专题05 利用导数研究函数恒成立与存在问题【2大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题05 利用导数研究函数恒成立与存在问题 题型预览 题型一 利用导数研究不等式恒成立问题 题型二 利用导数研究能成立问题 题型突破 题型一 利用导数研究不等式恒成立问题 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）若对任意的恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为______. 2．（25-26高二下·安徽合肥·期中）已知，，，当时，恒成立，则的最小值为________． 3．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数，函数. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； 4．（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 5．（江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题）已知函数. (1)设. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间. (2)若恒成立，求的取值范围. 6．（2026·吉林白山·模拟预测）已知函数，. (1)记，，求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数t的取值范围. 7．（2026·吉林白山·模拟预测）若恒成立，则下列结论正确的是（   ）. A． B． C． D． 8．（25-26高二下·上海闵行·期中）对于，不等式恒成立，则的最大值为______. 题型二 利用导数研究能成立问题 9．（25-26高二下·重庆璧山·月考）若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 11．（25-26高二下·天津南开·月考）已知函数． (1)若在单调递增，求的取值范围； (2)当时，若，对，使得，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求实数的取值范围． 12．（25-26高二下·安徽·期中）已知关于x的方程在上有解，则的最小值为______. 13．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 14．（25-26高三下·江苏扬州·月考）已知函数，实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 15．（2026·云南昆明·二模）设函数. (1)当， （i）若，讨论的单调性； （ii）若，求极值点的个数； (2)对任意，总存在，使得，求的最小值. 16．（25-26高二下·四川遂宁·月考）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 强化训练 1．（2026·河北保定·一模）已知，，若，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东枣庄·期中）如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山东泰安·期中）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）已知实数x，y满足，，且使得等式成立，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知函数，则（ ） A． B．是的极值点 C．当时， D．当时， 6．（2026·江西南昌·二模）已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（   ） A．， B． C． D．的最大值为 7．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知函数，则下列结论正确的是（） A．在定义域上单调递增 B．有且仅有一个极小值点 C．恒成立 D．的图像关于点中心对称 8．（2026·河北·二模）已知函数． (1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)当时，对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 9．（2026·北京丰台·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 10．（2026·重庆·模拟预测）已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 11．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)证明：当时，； (3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 12．（河南沈丘县第一高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题）已知函数 . (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 13．（25-26高二下·天津西青·月考）已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 14．（25-26高二下·山东泰安·月考）已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 利用导数研究函数恒成立与存在问题 题型预览 题型一 利用导数研究不等式恒成立问题 题型二 利用导数研究能成立问题 题型突破 题型一 利用导数研究不等式恒成立问题 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）若对任意的恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据已知化简，再构造函数应用单调性列式，最后参数分离，应用导函数得出函数单调性得出最值即可求解. 【详解】依题意得对任意的恒成立， 令， 因为在上单调递增，所以， 所以对任意的恒成立， 令，则. 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减. 故，所以. 2．（25-26高二下·安徽合肥·期中）已知，，，当时，恒成立，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】将不等式变形为，令，，利用导数确定的单调性及最值，分、两种情况，利用转化思想及导数分别求解即可. 【详解】因为，所以， 即， 设，， 则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减；在上单调递增， 所以， 当时，， 当时，；当时，； 故在上有两个零点，记为， 显然或时，，时，； 可使恒成立， 则也是的两个零点，故， 又因为， 所以，即，所以， 令，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增； 又因为当时，的两个零点关于对称， 此时的两个零点不可能关于对称，故， 所以； 当时，恒成立， 此时只需恒成立，则， 所以， 当且仅当时，等号成立； 综上，的最小值为. 3．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数，函数. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值，无最小值. (2) (3)证明见解析 【分析】对求导，根据导数正负判断单调性，进而求最值； 将恒成立问题转化为参数分离，构造函数求其最大值，即可得的取值范围； 【详解】（1）由题意可得的定义域为. 当单调递增，当单调递减. 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 有最大值，无最小值. （2）由题意，对恒成立，且. ，且. 令，则，且. 令，则，且. ①当，即时，有在上单调递增， 在上单调递增，. 在上单调递增，成立. ②当时，，且单调递增， ，有当时，单调递减，. 在上单调递减，单调递减， ，与题干矛盾，舍去. ③当时，当单调递减，则， 单调递减，单调递减，，舍去. 综上，实数的取值范围为. 4．（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)极小值为 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值； （2）求导，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数的单调性； （3）分析可得，令，，分类讨论的符号，结合恒（能）成立问题分析求解. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在单调递减， 所以的极小值为． （2）因为的定义域为，且， 令，解得或， 当，即时，则， 可知在上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减. （3）因为，即，可得， 令，， ①当时，若，则，不合题意； 若，方程满足， 且，可知方程有一正一负两个实根， 取其正根为，则，不合题意； 综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立； ②当时，不妨取，则， 记，则， 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 可知在单调递减，则， 即对，都存在，使得在恒成立， 综上所述：实数b的取值范围为． 5．（江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题）已知函数. (1)设. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间. (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）的单调递增区间为；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）（i）利用导数的几何意义求切线方程即可；（ii）令、即可求解； （2）（方法一）根据题意得，再令，利用导数求出的最值即可求解；（方法二）设，求导，得到，再解不等式即可． 【详解】（1）函数，定义域为， 若，则， （i）， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （ii）令，得，所以的单调递增区间为； 令，得，所以的单调递减区间为. （2）（方法一）若恒成立，则，即恒成立. 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以， 则，即，所以的取值范围为. （方法二）设， 则. 令，得， 令，得， 则， 得． 6．（2026·吉林白山·模拟预测）已知函数，. (1)记，，求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）注意到，由导数知识可得，从而，然后由单调性可得最小值； （2）分，，三种情况，求出在相应区间上的最值可得答案. 【详解】（1）， 令，， ， 从而在上单调递增，在上单调递减， 从而 ，， 因 ， 则 .令， 则， ， 从而在上单调递减， 则； （2）. 当，则对任意实数恒成立； 当，则由恒成立可得， 令，， ，， 从而在上单调递增，在上单调递减， 则，即此时； 当，则由恒成立可得， 令，， ，， 从而在上单调递减，在上单调递增， 则 ，即此时. 综上可得对恒成立时， 7．（2026·吉林白山·模拟预测）若恒成立，则下列结论正确的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数求出的单调性和零点，然后由题目条件可得a，b间的关系，最后根据不等式的性质及二次函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】时，易得恒成立； 当，令， ， 从而在上单调递增，注意到， 则时，，时，. 当时，为使，从而， 当时，为使，从而. 故且， 对于A，显然错误； 对于B，，则，故B错误； 对于CD，， 因函数在上单调递减，则时，， 即，故C错误，D正确. 8．（25-26高二下·上海闵行·期中）对于，不等式恒成立，则的最大值为______. 【答案】 【分析】通过因式分解得到的根与的根重合，得到，进而得到，构造函数，求导确定单调性即可求解. 