2025-2026学年苏科版九年级下册数学第四周周练滚动练习

2025--2026学年第二学期初三数学第四周滚动练习 一．选择题（共8小题） 1．函数y的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥1，且x≠3 C．x≠3 D．1≤x≤3 2．在函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠3 C．x≥0且x≠3 D．0≤x≤3 3．《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱：如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　） A．； B．； C．； D． 4．下列计算正确的是（　　） A．a2+a2＝a4； B．（a3）2＝a5； C．a3b2÷（a3b2）＝1； D．x3•x2＝x6 5．作为春节后的第一个较长假期，今年“五一”假期，旅客出行需要旺盛．据交通运输部2025年5月6日发布数据显示，“五一”假期全社会跨区域人员流动量超14.65亿人次．将数据14.65亿用科学记数法表示为（　　） A．146.5×107 B．14.65×108 C．1.465×108 D．1.465×109 6．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 7．若一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（　　） A．1＜m≤2 B．m＞1 C．m≤2 D．m＜1或m≥2 8．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣2 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣9，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝2 第6题第12题 二．填空题（共8小题） 9．cos60°＝　 　 ． 10．因式分解：8x2y+4xy2﹣12xy＝　 　 ． 11．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）是反比例函数图象上的三点，则比较y1，y2，y3的大小为　 　 ．（用“＜”连接） 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝α，则点C到x轴的距离等于　 　 ．（用含a、b、α的式子表示） 13．在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 　 　 ． 14．已知圆锥的侧面积为20π，底面半径为4，则圆锥的高是 　 　 ． 15．已知是二元一次方程ax+by＝5的一个解，则a2+4ab+4b2的值是 　 　 ． 16．定义：在平面直角坐标系中，点P在直线y＝2x﹣1上．我们约定点Q（n，m）是点P（m，n）的反对称点． （1）若点P的反对称点为本身，则P点坐标为　 　 ； （2）若抛物线y＝2x2+ax+1上不存在点P的反对称点，则a的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共11小题） 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．解不等式组，并求它的正整数解． 20．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》（A）、《算学启蒙》（B）、《测圆海镜》（C）和《四元玉鉴》（D）是我国古代数学的重要文献． （1）从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为　 　 ； （2）某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，请用画树状图法或列表法，求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 21．某地区教育部门为了解本地区初二学生立定跳远的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，对跳远成绩进行分类：A类（优秀），B类（良好），C类（及格），D类（不及格），将调查结果绘制成如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中的样本容量是 　 　 ； （2）求出C项对应的扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； （3）如果该地区初二学生有5200名学生，请你估计该地区初二学生中立定跳远成绩为“优秀”的大约有多少人？ 22．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接DE，若tan∠ABC＝2，BE＝1，AD＝3，求DE的长． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（﹣1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出当y1＜y2时，x的取值范围； （3）在x轴上是否存在一点E，使得以C、A、E为顶点的三角形与△COD相似，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 24．某物理探究小组利用实验器材模拟室内光线反射，研究光线反射规律．如图1，DE为水平放置的平面镜，AF为光屏，一束光从点A射入，光线AB经过平面镜DE反射到光屏AF上形成光斑．由光的反射定理可知：∠ABD＝∠CBE．已知光屏与水平面的夹角为15°，点A与DE的距离AD＝3分米，若光线AB与平面镜DE的夹角∠ABD＝45°时，光线在光屏AF上形成的光斑为点C． （1）求点A与光斑点C的距离（结果保留根号）； （2）如图2，若光线AH与平面镜DE的夹角∠AHD＝60°时，此时光线AH经过平面镜DE反射到光屏AF上形成光斑为点G，求光斑点C与光斑点G之间的距离（结果保留根号）． 25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作弦CD⊥AB于点E，点F是弧BD上一点，连接OF，AF交CD于点H，过点F作直线交CD的延长线于M，交AB的延长线于点G，且FM＝HM， （1）求证：MG是⊙O的切线； （2）若； ①求HE的长； ②求AG的长． 26．如图，在一条水平放置的笔直滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球作减速运动，白球做匀速运动．当黑球运动到点A处时开始计时，此时白球在黑球前面d厘米处．当黑球碰到白球或黑球停止运动时，两球同时停止运动． 测得黑球从点A处开始运动的时间t（秒），运动速度v（厘米/秒），运动距离y（厘米）相关数据，整理如表： 运动时间t 0 1 2 3 4 运动速度v 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y 0 9.75 19 27.75 36 已知黑球的运动速度v是运动时间t的一次函数，运动距离y是运动时间t的二次函数． （1）求出v关于t的函数关系式和y关于t的函数关系式； （2）已知d＝70厘米． ①白球运动速度为2厘米/秒，求在运动过程中，黑球与白球之间距离的最小值； ②白球运动速度为a厘米/秒，在运动过程中，若黑球能碰到白球，则a的最大值为　 　 ． 27．二次函数y＝ax2+bx图象经过A（4，0），B（3，3）两点，一次函数y＝mx﹣m+3（m≠0）的图象与x轴交于点C，如图． （1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）求证：二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝mx﹣m+3的图象总有交点； （3）当点A到一次函数y＝mx﹣m+3的图象的距离最大时，设此时一次函数y＝mx﹣m+3与二次函数y＝ax2+bx的图象交于D，E两点（点E在点D的右侧），试判断在线段AC上是否存在点P，使得∠BPD＝45°．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ∵sin∠DAO，cos∠CDE，∴OD＝AD•sin∠DAO＝bsinα，DE＝CD•cos∠CDE＝acosα， ∴OE＝DE+OD＝acosα+bsinα，∴点C到x轴的距离等于acosα+bsinα．故答案为：acosα+bsinα． 【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键． 13．【解答】解：由题意得k1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）+n＝﹣m2+n+1，k2＝（m+3）2﹣2m（m+3）+n＝﹣m2+n+9，∴k1﹣k2＝﹣m2+n+1﹣（﹣m2+n+9）＝﹣8， ∴k2＝k1+8；故答案为：k2＝k1+8． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．【解答】解：设圆锥的母线长为R，则2π×4×R＝20π，解得：R＝5， 由勾股定理得：圆锥的高为：3，故答案为：3． 【点评】考查圆锥的计算，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 15．【解答】解：∵知是二元一次方程ax+by＝5的一个解， ∴将代入二元一次方程ax+by＝5，得a+2b＝5． ∴a2+4ab+4b2＝（a+2b）2＝52＝25．故答案为：25． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键． 16．【解答】解：（1）由条件可知n＝2m﹣1． 又∵点P的反对称点为本身，∴m＝n，将n＝m代入n＝2m﹣1，得到m＝2m﹣1． ∴2m﹣m＝1，解得m＝1，∴n＝1．∴P点坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）； （2）设点P（x，2x﹣1），∴其反对称点Q（2x﹣1，x）． ∵抛物线y＝2x2+ax+1上不存在点P的反对称点， ∴方程x＝2（2x﹣1）2+a（2x﹣1）+1无解．∴8x2+（2a﹣9）x+3﹣a＝0， ∴8x2+（2a﹣9）x+3﹣a＝0中，Δ＝（2a﹣9）2﹣4×8×（3﹣a）＜0， ∴4a2﹣4a﹣15＜0，对于二次函数y＝4a2﹣4a﹣15，令y＝0， ∴求根公式（这里a＝4，b＝﹣4，c＝﹣15）可得：， 解得，．∴不等式4a2﹣4a﹣15＜0的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的点坐标性质、一元二次方程判别式与方程解的关系，以及函数与方程的转化思想．解题关键在于结合点在直线上的性质建立方程求解． 三．解答题（共11小题） 17．【解答】解：原式＝1+3﹣6＝1+3﹣3＝1． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．【解答】解：原式• ， 当a1时，原式． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．【解答】解：解不等式﹣5x+2＜﹣3（x﹣2）得，x＞﹣2， 解不等式得，，∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的正整数解为：1，2． 【点评】考查不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，利用此规律得出不等式的解集是解题关键． 20．【解答】解：（1）抽到《四元玉鉴》的概率为，故答案为：； （2）画树状图如下： 由上可得，一共有12种等可能性，其中恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况有2种， ∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 21．【解答】解：（1）本次调查的样本容量为72÷60%＝120（人），故答案为：120； （2）∵360°60°，∴C项对应的扇形的圆心角的度数为60°， 120﹣72﹣20﹣10＝18（人），补全条形统计图如下： （3）5200780（人）， 答：估计该地区初二学生中立定跳远成绩为“优秀”的大约有780人． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，理解两个图中数量之间的关系是解决问题的关键． 22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE，∴CF+EC＝BE+EC，即BC＝EF，∴AD＝EF且AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形； （2）解：连DE，Rt△ABE中，∠AEB＝90°，BE＝1，∵tan∠ABC2，∴AE＝2BE＝2， 在Rt△ADE中，∠DAE＝90°，AD＝3，∴DE． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠AEH＝90°．∴∠EAH+∠EHA＝90°， ∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵∠EHA＝∠MHF，FM＝HM， ∴∠MFH＝∠MHF＝∠EHA，∴∠OFM＝∠OFA+∠MFH＝90°， ∵OF是⊙O的半径，∴MG是⊙O的切线； （2）解：①连接OC， ∵，即，∴， ∵∠M+∠G＝90°，∵∠FOG+∠G＝∠MFO＝90°， ∴∠M＝∠FOG，∵AC∥MG， ∴∠ACH＝∠M，∠CAH＝∠MFH， ∴， 设AE＝3x，则CE＝4x，AC＝5x ∵FM＝HM，∠CHA＝∠MHF，∴∠CAH＝∠CHA＝∠MHF＝∠MFH， ∴CH＝AC＝5x，∴EH＝CH﹣CE＝x， 在Rt△AEH中AH2＝EH2+AE2，∴10x2＝10，∴HE＝1； ②由①知AE＝3x＝3，CE＝4x＝4， 设⊙O的半径为r，∴OA＝OC＝r，∴OE＝OA﹣AE＝r﹣3， 由勾股定理可得：OE2+CE2＝OC2，∴（r﹣3）2+42＝r2，∴，∴， 由切线的性质可得：∠OFG＝90°，∴，∴， ∴，∴． 【点评】本题考查了圆切线的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 26．【解答】解：（1）由题意，设v关于t的函数解析式为v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，∴．∴∴v关于t的函数解析式为． 设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入， ∴，∴∴y关于t的函数解析式为． （2）①由题意，设黑白两球的距离为wcm，根据题意可知，， ∴（t2﹣32t+256）+6（t﹣16）2+6． ∴当t＝16时，黑球与白球之间距离的最小值为6cm． ②由题意，结合①可得，，即， ∵白球运动速度为a厘米/秒，在运动过程中，若黑球能碰到白球， ∴令0，则方程有解．∴Δ＝（a﹣10）2﹣470≥0． ∴a≤10或a≥10．又∵黑球最大速度为10厘米/秒， ∴若黑球能碰到白球，则a的最大值为（10）厘米/秒．故答案为：10． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据条件准确得到表达式是解题关键． 27．【解答】（1）解：把A（4，0），B（3，3）代入y＝ax2+bx， 得，解得：，故答案为：﹣1，4； （2）证明：由（1）知：y＝﹣x2+4x， ∵y＝mx﹣m+3＝m（x﹣1）+3，∴当 x＝1时，y＝m（1﹣1）+3＝3， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $