函数g()=rlnx在c,c上单调递减，在e,e2上单调递增。 )-me)-ei-安e-eie- 1 若方程了)-6∈R)有且只有-个根，则已<bs2E或b=公故D错误 2e 12.18【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1,2,3中任取1个数字，有C=3 种选择：而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有A?=6种选择， 所以从0,1,2,3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为3×6=18种选择. 故答案为：18. 13.30【详解】（x2+x+1)展开式中，x的项为Cx3.1+Cx2.C4x.1=30x3,则x的系数为30 故答案为：30 答案第2页，共5页 14.2012【详解】解：由题意，f'(x)=x2-x+3,f"(x)=2x-1, 由f")=0,得2x-1=0,解得x=),而f月=1，所以函数f)关于点，)对称， 所以f(x)+f0-x)=2,f 1 2 3 2012 2013+/2013/20i3 =2×1006=2012. 2013 故答案为：2012. 15.【详解】(1)对函数f(x)求导，"(x)=3x2-3, 1分 f'(2)=9,f(2)=4, 3分 .所求得的切线方程为y-4=9(x-2), 4分 即9x-y-14=0: .5分 (2)由(1)有f"(x)=3x2-3, 令f"(x)>0,解得：x<-1或x>1, 6分 故函数f(x)在[-2，-]递增，在(-1,0]递减， 8分 故函数f(x)在x=-1取最大值f(-1)=4, 10分 f(-2)=0,f(0)=2, 12分 故函数在[-2,0]的最大值为4，最小值为0. ..13分 16.【详解】(1)从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，分两步完成， 第一步从男生4人中选1人有4种选法，第二步从女生2人中选1人共2种选法，故有4×2=8种选法： 3分 (2)从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有2种情况： 第一种：男生选2人，女生选1人，共有C×2=12种选法， 第一种：男生选1人，女生选2人，共有4×C3=4种选法， 故总共有16种选法： .7分 (3)活动后6人排成一排拍照共有A。种排法，男生甲与女生乙有2种排法，满足顺序排法相同， 所以活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边共有)A=360排法： 10分 (4)现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，则三所学校分配志愿 者人数为：{4,1,1}，{3,2,1}{2,2,2}， 若人数为41，则有CCC=90种安排方法， A 若人数为3,2,1，则有CCCA-360种安排方法， 若人数为2,22，则有CCCA=90种安排方法， A 根据分类加法计数原理共有90+360+90=540种安排方法 15分 (本题式子列对，结果正确即可给满分) 1.【详解】4)设e0=血合代入r=20可得2-h2. 2分 所以k=1, …3分 所以f0=p)-h音10=7d0r+ ，10o+50-n 10 所以e)=d+0-0eN) 51 10 7分 (未写定义域扣1分) （2)因为-d0+动-h≥10eN）, 所以re君， 50x …9分 当x∈[10,50)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 当xe(50,+o)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， .11分 答案第3页，共5页 所以了0)m=f50)-250+×50-n50-26-n5=244万元， 10050 10 14分 所以当x=50时有最大利润为24.4万元. 15分 18【详解】(1)由二项式系数性质，仅第5项最大，则n为偶数且+1=5，解得n=8. 1分 2 第4、5、6项系数Ca3、Cga、Ca,成等差数列得2Cat=Ca+Ca. 3分 代入C=56,C8=70,C=56, 整理得2a-5a+2=0,解得a=}或a=2 2 故m=8,a=2或a=2: 5分 (2)自仙知=8a} 或a=2.因为a>1,所以a=2. 6分 又x=2,则 .7分 36=(10-1)°=108-C8×10+-C8×10+1 9分 故36被5除的余数为1. 10分 3)由知m=8,a=号或a=2.因为a<1,所以a- 11分 展开式通项为T+,=( 1) 系数为6=C5=0128 12分 设第k+1项系数最大，则满足 c2c1由c2c1 Ck≥C+1 14分 由组合数计算公式得 二-9板92期附≤3 C-T 综上2≤k≤3，即k=2或k=3. .16分 故系数最大的项为第3项和第4项：I,=C x=xg=c 1 x2=7x2: 17分 19.【详解】(1)解：由函数f(x)=x-1-adnx,可得其定义域为(0，+o), 且fr(x)=1-a-K-a xx 1分 ①当a≤0时，f'(x)>0,故∫(x)在(0，+∞)单调递增： 3分 ②当a>0时，令f'(x)=0,解得x=a, 当x∈(0，a)时，f'(x)<0；当x∈(a,+o)时，f(x)>0, 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增. 5分 (2)解：由函数f(x)的定义域为(0，+o). ①若a≤0，由(1)知f(x)在(0，+o)单调递增， 因为f付)=子+a2c0,所以不满足f)20恒成立： 7分 ②若a>0,由(1)知，f(x)在(0，a)单调递减，在(a,+o)单调递增， 故f(x)在x=a时取得最小值，所以f(a)=a-1-alha≥0， 9分 答案第4页，共5页 令g(a)=a-1-adna,则g'(a)=1-na-1=-lna, 当a>1时，g'(a)<0,g(a)单调递减；当0<a<1时，g(ad)>0,g(a)单调递增， 又因为g(1)=0,所以g(a≤0，当且仅当a=1时取到等号， 所以f(a)=a-1-aha≥0的解为a=1,故所以实数a的值为l. 11分 （3)证明：当a片且>1时，则0<日2x-1>0,可得--)>-2(-). 要证明e-1),即证e-1)0 而e1-1-2f()=e(x-)+1r-1>e-2x+1+hm, a 令g(x)=e-2x+1+nx,x>1,只需证明g(x)>0即可， 13分 由g)=6-2+:,再令a()=g'(c)=。1-2+,可得N6)=e-京 X 由于面数y=:是在+)上单测递增，所以()在+o)上单河道塔， 则(x)>Y(I)=e°-1=0，即g(x)=h(x)在(1+∞)上单调递增， 15分 可得g'(x)>g'()=e°-2+1=0，即g(x)在(1，+∞)上单调递增， 16分 故g(x)>g(1)=e°-2+1+lnl=0,得证 17分 答案第5页，共5页