小问题大用处：高中数学小问题集中营之必修一：函数性质：专题四 偶函数的一个性质及应用
一、问题的提出
2015新课标卷2有下面一道题：设函数
,则使得
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
本题若把
解析式代入解不等式,会很繁琐,故可考虑利用函数单调性,脱去抽象符合“
”,转化为一般不等式求解. 可以很容易判断是偶函数,且在
是增函数,在利用函数单调性脱去中的“
”时,需要考虑
是在,还是在
,要分四种情况讨论,较繁琐,那么有没有比较简单的方法呢？
二、问题的探源
若是偶函数,很容易证明
,该结论虽然简单,但在解题中如能巧妙运用,可避免分类讨论,达到化繁为简的目的.
如上面一题的解法为：由,可知是偶函数,且在是增函数,
所以
,故选A
三、问题的佐证
1．（2009辽宁理9）已知偶函数在区间上单调递增,则满足
的x取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【分析】把转换为
,结合在区间上单调递增,可脱去“ ”.
【评注】不难看出,此题是2015新课标卷2文12的原型,考查方式与考查内容基本相同.
2.已知偶函数满足：当
时
,若
对任意
恒成立,则
的取值范围是 .
【分析】先判断
在区间上单调递增,由是偶函数,根据
,
可得
.
【解析】当时,,
,
所以偶函数在区间上单调递增,
因此,
因为,所以
,
因为,所以
,即
,所以
,即的取值范围是
.
【评注】本题既考查了函数奇偶性与单调性,又考查了不等式恒成立问题,在利用不等式恒成立参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.从而若值域为
,则不等式：
恒成立
；
恒成立
.若本题区间
改为
,则答案又该如何？
四、问题的解决
1．若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(－∞,0]上是减函数,且f(2)＝0,则使得f(x)＜0的x的取值范围是 ( )
A．(－∞,2)
B．(2,＋∞)
C．(－∞,－2)∪(2,＋∞)
D．(－2,2)
2．函数y＝f(x)是R上的偶函数,且在(－∞,0]上为增函数．若f(a)≤f(2),则实数a的取值范围是( )
A．a≤2
B．a≥－2
C．－2≤a≤2
D．a≤－2或a≥2
3.设是定义在R上的偶函数,当
时,单调递增,且对任意
,有
,若对任意的
,不等式
恒成立,则实数a的取值范
围是 .
4.若函数是定义在
上的偶函数,且在区间上是单调增函数.如果实数
满足
时,那么的取值范围是 .
5.设f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增,若f（a-2）-f（4-a2）<0,则a的取值范围为______________．
6.已知
是偶函数.
（Ⅰ）求实常数
的值,并给出函数
的单调区间（不要求证明）；
（Ⅱ）
为实常数,解关于
的不等式：
7.已知偶函数的定义域为{
,且当
时,