小问题大用处：高中数学小问题集中营之必修一：函数性质：专题二 函数定义域与值域相等问题

 

一、问题的提出

2015年山东高考试卷有这样一道题：已知函数的定义域和值域都是,

则        .此类问题在前几年也时有考查,解决这类与定义域、值域有关的问题,一般需要借助函数的单调性,建立方程或方程组来求解,具有较强的综合性和灵活性,本专题将对此类问题进行探讨.

 

二、问题的探源

解决函数定义域与值域相等问题,或根据定义域与值域的关系解题,一般是先确定函数在定义域上的单调性,再利用单调性构造方程（组）,然后通过解方程（组）求解,如上面的例子,解法如下：

该类问题通常有以下几种类型：

1.求参数的值；

2.确定满足条件的双参数有多少对；

3.求参数范围

 

三、问题的佐证

1.求参数的值

【例1】已知f(x)=的定义域及值域均为[1,b],求b的值.

 【解析】因为f(x)=在[1,b]上是增函数且f(1)=1

 所以f(b)=b,即=b,又b>1,所以b=3.

【例2】的定义域为 , 值域为求.

【分析】先由且,得出 或,再利用函数单调性得出,即可由是方程的两个根求出的值.

【评注】注意到在区间中这一限制条件,并由此推出 或,是解决本题的关键.

2. 确定满足条件的双参数有多少对

【例3】使的定义域与值域均为 的有序实数对有         对.

【分析】先确定在上是增函数,由此可得,即是方程的两个根.

【解析】 当时是增函数,由是奇函数可得在上是增函数,可得,所以是方程的两个根,由可得或,

又,所以有序实数对可以是,共有3对.

3.求参数范围

【例4】若存在区间,使得的定义域及值域均为,则的取值范围是        .

【分析】 由在上是增函数,可得,由此把问题转化为方程有两个不相等的非负实根.

 

四、问题的解决

1．设函数的定义域为,若满足：①在内是单调函数； ②存在,使得在上的值域为,那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数是定义域为的“成功函数”,则的取值范围为 (  )

A.          B.     

C.           D.

2．函数的定义域为,若满足：

①在内是单调函数；

②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数.

现有是对称函数,那么的取值范围是（    ）