【详解】原不等式移项整理： ， 因式分解得： 该式对恒成立， 若，则恒成立，要求对任意恒成立，显然不可能，故， 因为是增函数， 因此： 时， 时， 要乘积恒小于等于0，要求在时非负，在时非正， 故，且的根与的根重合， 即： 将代入得： ， 设，则 ， 当时， ，单调递增； 当 时， ，单调递减； 故在处取最大值： . 题型二 利用导数研究能成立问题 9．（25-26高二下·重庆璧山·月考）若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的指数移项构造一个相同自变量，再根据相同函数类型建立自变量等式，最后分参构造函数，求导分析函数区间内的值域，即可求解. 【详解】先移项， 因为， 所以， 构造函数令，，所以在定义域内单调递增， 所以对于任意一个函数值，都有唯一一个对应， 所以， 令，， 令， 当，，在区间内单调递减， 当，，在区间内单调递增， 最后求端点值确定函数值域，，，， 因为， 所以， 条件为有解，即函数与有交点，所以. 10．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导求出切线的斜率，代入函数值，根据点斜式方程求出切线方程； （2）将不等式有解问题转化为求函数最值问题，通过构造函数，对其求导，分析函数的单调性，进而求出函数的最值，从而得出实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， ，， ，即, 所以在点处的切线方程为. （2）若在上有解， 即在上有解，即有解， 令，， 令，， ，, 在上单调递增，， ，，，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在处取得极小值，即最小值， . 所以.实数的取值范围为. 11．（25-26高二下·天津南开·月考）已知函数． (1)若在单调递增，求的取值范围； (2)当时，若，对，使得，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解； （2）由题意得出，利用导数求解即可. （3）函数有两个极值点，等价于 在 上有两个不同的根；令 ，利用二阶导数或导数的应用可求出，从而可得出结论. 【详解】（1），其中， 则， 因为在单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 故的取值范围为. （2）当时，若，对使得，则， 因为,当时，,所以函数在上单调递增， 故当时，， 当时，，其中，则， 此时，函数在上为减函数， 故当时，， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3） ，其定义域为 ， 则 ，令 ，则 在 上有两个不同的根， 等价于 在 上有两个不同的根； 令 ，. 令 ，则 ，所以在 上单调递减； 又因为，所以当时， ，即 单调递增； 当 时， ，即 单调递减；所以 . 当 时， ；当 时，. 要使 与 的图象有两个不同的交点，则 ， 即 的取值范围是 . 12．（25-26高二下·安徽·期中）已知关于x的方程在上有解，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用平方和形式的几何意义，将代数最值问题转化为原点到动直线的距离问题，再通过点到直线距离公式将问题转化为单变量函数的最值问题，最后结合导数分析函数单调性，求出最小值． 【详解】可以看成到的距离， 方程可以看成直线， 所以， 设，则，令， 求导得， 函数在上严格单调递增，当时，， 当时，，则存在，使得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 因此函数在处取得最小值， 由，得，整理得：， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，得， 则， 所以． 13．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 【答案】4 【详解】当时，由，得， 即存在使不等式成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得，即， 当时，，即； 当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，于是， 所以的最小整数解为4. 14．（25-26高三下·江苏扬州·月考）已知函数，实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数在处的切线方程为． (2)实数a的取值范围为． 【分析】（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程； （2）由题意可得存在，使得成立，令，求得导数和单调性、最值，考虑最小值小于，再构造函数，求得导数和单调性、最大值，可得所求取值范围． 【详解】（1）当时， ，， 所以，， 所以函数在处的切线方程为，即 （2）由，得， 令，， 因为，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 由题意知， 令，， 当时，，当时，， 所以上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数a的取值范围为． 15．（2026·云南昆明·二模）设函数. (1)当， （i）若，讨论的单调性； （ii）若，求极值点的个数； (2)对任意，总存在，使得，求的最小值. 【答案】(1)（i）在上单调递减，在上单调递增；（ii）1个 (2) 【分析】（1）（i）直接求导判断即可；（ii）根据导函数特征分区间判断单调性，无法直接判断的部分二次求导后，利用零点定理判断极值点的存在性. （2）将移到一边，定义另一边为以为变量，为参数的一次函数，分类讨论单调性后得到关于的恒等式，再利用导数得到最值. 【详解】（1）， （i）若，，， 因为在上单调递增，且， 所以当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. （ii）当，由（i）可知，且， 又因为，所以，此时单调递减； 当时，设，则， 由（i）可知，且，， 又因为，所以， 所以即在上单调递增， 且有，， 由零点定理可知存在唯一的使得， 若，，若，， 综上在上单调递减，在上单调递增，为极小值点， 所以极值点的个数为 1个. （2）将化为， 设，， 当即时，此时， 单调递减至负无穷，可以取任意值； 当即时，此时， 单调递增或为常函数，， 依题意应有在上恒成立， 设，， 则， 所以在上单调递增， ， 所以的最小值为. 16．（25-26高二下·四川遂宁·月考）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，再求出导函数根据导函数正负得出单调性即可求出最值列式求出参数. 【详解】令，，则， 令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 又不等式恒成立，则，得， 则实数的取值范围为. 强化训练 1．（2026·河北保定·一模）已知，，若，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据以及的符号变化将的范围分成三类，，，分类讨论中的取值范围，从而确定的最小值. 【详解】由题意可知，对任意， 由， 当时，有，所以对任意时，， 此时只要求，即， 故，即的最小值为； 当时，且，因此，在时，， 此时要求，即， 在时，，此时要求，即， 由此可得，此时， 令，求导得， 由于，故在单调递减， 因此，的最小值为，即的最小值为； 当时，，因此，在时，，此时要求，即， 在时，，此时要求，即， 在时，存在使得，此时要求，则， 因此需要同时满足，，显然矛盾，故无解； 综上所述，即的最小值为，故B正确. 2．（25-26高二下·山东枣庄·期中）如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，将转化为，令，利用导数判断函数的单调性，得到，令，根据导数判断单调性，求得最大值，即可求解. 【详解】令，则， ， 因为，所以， 令，则， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 ， 要使存在，使得不等式 成立，则， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以， 所以的取值范围是 3．（25-26高二下·山东泰安·期中）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知:存在，成立，进而构造函数，求解函数最小值即可求得答案. 【详解】由题意知，存在，成立，即存在，成立， 所以，， 令，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以，即实数的取值范围是. 4．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）已知实数x，y满足，，且使得等式成立，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由可得，利用单调性求出的范围；变形给定等式并构造函数，利用导数求出此函数值域即可得的范围. 【详解】由，得，而，则在上单调递减， 于是，则，A正确，B错误； 等式，显然，即，设， 原等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，而，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，因此函数的值域为， 依题意，，解得，即，C正确，D错误. 故选：AC 5．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知函数，则（ ） A． B．是的极值点 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】直接求的值可判断选项A，利用导数分析函数的单调性，可判断选项B,C；分析函数的对称性并结合单调性可判断选项D. 【详解】选项A：由题可知：，所以选项A正确； 选项B：由得函数的定义域为， 在上恒成立，所以函数单调递增，没有极值点，所以选项B错误； 选项C：当时，因为，所以，由选项B知，函数单调递增，所以，所以选项C正确； 选项D：因为函数， 所以， 所以，所以. 当时，，即，由选项B知函数单调递增，所以，所以所以选项D正确. 故选：ACD. 6．（2026·江西南昌·二模）已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（   ） A．， B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】首先利用导数分析 的符号，然后结合不等式恒成立条件分析二次式 可判断AB；根据​ 是 的根结合韦达定理可判断C；由可得，令 ，利用导数求其最大值可判断D. 【详解】已知 ，设 ，，令 ，解得 ， 在 上递减， 上递增，最小值 ， 又 时， ，故 ，， ， 时 ，因此 有两个不同的正零点 ， 要使 恒成立，开口向上的二次式必须和 同号， 因此二次式的零点恰好就是 ，即 . 由韦达定理：，​，因为 都是正数， 故 ， ，A正确； 二次式有两个不同零点，判别式 ，即 ，B正确； 因为 ​ 是 的根，故 ​，， 两式相乘得： ，即 ，C错误； 由 得 ，代入目标式化简： ， 令 ，求导得 , 当 时， ，递增； 当 时， ，递减. 因此 的最大值为 ，D正确. 7．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知函数，则下列结论正确的是（） A．在定义域上单调递增 B．有且仅有一个极小值点 C．恒成立 D．的图像关于点中心对称 【答案】BC 【分析】先确定函数定义域，和导函数，再分析的单调性和零点情况，结合导数与单调性的关系判断A，结合导数与极值的关系判断B，结合函数单调性求函数的最值判断C，结合定义域判断D. 【详解】函数的定义域为，导函数， 设，则， 因此在上单调递增， 对于选项A，因为，， 所以存在唯一零点， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此不在整个定义域上单调递增，A错误； 对于选项B，由选项A知，单调递增，仅有一个零点​，且左侧递减、右侧递增， 因此仅有一个极小值点，B正确； 对于选项C，的最小值为，由​，两边取对数得， 所以， 因此，故恒成立，C正确， 对于选项D，因为函数的定义域为， 所以的图像不可能关于点中心对称，因此D错误. 8．（2026·河北·二模）已知函数． (1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)当时，对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解， （3）根据（2）的结论得，即可累加求解. 【详解】（1）， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. （3）由（2）可知，当时，， 令，则，因为， 令，则， 即， 累加得：， 即成立    . 9．（2026·北京丰台·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求出，令，利用导数可证，从而可得的单调性，故可证； （3）原不等式有解即为存在，使成立，，就、结合导数分类讨论可求参数的取值范围. 【详解】（1）时，，所以，故 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）． 令，则． 因为，所以当变化时，的变化情况如下表： 0 增 极大值 减 所以． 由，可知在上单调递减， 所以. （3）由题意，存在，使成立， 即存在，使成立， 即成立． 令， 则． ①当时，在上，故在单调递增， 所以，不合题意． ②当时，令． 因为，所以在单调递增， 又因为， 所以存在，使． 所以当变化时，的变化情况如下表： 0 0 减 极小值 增 ，取，故在上有解， 综上，的范围是. 10．（2026·重庆·模拟预测）已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (2) 【分析】（1）对 求导得，根据导数符号分两种情况讨论的单调性，关键是通过导数的零点划分单调区间． （2）先根据时，分析分母，将原不等式变形为，构造函数，利用导数分析其单调性，结合，通过二次求导对原函数的单调性，进而确定的取值范围为． 【详解】（1），的定义域为，， 当时，，在单调递增； 当时，令，则；令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）原不等式等价于， ①当时，当时，，， 所以，不合题意； ②当时，原不等式等价于， 等价于 令 则，令，， 注意到：，， 当时，，在单调递减， 所以， 所以在单调递增，所以，不合题意； 当时，，， 所以在单调递减，所以，符合题意； 当时，，所以在单调递增， 所以， 所以在单调递减，所以，符合题意； 当时，令，则， 所以，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增， 所以，不合题意． 综上所述， 11．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)证明：当时，； (3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性及最值； （2）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性证明结论； （3）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性求实数的取值范围． 【详解】（1）已知函数，求导得， 令，解得， 当时，，故，函数单调递减； 当时，，故，函数单调递增； 是极小值点，即为最小值点，最小值为． （2）因为， 所以要证明，只需证明， 只需证明， 设，求导得， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， 当时，， ， 在上单调递增，故， 又，故， ，原不等式得证． （3），不等式等价于， ， 令， 当时，，故处等号成立； 求导得， ， 令，求导得，，则， 在上单调递增， 当时，，， 存在，使得， 当时，，又， 所以当时，，不满足条件； 当时，， 在上单调递增，故，单调递增， ，满足条件； 实数的取值范围为． 12．（河南沈丘县第一高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题）已知函数 . (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减. (2). 【分析】（1）求出函数的导数，讨论的取值范围，讨论函数的单调性. （2）根据（1）问的结果，求出函数的最小值，进而求出的取值范围. 【详解】（1）. 当时，，则在上单调递增. 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）当时，在上单调递增， 则，不符合题意. 当时，，解得. 故的取值范围为. 13．（25-26高二下·天津西青·月考）已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）根据导数求解函数单调区间即可； （2）通过参数分离构造出新函数，求得新函数的最值得到参数范围即可. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，解得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）原不等式代入整理，由于， 两边同除以得. 要求“存在使不等式成立”，等价于. 设，求导得， 令，得； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此的最大值为. 即的取值范围为 14．（25-26高二下·山东泰安·月考）已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 【答案】(1)当时，无极值；当时，极大值为，无极小值. (2)5 【分析】（1）将函数 代入 中，并对 求导，讨论导函数的正负即可得到 的单调性，进一步求函数极值； （2）参变分离，可将不等式转化为 在对任意 能成立，令，则 ，求出 即可. 【详解】（1）依题意可得 ，所以 . ① 若 在 单调递增; ②若 ，令 ，则 ， 当 时， 在 单调递增， 当 时， 在 单调递减， 所以当时，无极值； 当时，存在极大值，无极小值. （2）当 时， . 因为 ，所以原不等式可化为 ， 即 在 能成立. 令 ，要使原不等式能成立，即 ， 则 ，令 . 则 ，所以 在 上单调递增. 因为 ， 所以，使 ，即 ， 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 . 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 由 ，得 ， 得到 所以 ，因为 ，所以 . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $