精品解析：四川攀枝花市2026届高三第二次统一考试数学试题

攀枝花市2026届高三第二次统一考试2026.4 数学 本试题卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在条形码区. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求得结果. 【详解】由已知可得或，因此，， 故选：D. 2. 已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为为纯虚数， 所以. 3. 抛物线上的点到焦点的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】将点代入抛物线方程， 得，即，解得. 抛物线的准线方程为，代入得准线方程为. 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 则点到焦点的距离为. 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 5. 已知函数在处取得极小值，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先由求出的可能取值，再逐一进行验证，即可得到的确定取值. 【详解】因为，所以. 由或. 当时，. 由或；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意； 当时，. 由或；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 故不满足题意. 综上，. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 又，，故， 又，，解得， 所以. 7. 若正实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到或，再结合函数单调性，作差法，举出反例进行判断，得到答案. 【详解】当，即， 又，故， 当，即时，又，故， A选项，若，则，A错误； B选项，， 当时，，，，B错误； C选项，， 不论，，均有， 即，又在R上单调递增，故，C正确； D选项，当时，不妨设，此时， 显然，D错误. 8. 已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用赋值法可得，，根据奇函数定义可得，赋值可得，分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解. 【详解】因为， 令，则，即， 且，可得， 令，则， 且不恒为0，则，即， 又因为为奇函数，则，即， 令，则，可得， 且， 令，则；令，则； 可得，可知函数的一个周期为4， 则， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公司近5年的利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 利润/亿元 2 3 4 5 7 利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. 回归直线一定过点 C. D. 预测该公司第7年的利润约为9亿元 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据回归方程判断与成正相关，即可判断A；求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，即可判断BC；令求出，即可预测第7年的利润，即可判断D. 【详解】因为回归直线方程为，且，所以与成正相关，故A正确； 由题意可得：，， 因为回归直线方程为必过样本中心点，故B错误； 则，解得，故C正确； 当时，，即该公司第7年的利润约为9亿元，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于对称 C. 在区间上有3个零点 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】探究与的关系，可判断A的真假；探究与的关系，可判断B的真假；求出函数在的零点，判断C的真假；利用导数求函数的极大值，判断D的真假. 【详解】对于A：因为，所以不是函数的周期，故A错误； 对于B：因为， ， 所以，所以的图象关于对称.故B正确； 对于C：因为， 由或. 又，所以或，即在区间上有2个零点，故C错误； 对于D：由. 由或. 当时，或， 若，，则，所以； 若，，则，所以； 当时，，则，所以. 综上可得，当，时，取得最大值.故D正确. 11. 在正四棱柱中，，，点在棱上，且，点在上底面运动，则（ ） A. 存在点，使得 B. 三棱锥体积的最大值为2 C. 若平面，则的最小值为 D. 以为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正四棱柱的性质，结合线线垂直的判定、三棱锥体积公式、空间中线段长度的最值问题以及球面与几何体表面交线的计算方法，对各选项逐一进行分析. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 由得，设， 在A选项中 ，，， 所以恒成立，不可能垂直，A错误， 在B选项中，，设平面的法向量为， 则，故，取， 而，故到平面的距离为， 而，体积，B正确 在C选项中，，设平面的法向量为， 则则，故，取， 因为，而平面，故， 故即，故， 对称轴​，代入得最小值​​，C正确， 在D选项中，球半径为2，故球在上底面中的截线为一段弧，其半径为， 而弧所对的圆心角为，故此截线的长为. 设球面与棱的交点为，连接，则，而， 故，故， 故球在侧面中的截线弧所对的圆心角为，故此段弧长为， 同理球在侧面中的截线弧长为，故截线总长为， D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现从4名男生，2名女生中选3人分别担任语文、数学、英语课代表，且恰好有1名女生被选中，则不同的安排方法共有________种． 【答案】 【解析】 【详解】满足条件的安排方法有. 13. 已知向量，，若在上的投影向量为，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为在上的投影向量为， 所以. 14. 直线交双曲线于，两点（在第一象限），是双曲线的右焦点，的延长线交双曲线于点，，，则的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据双曲线的定义，表示出，，的长度，利用余弦定理可得的关系，再在中，利用余弦定理可得的关系，从而得到双曲线的离心率. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，，. 因为关于原点对称，所以四边形是平行四边形. 所以. 设，则. 根据双曲线的定义，，， ， 在中，由余弦定理，， 即， 所以（）. 在中，，，，， 由余弦定理可得，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校对学生是否喜欢跑步锻炼进行调查，随机抽取男女学生共n人进行问卷调查，统计得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 100 20 女生 20 合计 n 若采用比例分配的分层随机抽样从这n人中抽取5人，则有男生3人，女生2人． （1）求以及这人中喜欢跑步锻炼的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关？ （3）用样本估计总体，将频率视为概率，从该校全体学生中随机抽取2人，记其中喜欢跑步锻炼的人数为X，求X的数学期望. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）不能认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件求男生人数，再结合分层抽样性质求出，由此求出女生人数及女生中喜欢跑步锻炼的人数，结合古典概型概率公式求结论； （2）完善列联表，提出零假设，计算，比较与临界值的大小即可判断结论； （3）结合二项分布的定义判断，再根据二项分布期望公式求结论. 【小问1详解】 由已知男生人数为， 又采用比例分配的分层随机抽样从这人中抽取人，则有男生人，女生人， 所以，解得， 所以女生人数为，女生中喜欢跑步锻炼的人数为， 所以这人中喜欢跑步锻炼的总人数为， 所以这人中喜欢跑步锻炼的概率， 【小问2详解】 由（1）可得列联表为： 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 零假设为：假设是否喜欢跑步锻炼与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即不能认为是否喜欢跑步锻炼与性别有关. 【小问3详解】 的可能取值为0，1，2，， ， . 的分布列为 0 1 . 16. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式： （2）求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） 已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 两边同乘​得 得，， 整理得. 【小问3详解】 由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 17. 如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． （1）证明：平面平面； （2）已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 【答案】（1） 在中，，，， 由余弦定理，， 即. 由， 所以为直角三角形，且. 在中，，，， 因为，所以为直角三角形，且， 由平面，，所以平面. 由平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，，再利用线面垂直的判定定理证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以的中点为原点，所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴， 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则， 令，则，，此时. 因为，设（）， 则. 因为，，， 由， 又，所以. 所以. 因为，，， 所以点到直线的距离为：. 18. 已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，，直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线，分别交轴于，两点： （ⅰ）是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）当面积取最大值时，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）存在,使得；（ii） 【解析】 【分析】（1）由椭圆顶点坐标,结合直线斜率得 比例关系,再由线段长联立方程,求出 ,即得椭圆方程. （2）（ⅰ）设直线联立椭圆,由韦达定理得纵横坐标关系,求出 纵坐标,代入向量比例化简消参,可得 为定值3.（ⅱ）由 设出 纵坐标,写出直线 方程并联立椭圆,得到 点横坐标表达式；用底乘高表示 面积,构造函数求导分析单调性,找到面积最大值对应的参数,代入算出此时的值. 【小问1详解】 已知，直线的斜率. 由斜率公式得，即. 由两点间距离公式得. 因为，联立解得，. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题可知过点的直线斜率不为，（否则点与点重合） 设, 由，消去得 , 即， , 直线,令可得 直线,令,可得， 因为共线， 所以 , 所以存在,使得. （ii）设,则,所以, 直线,由消去得 由可得, , 令, , 令,解得, 当时，,当时，, 故在上单调递增,在上单调递减, 所以当时,取最大值, 所以此时. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在上的最大值为0，求实数的值； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而可求出切线方程. （2）对函数求导，分，，三种情况讨论函数的最大值，从而确定的值. （3）先化简不等式，然后构造函数，两次求导，判断单调性求出最小值，进而求出的范围. 【小问1详解】 当时，，求导得， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，，令，得， ①当，即时，在恒成立，所以在上单调递减， 所以，，不合条件，舍去； ②当，即时，当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，符合条件； ③当，即时，在恒成立，所以在上单调递增， 所以，，不合条件，舍去. 综上，. 【小问3详解】 由，可得，即， 设，其中，则， 设，则， 当时，，，且等号不同时成立，则恒成立， 当时，，，则恒成立，则在上单调递增， 又因为，， 所以，存在使得， 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的图象如下图所示： 当时，由（2）得，且当时，， 此时函数的值域为，即. （ⅰ）当时，即当时，恒成立，合乎题意； （ⅱ）当时，即当时，取， 结合图象可知，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 攀枝花市2026届高三第二次统一考试2026.4 数学 本试题卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在条形码区. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 抛物线上的点到焦点的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 5. 已知函数在处取得极小值，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若正实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公司近5年的利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 利润/亿元 2 3 4 5 7 利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. 回归直线一定过点 C. D. 预测该公司第7年的利润约为9亿元 10. 已知函数，则（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于对称 C. 在区间上有3个零点 D. 的最大值为 11. 在正四棱柱中，，，点在棱上，且，点在上底面运动，则（ ） A. 存在点，使得 B. 三棱锥体积的最大值为2 C. 若平面，则的最小值为 D. 以为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现从4名男生，2名女生中选3人分别担任语文、数学、英语课代表，且恰好有1名女生被选中，则不同的安排方法共有________种． 13. 已知向量，，若在上的投影向量为，则________． 14. 直线交双曲线于，两点（在第一象限），是双曲线的右焦点，的延长线交双曲线于点，，，则的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校对学生是否喜欢跑步锻炼进行调查，随机抽取男女学生共n人进行问卷调查，统计得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 100 20 女生 20 合计 n 若采用比例分配的分层随机抽样从这n人中抽取5人，则有男生3人，女生2人． （1）求以及这人中喜欢跑步锻炼的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关？ （3）用样本估计总体，将频率视为概率，从该校全体学生中随机抽取2人，记其中喜欢跑步锻炼的人数为X，求X的数学期望. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式： （2）求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 17. 如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． （1）证明：平面平面； （2）已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 18. 已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，，直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线，分别交轴于，两点： （ⅰ）是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）当面积取最大值时，求的值． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在上的最大值为0，求实数的值； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $