3.1.2椭圆的简单几何性质课件+学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质 例：求平面上到两定点与的距离之和为的动点的轨迹方程。 思考：该例题用到哪些知识点？ 一、温故知新 该例题用到的知识点： 1. 椭圆的定义: 平面内与两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。 |MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|) 2.椭圆的标准方程： 3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2 当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时 椭圆的简单几何性质： 范围、对称性、顶点、扁平程度等。 平面上到两定点与的距离之和为的动点的轨迹方程：. 思考:观察右图，我们应研究椭圆的哪些几何性质？如何研究？ 4 思考：观察下图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，它有怎样的范围？用它的方程如何证明？ 椭圆 的几何性质 二、探索新知 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x 1.范围 1、范围： 椭圆 的几何性质 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b 椭圆上点的横坐标的范围是： -a≤x≤a 椭圆上点的纵坐标的范围是： -b≤y≤b 这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. 2、对称性 探究！观察椭圆的形状，它有怎样的对称性？ y x O P P2 P3 P1 可以发现椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称,还关于原点对称。 如何利用方程说明椭圆的对称性？ y x O 设椭圆上的任意一点P(x, y)，它关于x轴的对称点P1(x, -y)，则。 这说明点P1(x, -y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称. P(x, y) P2 (-x, y) P3(-x, -y) P1 (x, -y) 同理：椭圆关于y轴和原点对称。 2、对称性 8 2、对称性 椭圆关于x轴、y轴对称，也关于原点对称 . 所以。椭圆的对称轴是坐标轴，椭圆的对称中心是原点，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 思考？你认为椭圆 上哪些 点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 3、顶点 o y F1 F2 c a b A1 A2 B2 B1 10 A1、A2是椭圆与 x轴的两个交点，令 y=0，得 x=±a，因此A1(- a, 0 ), A2(a, 0) ; (-a, 0) (a, 0) (0, b) (0,-b) 同理： B1(0, -b), B2(0, b) A1 o y F1 F2 c a b A2 B2 B1 3、顶点 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点; 椭圆的长轴:线段A1A2; 椭圆的短轴：线段B1B2； a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. A1 o y F1 F2 c a b A2 B2 B1 思考？观察上图， 扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 4、离心率 e 4. 椭圆的离心率： 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 e 表示，即 (1) 离心率的取值范围： ① e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁； ② e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆； ③离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁. ④ 特例：e = 0，则 a = b，则 c = 0，两个焦点重合，椭圆变成圆. 说明： (2) 离心率对椭圆形状的影响： 因为a > c > 0，所以0 < e < 1. o y F1 F2 c a b A2 B2 B1 三、类比归纳： 焦点位置 x轴 y轴 方程 图形 范围 对称性 顶点 离心率 F1 F2 M • • x y O B2 B1 A1 A2 F1 F2 M • • x y O B2 B1 A1 A2 四、例题讲解 例1. 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴长、离心率、 焦点和顶点坐标. 解：椭圆的标准方程为： 长轴长：2a=10 短轴长：2b=8 离心率： 焦点坐标:F1(-3, 0)和F2(3, 0) ； 四个顶点坐标:A1(-5, 0), A2(5, 0) , B1(0, -4)和B2(0, 4). 例2. 比较下列每组中椭圆的形状，哪一 个更接近于圆? 为什么? 例2. 比较下列每组中椭圆的形状，哪一 个更接近于圆? 为什么? 五、小结： 焦点位置 x轴 y轴 方程 图形 范围 对称性 顶点 离心率 F1 F2 M • • x y O B2 B1 A1 A2 F1 F2 M • • x y O B2 B1 A1 A2 六、作业： 课本112页练习1，2，3，4，5题。 再见 例3:椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点， 若，则椭圆的离心率为_______。 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质（1） 导学案 一、学习目标 1.掌握椭圆的简单几何性质，能利用简单性质求椭圆方程. 2.理解椭圆简单几何性质的推导过程，体会数形结合的思想. 3.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题. 二、教学重难点 重点：椭圆的简单几何性质. 难点：椭圆的离心率. 三、教学过程 （一）温故知新 例：平面上到两定点与的距离之和为的动点的轨迹方程为 该例题用到的知识点： ①、椭圆的定义： 。 ②椭圆中的关系: 。 ③.椭圆的标准方程： 。 。 （二）探索新知 思考:观察右图，我们应研究椭圆的哪些几何性质？如何研究？ 椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、扁平程度等。 1.范围 思考：观察右图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，它有怎样的范围？用它的方程如何证明？ 结论：椭圆横坐标的范围： 。 椭圆纵坐标的范围： 。 2. 对称性 探究！观察椭圆的形状，它有怎样的对称性？ 可以发现椭圆即是 对称图形 , 又是 对称图形 . 如何利用方程说明椭圆的对称性？ 综上，椭圆关于x轴、y轴对称，也关于原点对称 . 所以，椭圆的对称轴是 ，椭圆的对称中心是 ，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 3. 顶点 思考：椭圆上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点; 长轴: 短轴： a叫做椭圆的 ; b 叫做椭圆的 ; 4. 椭圆的离心率 思考？观察上图， 扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 画图：请用绳子在同一坐标系中画出下列椭圆的图形。 椭圆的方程 长轴长 短轴长 焦距 =1 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 e 表示，即e= (1) 离心率的取值范围: (2) 离心率对椭圆形状的影响： ① e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越 ，椭圆就越 ； ② e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越 ； ③离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁. ④ 特例：e = 0，则 a = b，则 c = 0，两个焦点重合，椭圆变成 . （三）、类比归纳 类比焦点在x轴上的椭圆，归纳焦点在用轴上的椭圆的简单几何性质 标准方程 焦点位置及坐标 焦点在x轴上 ， 图形 范围 ， 对称性 关于x轴、轴对称， 关于原点对称 顶点坐标 ，， ， 长、短轴长 长轴长， 短轴长 离心率 （四）、例题讲解。 例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 例2. 比较下列每组中椭圆的形状，哪一 个更接近于圆? 为什么? 例3. .椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为_______ 五、小结 六、作业 1.椭圆与椭圆的( ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 2.若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴 三等分，则此椭圆的方程是( ) A. B. C. D. 3.已知椭圆的方程，且长轴长是短轴长的2倍，则 。 4已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是______ . 5.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为_______ 1 学科网（北京）股份有限公司 $