精品解析：江苏徐州市第七中学2025-2026学年高一下学期4月学情调研数学试题

徐州七中高一年级4月学情调研数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 复数的共轭复数的虚部是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，结合复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数的共轭复数是， 所以复数的虚部为. 故选：C 2. 在△ABC中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由大边对大角即可求出. 【详解】由正弦定理可得，， 因为，所以，则， 故选：C. 3. 已知的面积为，则边的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理求解. 【详解】因为，可得， 所以， 故选:D． 4. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三角形的面积，及，代入条件计算即可. 【详解】将代入已知条件，得到， 则，则，则. 故选：B 5. 下列各式中结果为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用二倍角正余弦公式化简求值判断A、C，由差角正切公式化简求值判断B，由切化弦及和差角、二倍角公式化简求值判断D. 【详解】A：，不符， B：，不符合， C：，不符， ，符合. 故选：D 6. 在中，设命题，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先当成立时，利用正弦定理把等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得判断出△是等边三角形．推断出是的充分条件；反之利用正弦定理可分别求得，，，三者相等，进而可推断出是的必要条件， 【详解】解：，即①； ②， ①②，得，则， ．同理得， ，则△是等边三角形． 当时，，， 成立， 命题是命题的充分必要条件． 故选：C． 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合正弦定理得：，再利用平方和公式，结合三角函数的符号求的值. 【详解】因为，， 由正弦定理得：. 由余弦定理可得：，即， 所以， 所以， 又，， 所以. 故选：C. 8. 在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（ ） A. 不存在最大值 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理、两角和差公式和辅助角公式可将转化为，根据的范围即可得解. 【详解】，，，， ，， （其中，，）， ，，， 又，，，， ， ∴最大值为. 故选：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的实部是 B. 的虚部是 C. D. 在复平面内所对应的点位于第二象限 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数除法运算可化简得到，由共轭复数、复数的实部和虚部定义、复数模长运算与几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】； 对于A，由实部定义知：的实部为，A正确； 对于B，，的虚部是，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确. 故选：AD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系，求出的三角函数值，进而根据角的范围，以及三角恒等变换，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由诱导公式可知，即，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； ，所以C正确； 由可得， 则，所以D正确； 11. 已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ） A. B. 当为中线时， C. 当为高线时， D. 当为角平分线时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用 判断D. 【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确； 因为的面积为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以，则，则， 在中利用余弦定理可得，， 则， 当为中线时，，则， 即，得，故B正确； 当为高线时，，得，故C错误； 当为角平分线时，则， 由，得， 则，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得. 【详解】由正弦定理，①， 又， 代入式①得：， ∴，∵，∴，， 故，又，∴． 故答案为： 13. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将，转化为，再利用两角和与差的余弦公式和商数关系求解. 【详解】因为， 所以 ， ， 所以． 14. 已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则外接圆的面积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设条件化简得，根据正弦定理和余弦定理，求得，得到，再结合正弦定理求得，利用圆的面积公式，即可求解. 【详解】由， 可得， 整理得， 由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为，所以， 由正弦定理得外接圆的直径，所以， 所以外接圆的面积. 故答案为： 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略： 对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知复数是关于的方程的两个根，且. （1）求和的值； （2）记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知也是方程的一个根，利用韦达定理计算即得答案； （2）由，得到，即得，代入计算即得. 【小问1详解】 由复数是实系数方程的一个根， 可知也是方程的一个根， 由韦达定理，可得， ， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以，则， 则得，由（1）可得，， 所以. 16. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【答案】（1）两船相距海里. （2）巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【解析】 【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得. （2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向. 【小问1详解】 由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. 【小问2详解】 当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船， 则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 17. 已知． （1）求； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的基本关系式，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解； （2）利用三角函数的基本关系式，求得，得到的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 因为，所以，则，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 可得，， 所以. 18. 在中,内角所对的边分别是且. （1）求角; （2）若,求边上的角平分线长; （3）求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理将边化为角,再进行三角恒等变换,求出,得出即可. （2）先选用余弦定理得出关系式,再将三角形面积进行转化,用等面积法. ,运用面积公式求解即可. （3）先用中线的向量表达式,,两边平方,将中线长转化为求的范围,后将又转化为三角函数求值域问题,最终求得中线长范围. 【小问1详解】 因为,根据正弦定理, 即, 即,又, 所以,因为,所以． 【小问2详解】 由及余弦定理得,即, 又因为,所以, 所以, 所以,即． 【小问3详解】 因为是的中点,所以, 则, 由正弦定理得, 即, 因为,所以,所以, 所以,所以,所以, 所以,即边上的中线的取值范围为． 19. 已知锐角的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积的取值范围； （3）如图，若为外一点，且，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）变形得到，由余弦定理求出，得到答案； （2）解法一：由正弦定理和三角恒等变换得到，并由锐角三角形得到，求出，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； 解法二：由余弦定理，且，得到不等式，并将代入两不等式，解得，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； 解法三：考查的极端位置情况，当时，，当时，，从而得到，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； （3）解法一：求出，设，表达出其他各边长，在中，由正弦定理得①，在中，由余弦定理可得②，将①式代入②式得到方程，求出，故； 解法二：求出，设，表达出其他各边长，求出，，在中，由正弦定理可得，在中，用含的式子表达出，求出，在中，由勾股定理和可得方程，求出，故． 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 解法一：在中，由正弦定理得， 又， 所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 因为， 所以的面积的取值范围是； 解法二：因为是锐角三角形， 所以，且， 所以，且， 又因为，所以， 所以，且，解得， 因为， 所以的面积的取值范围是； 解法三：因为是锐角三角形，所以均为锐角， 根据图形变化，考查的极端位置情况， 当时，， 当时，， 可得当且仅当时，是锐角三角形； 因为， 所以的面积的取值范围是； 【小问3详解】 解法一：因为，所以， 因为，设，则， 在中，由正弦定理可得，即①， 在中，由余弦定理可得②， 将①式代入②式得， 化简得，解得，故． 解法二：过点作交的延长线于点， 因为，所以， 因为，设，则， 又因为， 所以在中，由正弦定理可得，即 在中，， 所以， 因为，在中，由勾股定理可得， 化简得，解得，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州七中高一年级4月学情调研数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 复数的共轭复数的虚部是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 在△ABC中，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知的面积为，则边的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 4. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中结果为1的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，设命题，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（ ） A. 不存在最大值 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的实部是 B. 的虚部是 C. D. 在复平面内所对应的点位于第二象限 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ） A. B. 当为中线时， C. 当为高线时， D. 当为角平分线时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_______． 13. 已知，则______. 14. 已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则外接圆的面积是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知复数是关于的方程的两个根，且. （1）求和的值； （2）记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 16. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 17. 已知． （1）求； （2）求的值． 18. 在中,内角所对的边分别是且. （1）求角; （2）若,求边上的角平分线长; （3）求边上的中线的取值范围． 19. 已知锐角的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积的取值范围； （3）如图，若为外一点，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $