精品解析：北京理工大学附属中学2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科期中练习试题

2025—2026学年度第二学期高二年级数学学科期中练习 出题人 巫宇霞、孔诗韵 ，审题人 崔健 ，审核人 金永涛 ，考试时间 120 分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（ ） A. B. C. D. 2. 数列满足，则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 3. 在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. 24 B. 48 C. 36 D. 60 5. 等差数列的前n项和为，若当且仅当时最大，则下面结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为举办某场国际雪联单板滑雪及自由式滑雪世锦赛.现从4名男生、2名女生中选3人分别担任单板滑雪、自由式滑雪、雪上技巧项目的志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（ ） A. 96种 B. 124种 C. 72种 D. 84种 7. 设是等差数列，其前n项和为，则“N*，”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 以下不等式不成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 二项式的展开式中，常数项等于________；二项式系数和为________. 12. 若1，a1，a2，4成等差数列：1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值等于___． 13. 是曲线的切线，则切线的斜率__________． 14. 已知函数，若的单调递减区间为，则实数a的值为______；若在区间内单调递减，则实数a的取值范围为______. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在等差数列和等比数列中，，，． Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ求数列的前n项和． 17. 已知函数在时取得极大值 （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值点和最值. 18. 已知数列中，，点（）在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）设，证明：数列是等差数列； （3）设，求数列的前项和. 19. 设函数，曲线在点处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）判断曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积是否为定值，若是求出此定值，若不是说明理由. 20. 已知函数，其中为实数 （1）讨论的单调性； （2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若，试判断的零点个数. 21. 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质. （1）若数列具有性质，求数列的前项和； （2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； （3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二年级数学学科期中练习 出题人 巫宇霞、孔诗韵 ，审题人 崔健 ，审核人 金永涛 ，考试时间 120 分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若为偶数，则，故B不符合题意，D符合题意； 若为奇数，则，故AC均不符合题意. 2. 数列满足，则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 因此数列是一个以1为首项，为公差的等差数列，因此 3. 在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率，代入计算． 【详解】∵ 故选：C． 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. 24 B. 48 C. 36 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列部分和的性质求解. 【详解】由等比数列的性质可知， ，，成等比数列， 所以，解得. 5. 等差数列的前n项和为，若当且仅当时最大，则下面结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由仅在取最大值，推得数列递减且，再利用等差数列下标和性质，将选项转化为单一项，最后结合项的正负直接判断即可. 【详解】因为等差数列的前项和，当且仅当时取得最大值， 所以数列是递减等差数列，公差， ，（若，则，不满足“仅当时最大”） 选项A：数列递减，，故，A错误； 选项B：，由，，无法直接判断是否为0，不一定成立，B错误； 选项C：由等差数列性质：，而，故，C正确； 选项D：由等差数列性质：，D错误； 6. 为举办某场国际雪联单板滑雪及自由式滑雪世锦赛.现从4名男生、2名女生中选3人分别担任单板滑雪、自由式滑雪、雪上技巧项目的志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（ ） A. 96种 B. 124种 C. 72种 D. 84种 【答案】A 【解析】 【详解】选出的志愿者中没有女生的选人组合有种，有且只有1名女生的选人组合有种， 将选出的3名志愿者分配到3项比赛中的情况有种， 所以总计不同的选择方案有 种. 7. 设是等差数列，其前n项和为，则“N*，”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先明确等差数列前n项和与项的关系，再分析“”和“单调递增”的等价条件，最后判断两者的逻辑关系即可. 【详解】因为对任意，， 所以 对任意恒成立， 取，此时 ，满足条件，但公差，数列不是递增数列， 故充分性不成立； 若等差数列为递增数列，则公差， 取，公差，数列递增，但， ， ， 此时，不满足 对任意成立， 故必要性不成立； 综上，“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件. 8. 以下不等式不成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 针对ABC选项中的不等式构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，由此判断出不等式成立，利用特殊值判断出D选项不等式不成立. 【详解】A.令，，由，则在单调递增， 则，不等式成立 B.令，，由，当，，单调递减，当，，单调递增，则 ，不等式成立 C.令，，由，当，，单调递减，当，，单调递增， 则，不等式成立 D.令，，当时，，所以不等式不成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，属于中档题. 9. 函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得. 【详解】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，即， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在定义域内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 故选：D. 10. 已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 【详解】令则，令得，所以当时，，当时，，因此， 若公比，则，不合题意； 若公比，则 但， 即，不合题意； 因此， ，选B. 【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 二项式的展开式中，常数项等于________；二项式系数和为________. 【答案】 ①. -540 ②. 64 【解析】 【分析】 求出二项展开式通项公式，令的指数为0，得常数项的项数，从而得常数项，根据二项式系数的性质可得二项式系数和． 【详解】展开式通项公式为， 令，，∴常数项为， 展开式中二项式系数和为． 故答案为：－540；64． 【点睛】本题考查二项式定理，二项式系数的性质，解题关键是掌握二项展开式通项公式． 12. 若1，a1，a2，4成等差数列：1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值等于___． 【答案】 【解析】 【分析】 求得数列的公差，由此求得，利用等比数列的性质求得，由此求得的值. 【详解】若1，a1，a2，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1， ∴a1﹣a2＝﹣1． 又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）． ∴． 故答案为： 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比数列的性质，属于基础题. 13. 是曲线的切线，则切线的斜率__________． 【答案】 【解析】 【详解】设切点坐标为A ，直线过原点O（0,0），， 所以斜率 ，所以 ，所以斜率． 【点睛】设切点坐标，分别用两点斜率公式与导数表示斜率，并相等，求切点坐标，进而求斜率 14. 已知函数，若的单调递减区间为，则实数a的值为______；若在区间内单调递减，则实数a的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将问题转化为是方程的两根可求；将问题转化为在上恒成立，利用参变分离求出范围. 【详解】易得，， 若的单调递减区间为，则是方程的两根， 则，得，则， 令，得，故的单调递减区间为， 则符合题意； 若在区间内单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 则 ，得， 故实数a的取值范围为. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，①对； 对于②，， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，所以，， 则， 由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 故当时，，则，即在上单调递减， ，则，解得，②对； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， ，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③错； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在等差数列和等比数列中，，，． Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ求数列的前n项和． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ） 【解析】 【分析】Ⅰ利用已知条件列出方程组，求出数列的公差与公比，然后求解和的通项公式；Ⅱ化简数列的通项公式，利用分组求和求解即可． 【详解】Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q． 依题意，得 解得或舍去 所以， Ⅱ因为， 所以 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列求和的应用，考查计算能力，是基础题 17. 已知函数在时取得极大值 （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值点和最值. 【答案】（1） （2）最大值点为和2，最小值点为4，最大值为4，最小值为 【解析】 【分析】（1）先求导，依题意有，列出方程组求解即可； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出的极值和端点值，再比较得出最大值和最小值． 【小问1详解】 由得  ， 因为在时取得极大值 所以 ，解得  . 此时 ，   ， 当  时，  ，所以  在上单调递减， 当  时，  ，所以  在上单调递增， 当  时，  ，所以  在上单调递减， 所以  在  时取得极大值. 所以  . 【小问2详解】 由（1）可知，  在  上单调递减，在  上单调递增，在 上单调递减. 又因为，，， ， 所以函数在区间上的最大值，最小值为. 故函数在区间上的最大值点为和2，最小值点为4，最大值为4，最小值为. 18. 已知数列中，，点（）在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）设，证明：数列是等差数列； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式求法求解即可； （2）根据等差数列定义证明即可； （3）根据裂项相消法计算即可求解. 【小问1详解】 因为点在函数的图象上， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以是公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以，， ，， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列； 【小问3详解】 由（2）得，， 所以， 19. 设函数，曲线在点处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）判断曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积是否为定值，若是求出此定值，若不是说明理由. 【答案】（1） （2）是，8 【解析】 【分析】（1）根据切线方程及导数的几何意义列方程求即可得解； （2）求出切线方程，再求切线与直线和直线所围成的三角形面积即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以又根据切线方程可知，解得， 所以 【小问2详解】 设为曲线上任一点， 由知曲线在点处的切线方程为， 即 令得，从而得切线与直线的交点坐标为 令得，从而得切线与直线的交点坐标为 所以 故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为 20. 已知函数，其中为实数 （1）讨论的单调性； （2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若，试判断的零点个数. 【答案】（1）当时，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）求导，通过，，，讨论导数符号，即可求解； （2）由（1）通过函数单调性，确定最值即可求解； （3）由（1）得到函数的单调性，再结合零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 定义域：，. ， 在上单调递增， 在上单调递减； ， ①， 0 - 0 + 在，上单调递增，在上单调递减； ②，，因为，所以，在上单调递增； ③， + 0 - 0 + 在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）得， 如果， 在上单调递增， 当时，， 因为，所以成立； 当，在上单调递减，所以存在， ；不符合， 当，在上单调递增，在上单调递减； 所以存在， ，不符合， 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 由（1）得， 若，在，上单调递增，在上单调递减. 因为， 当， ， 因为，，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又，且在上单调递增， 所以存在，使. 又因为， 当时， ， 即，，所以. 因为在上单调递减， 上单调递增， 所以当时，. 综上，有且只有一个零点. 21. 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质. （1）若数列具有性质，求数列的前项和； （2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； （3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立. 【答案】（1）5 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，从而；（2）根据题干条件得到，故为常数列，结合求出；（3）对要证明的不等式变形，构造，研究其性质，证明出结论. 【小问1详解】 由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列的前项和； 【小问2详解】 由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，，综上：为常数列，由可得： 【小问3详解】 要证，只需证，即证，令数列，由于具有性质，即，对，，则，对，，所以具有性质，令，设的最小值为，对，令，，由于具有性质，则有，所以， 所以，所以成立 【点睛】本题数列不等式证明题目，要根据题干中条件对数列进行变形，用到了构造新数列，数论的基础知识，对学生的逻辑思维能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $