精品解析：江苏省阜宁中学2025-2026学年高一第二学期第三次学情调研（5月）数学试题

江苏省阜宁中学2025~2026学年度第二学期第三次学情调研 高一年级数学试题 （2026.5） 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得，同乘得且， 解得或，所以， 可知，解得，所以， 则. 2. 设复数 满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 则，所以的虚部为 . 3. 已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与大小关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算第二组数据的平均数，再代入方差的定义，即可判断. 【详解】由题意可知，，所以， 则，所以数据的平均数是， ， ， 与的分子相同，比较分母，可知，， 故选：C 4. 已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则 的值等于（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据幂函数定义得 ，再确定 的图像所经过的定点为，代入 解得 的值. 【详解】由于为幂函数，则，解得： ，则； 函数，当 时，， 故 的图像所经过的定点为， 所以，即，解得：, 故选：B. 5. 下列说法错误的有（ ）项 ①经过两条平行直线，有且只有一个平面 ②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 ③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ④当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了不共线三点确定平面这一基本事实 ⑤分别和两条异面直线相交的两条不同直线相交 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】命题①：根据平面基本事实的推论，两条平行直线可确定唯一平面，故①正确； 命题②：两两相交且不共点的三条直线可得到3个不共线的公共点， 由“不共线的三点确定唯一平面”可知三条直线均在该平面内，故②正确； 命题③：根据平面基本事实3，两个不重合的平面若存在公共点， 则必有且仅有一条过该点的公共交线，故③正确； 命题④：“不共线的三点确定一个平面”，自行车两个轮子和撑脚不在一条直线上， 可以确定一个平面，故④正确； 命题⑤：分别与两条异面直线相交的两条不同直线，位置关系可以为异面或相交，并非一定相交， 故⑤错误. 综上，错误的命题共1项. 6. 已知，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】令，根据题设，将问题转化成为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，再利用与互为反函数，再结合图象，即可求出结果. 【详解】由，得到，令，得到 所以为函数与交点的横坐标， 由，得到，所以为函数与交点的横坐标， 又与互为反函数，故它们的图象关于直线对称， 又关于对称，由，得到，所以，得到， 故选：C. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于将问题转化成求函数与交点的横坐标及与交点的横坐标之和，再利用与互为反函数，即可求解. 7. 若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数式为，题意说明，得，由正弦函数图象与直线的交点个数得的范围． 【详解】， 由，得， 因为，，所以， 依题意可得，，解得． 故选：D． 8. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合可求得函数的解析式，再利用即可求值. 【详解】由题意知，函数的定义域为 ， 因为函数是偶函数，所以， 即，化简得，则； 所以，又，则，解得 ，则， 因为， 所以 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据所求和式的特征，通过计算得，即可求值. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，且，，则 B. 在锐角 中 为两个内角，则 C. 设，为复数，若，则与互为共轭复数是的充要条件 D. 直线与平面所成角的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A利用向量数量积的运算律求判断，B应用和差化积及二倍角正弦公式，结合作差法及锐角三角形的性质判断，C应用复数的乘法、模长的定义及共轭复数的概念、计算判断；D由线面角的定义确定其范围判断. 【详解】A：由，，则， 故，正确； B：由 ， 由，且，即， 所以 ， 由且，则，， 综上，，即，正确； C：设，则， ，且， 若与互为共轭复数，则， 此时，即成立， 若，则且，故，与互为共轭复数， 所以与互为共轭复数是的充要条件，正确； D：直线与平面所成角的取值范围是，错误. 10. 已知 三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 面积的最大值为 B. C. 周长的最大值为6 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，利用余弦定理计算可判断；C选项，利用余弦定理和基本不等式求解周长的最大值；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围. 【详解】解：对于A，由余弦定理得：，解得：， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 所以，故，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，由余弦定理得：，解得：， 所以，当且仅当时，等号成立， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以， 周长，所以 周长的最大值为6，故C正确； 对于D，， 因为，所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，正方体的棱长为1，P为 的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线 与直线所成角的正切值为 B. 当时，截面S的形状为等腰梯形 C. 当时，S与交于点R，则 D. 当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过平移得到线面所成角，计算即得；对于B，利用面面平行的性质定理作出截面，即可判断其形状；对于C，通过作图，利用面面平行的性质定理和三角形相似的性质计算即得；对于D，取中点 ，连接，交 于点 ，连接，可证平面，推得即直线与平面的夹角，设，，结合图形求出，由函数的单调性即可求得其范围. 【详解】对于A，因，故即直线 与直线所成角， 因，故A正确； 对于B，如图，连接，因，易得， 因平面平面，连接即为截面S与正方体的一条截线， 连接，计算易得，故截面S的形状为等腰梯形，故B正确； 对于C，如图，过点 作的平行线交直线于点 ，连接，交于点， 因，易得，则，于是，，则， 如图，又可得，则，即，解得：，故C错误； 对于D，如图，取中点 ，连接，交 于点 ，连接， 易得，则，又因 平面 ，平面 ，则， 因平面，故平面， 则即直线与平面的夹角，设为，不妨设，则， 在中，， 因，则，可得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 设，则“”是“”的______条件 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值，直接求出两个方程的解，再由充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】由，得到，由，得到， 所以，当时，，此时， 当时，，此时， 所以可以推出，但推不出， 故“”是“”的充分不必要条件. 13. 已知 中角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若，则最大值为_________ 【答案】4 【解析】 【分析】利用同角三角关系化切为弦，结合两角和的正弦公式得出，根据余弦定理和正弦定理化简得出，再根据正弦函数的性质求最大值． 【详解】， 故， ，由余弦定理， 由正弦定理， 则 ， 在 中，，故， 当时，取最大值1， 结合可得，故或， 所以的最大值为4． 14. 平面向量，，满足，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由模长公式结合已知条件求出，展开目标式，结合已知条件换元化简，利用向量数量积的性质求的最小值． 【详解】已知，则， ， 令，则，设，则， ， 由数量积的性质可知，， ，当且仅当同向时取等号， 即的最小值是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求 的值，以及样本的平均数； （2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）估计这组样本数据的众数和中位数． 【答案】（1），平均数为 ； （2）； （3）众数为 ，中位数为． 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形的面积之和为1求解 的值，根据平均数公式求解即可； （2）由题意可得不获奖人数占参赛总人数的，设获奖分数线为 ，先判断出，再由，求解即可； （3）由众数的定义求解众数，由中位的公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得； 设平均数为， 则； 【小问2详解】 因为本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的， 所以不获奖人数占参赛总人数的， 设获奖分数线为 ， 因为分人数占总人数的；分人数占总人数的； 分人数占总人数的；分人数占总人数的； 而，， 所以， 所以， 解得； 【小问3详解】 由众数的定义可知：此组数据的众数为; 设中位数为 ， 由（2）可知， 所以. 16. 设定义在上的偶函数和奇函数，满足. （1）求函数，的解析式： （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于 的不等式. 【答案】（1）， （2）在区间单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解即可求出答案； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求出答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为为偶函数，为奇函数， 则， 联立， 解得，. 【小问2详解】 在区间单调递增， 证明如下： 任取且， ， 由，则且，有，即， 即， 故，即， 故在区间单调递增. 【小问3详解】 不等式，即， 因为为偶函数， 则 因为在区间单调递增， 则， 即，化简得， 解得或， 所以不等式的解集为. 17. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 为边 上一点，且满足 ． （1）证明： ； （2）若 为内角 的平分线，且 （i）求 ． （ii）若 的面积为S，求与 的面积之比，并计算的面积（用S表示）． 【答案】（1）点 为边 上，故向量与共线，即存在非零实数 使得， 由 ，代入得 ， ，故 ， 又，则 ， 故 ，即 ． （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用 在 上及 ，利用平方差公式展开，得出 ，进而证明结论； （2）（i）利用向量共线定理结合已知条件及角平分线定理得出 ，利用模的平方求出余弦值，进而借助同角三角函数关系求出 ； （ii）利用同高三角形的性质，结合三角形面积公式计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由 在 上，根据向量共线定理，则， 已知，解得，则 ， 为内角 的平分线，则 ， ， 过点 作 ，则 为与 的高， ， 故 ，故 ， 结合 ，，展开得 ， 故 ，解得， ， ； （ii）由（i）知 ， ． 18. 在平行六面体中，底面 为正方形，，，侧面底面 . （1）求证：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为底面 为正方形， 所以 ，又侧面底面 ， 侧面底面，且平面 ， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，连接， 则为正三角形，取 中点 ，则， 由平面及平面，得， 又，所以底面 ， 过点 作交 于 ， 如图以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量， 所以 令，则，可得平面的法向量. 所以， 故直线和平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； 【答案】（1） （2）是定义域为的奇函数，当时，， 则当 时，，且， 在上严格递增，且， 在上严格递增，且， 当时，， 若，由得，即， 若，由，不等式无解， 故； 当 时，， 若，由，即恒成立， 若，由，即成立， 若，由得， 故； 由且： 若，由在单调递增，得，故， 故； 若，由在单调递增，得，故， 故； 若，此时，满足， ， 若，此时，满足， ， 若，则，不满足， 故这种情况不成立； 综上，，命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义，计算基准点的函数值，把集合转化为不等式，分情况讨论得出的取值范围； （2）利用奇函数的性质补全解析式，分 和两种情况讨论，再根据且，分四种情况讨论证明结论． 【小问1详解】 由题意，集合是满足的所有 的集合， 令， 当即时，，不等式， 由单调递增，得，即，对应； 当即时，，不等式，解得， 结合，得，对应， 综上可得，，即． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省阜宁中学2025~2026学年度第二学期第三次学情调研 高一年级数学试题 （2026.5） 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数 满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与大小关系不确定 4. 已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则 的值等于（　　） A. B. C. 2 D. 5. 下列说法错误的有（ ）项 ①经过两条平行直线，有且只有一个平面 ②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 ③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ④当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了不共线三点确定平面这一基本事实 ⑤分别和两条异面直线相交的两条不同直线相交 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. 已知，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，且，，则 B. 在锐角 中 为两个内角，则 C. 设，为复数，若，则与互为共轭复数是的充要条件 D. 直线与平面所成角的取值范围是 10. 已知 三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 面积的最大值为 B. C. 周长的最大值为6 D. 的取值范围为 11. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线 与直线所成角的正切值为 B. 当时，截面S的形状为等腰梯形 C. 当时，S与交于点R，则 D. 当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 设，则“”是“”的______条件 13. 已知 中角 ， ， 的对边分别为， ， ，若，则最大值为_________ 14. 平面向量，，满足，，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）估计这组样本数据的众数和中位数． 16. 设定义在上的偶函数和奇函数，满足. （1）求函数，的解析式： （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于 的不等式. 17. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为， ， ，点 为边上一点，且满足 ． （1）证明： ； （2）若 为内角 的平分线，且 （i）求 ． （ii）若 的面积为S，求与 的面积之比，并计算的面积（用S表示）． 18. 在平行六面体中，底面 为正方形，，，侧面底面 . （1）求证：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 19. 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $