专题03 导数单调性的问题【7大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题03 导数单调性的问题 题型预览 题型一 函数与导函数图象之间的关系 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参) 题型三 已知函数f(x)在区间D上单调求参数 题型四 已知函数f(x)在区间D上存在单调求参数 题型五 已知函数f(x)在区间D上不单调求参数 题型六 讨论含参函数的单调性可分解 题型七 讨论含参函数的单调性不可分解 知识清单 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 【特别提醒】 (1)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件 (2)f′(x)＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f(x)为常函数 利用导数求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求出导数f′(x)的零点． (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，进而求出单调区间． 导数的符号与函数单调性的关系 (1)在某区间D上，若f′(x)＞0⇒函数f(x)在区间D上单调递增；在某区间D上，若f′(x)＜0⇒函数f(x)在区间D上单调递减． (2)若函数f(x)在区间D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在区间D上单调递减⇒f′(x)≤0．需要检验f′(x)＝0不能恒成立． (3)若函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒f′(x)＞0有解． 若函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒f′(x)＜0有解． 【特别提醒】 (1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间． (2)注意以下区别：若单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f′(x)＞0能成立． 【方法技巧】 利用函数的单调性求参数的常用方法 1 函数f(x)在区间D上单调递增⇒f′(x)≥0在区间D上恒成立 2 函数f(x)在区间D上单调递减⇒f′(x)≤0在区间D上恒成立 3 函数f(x)在区间D上不单调⇒f′(x)在区间D上存在变号零点 4 函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得f′(x0)>0成立 5 函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得f′(x0)<0成立 6 若已知f(x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令D是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围 题型突破 题型一 函数与导函数图象之间的关系 1．（25-26高二下·河北雄安·月考）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）函数，的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______． 3．（25-26高二下·天津和平·月考）将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（   ） A．B．C． D． 4．（25-26高二下·广西·月考）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参) 5．（山东聊城市2026年高考模拟试题数学（二））函数的单调递减区间为______． 6．（25-26高二下·广东广州·期中）已知的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·北京房山·期中）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)在（1）的条件下，求函数的单调递减区间. 8．（25-26高二下·河南·期中）已知函数，则的单调递减区间为______． 题型三 已知函数f(x)在区间D上单调求参数 9．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）若函数是区间上的单调函数，则实数m的值一定不是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·浙江·期中）已知在上递减，的取值范围为______． 13．（25-26高二下·广东广州·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____ 14．（25-26高二下·山东泰安·月考）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为_______． 题型四 已知函数f(x)在区间D上存在单调求参数 15．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·河南许昌·期中）函数在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·河南洛阳·月考）函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·上海·期末）若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 19．（25-26高三上·江苏南通·月考）函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 题型五 已知函数f(x)在区间D上不单调求参数 21．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上不单调，则的一个取值为___． 24．（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数． (1)若曲线在原点处的切线与直线垂直，求的零点个数． (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围． 26．（2025·陕西西安·一模）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六 讨论含参函数的单调性可分解 27．（河北石家庄市第二中学等校2025-2026学年高三下学期模拟联考数学试题）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 28．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性； 29．（25-26高二下·广东江门·月考）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性. 30．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 31．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 32．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； 题型七 讨论含参函数的单调性不可分解 33．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性. 34．（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数，． (1)求函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 35．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调递增区间； 36． （25-26高二下·全国·课后作业）求函数的单调区间． 强化训练 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）函数（其中为自然对数的底数）的导函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东湛江·月考）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   3．（25-26高二下·山东泰安·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·天津滨海新区·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·广东揭阳·月考）（多选）已知函数，下列说法正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 9．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·河南商丘·期末）（多选）设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   11．（25-26高二下·福建福州·月考）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是_______. 12．（24-25高二下·天津滨海新区·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是_____ 13．（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 14．（25-26高二下·浙江·期中）设函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 15．（云南开远市第一中学校等校2026届高三下学期4月联考数学试题）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 16．（25-26高二下·天津津南·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 17．（25-26高二下·甘肃白银·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的单调区间． 18．（25-26高三·天津·二轮复习）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 19．（25-26高二·全国·寒假作业）已知函数．讨论函数的单调性. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数单调性的问题 题型预览 题型一 函数与导函数图象之间的关系 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参) 题型三 已知函数f(x)在区间D上单调求参数 题型四 已知函数f(x)在区间D上存在单调求参数 题型五 已知函数f(x)在区间D上不单调求参数 题型六 讨论含参函数的单调性可分解 题型七 讨论含参函数的单调性不可分解 知识清单 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 【特别提醒】 (1)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件 (2)f′(x)＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f(x)为常函数 利用导数求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求出导数f′(x)的零点． (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，进而求出单调区间． 导数的符号与函数单调性的关系 (1)在某区间D上，若f′(x)＞0⇒函数f(x)在区间D上单调递增；在某区间D上，若f′(x)＜0⇒函数f(x)在区间D上单调递减． (2)若函数f(x)在区间D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在区间D上单调递减⇒f′(x)≤0．需要检验f′(x)＝0不能恒成立． (3)若函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒f′(x)＞0有解． 若函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒f′(x)＜0有解． 【特别提醒】 (1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间． (2)注意以下区别：若单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f′(x)＞0能成立． 【方法技巧】 利用函数的单调性求参数的常用方法 1 函数f(x)在区间D上单调递增⇒f′(x)≥0在区间D上恒成立 2 函数f(x)在区间D上单调递减⇒f′(x)≤0在区间D上恒成立 3 函数f(x)在区间D上不单调⇒f′(x)在区间D上存在变号零点 4 函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得f′(x0)>0成立 5 函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得f′(x0)<0成立 6 若已知f(x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令D是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围 题型突破 题型一 函数与导函数图象之间的关系 1．（25-26高二下·河北雄安·月考）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）函数，的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______． 【答案】 【详解】先由图象分析出的正负，利用符号法解不等式即可得到答案. 【分析】由函数的图象可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即当时，，当时，. 因为可化为或，解得， 所以不等式的解集为. 3．（25-26高二下·天津和平·月考）将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的两个函数图象特征，确定函数与其导函数图象即可. 【详解】对于A，在轴上方的曲线为的图象，该函数单调递减，则恒成立，的图象在轴下方，符合题意，A正确； 对于B，与轴有3个交点的曲线为的图象，另一条曲线为的图象，的零点即为的极值点，的单调性与的正负情况吻合，B正确； 对于C，平行于轴的直线为的图象，否则，不符合题意， 此时是大于0的常数，则是单调递增的一条直线，矛盾，C错误； 对于D，与轴相交的曲线为的图象，该函数单调递增，则恒成立，的图象在轴上方，符合题意，D正确. 4．（25-26高二下·广西·月考）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】由的图象可得，在轴的左侧，图象下降，递减，即有导数小于0，可排除C，D； 再由轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确． 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参) 5．（山东聊城市2026年高考模拟试题数学（二））函数的单调递减区间为______． 【答案】/ 【分析】利用函数单调性与导数的关系可得出函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. 6．（25-26高二下·广东广州·期中）已知的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由得，故的单调递减区间为 7．（25-26高二下·北京房山·期中）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)在（1）的条件下，求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）利用导数求函数的单调区间可得. 【详解】（1）因为，所以，因此函数为. 所以，，，因此切点为， 所以切线方程为，即 （2）由（1）知，，函数的定义域为，， 当时，， 所以函数的单调递减区间为. 8．（25-26高二下·河南·期中）已知函数，则的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】利用导数与函数单调性的关系求解即可. 【详解】函数的定义域为， 且，令，解得， 所以的单调递减区间为 题型三 已知函数f(x)在区间D上单调求参数 9．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）若函数是区间上的单调函数，则实数m的值一定不是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接求出的单调区间，根据条件得或或，求出的取值范围，即可求解. 【详解】因为，由，得到， 由，得到或， 所以的增区间为，减区间为，，又在区间上单调， 则或或，解得或，结合选项知，实数m的值一定不是. 10．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，当在上单调递增， 上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 所以时，在上恒成立. 11．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数单调性与导数的关系，将单调递减转化为导函数的恒成立问题，分离参数后构造新函数，通过求导判断新函数单调性，求其取值范围，进而得到参数的取值范围. 【详解】已知函数在上单调递减，等价于导数对所有恒成立. 对求导得，分离参数得对恒成立. 令，求导得对任意成立，因此在上单调递增. 则在区间上，，即在上的取值范围是. 要使对所有恒成立，只需，因此的取值范围是. 12．（24-25高二下·浙江·期中）已知在上递减，的取值范围为______． 【答案】 【分析】对函数求导使其导函数在上恒成立即可，令并求出的最小值，即可得出的取值范围. 【详解】由可得， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立； 即在上恒成立； 令，则， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，即； 所以即可，因此的取值范围为. 13．（25-26高二下·广东广州·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【详解】由函数在上单调递减， 得，， 而当时，， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 14．（25-26高二下·山东泰安·月考）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为_______． 【答案】 【详解】函数在区间上单调递增， 在上恒成立，即对任意成立， 令，则在上， 在区间上单调递减，上确界为， 不在区间内， 需满足不小于的上确界，即． 题型四 已知函数f(x)在区间D上存在单调求参数 15．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用命题的否定，变成恒成立问题，分离参数构造新函数，求解最值即可，最后再求其补集. 【详解】考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间， 则对于，恒成立， 分离参数得在上恒成立，则. 令，求导得， 当，，单调递增， 所以，所以 所以原命题成立的条件为 16．（25-26高二下·河南许昌·期中）函数在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数转化为能成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】因为（），所以. 函数在区间内存在单调递减区间，则在上有解. 由. 设，则在上单调递增， 则，可得. 函数在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是. 17．（25-26高二下·河南洛阳·月考）函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出导函数，再根据存在单调递增区间得出，使得，进而应用参数分离即可计算求解. 【详解】因为，所以， 因为函数在上存在单调递增区间， 所以，使得，所以， ，设，故需小于函数在上的上界， 因为，所以， 则，所以． 18．（25-26高二上·上海·期末）若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】问题即在有解，可分离参数转化为最值问题求解. 【详解】函数的定义域为， ，因为存在单调递减区间， 所以在有解，即在有解， 令，则， 因为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 19．（25-26高三上·江苏南通·月考）函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据题意得在区间有解，即，利用基本不等式求最值即可． 【详解】函数定义域为，， 因为函数在区间上存在单调增区间， 所以在区间有解， 即在区间有解， 所以在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等，所以． 故选：B． 20．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 题型五 已知函数f(x)在区间D上不单调求参数 21．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，在不恒大于等于零，也不恒小于等于零，而，可求解. 【详解】函数，则， 当时，， 因为函数在区间上不单调， 则在不恒大于等于零，也不恒小于等于零， 所以. 22．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：，令， 所以，所以在单调递增，且，， 又因为在上不单调，所以，解得. 23．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上不单调，则的一个取值为___． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，； 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由于函数在区间上不单调， 故，或，解得或， 故的一个取值可为0. 24．（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 25．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数． (1)若曲线在原点处的切线与直线垂直，求的零点个数． (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，由，求得，得到，结合且，即可求解； （2）假设在区间上单调，转化为或恒成立，求得的取值范围，进而得到答案. 【详解】（1）解：由函数，可得，则， 因为曲线在原点处的切线与直线垂直， 可得，即解得，所以， 又由恒成立，所以是上的增函数． 因为，所以只有1个零点． （2）解：假设在区间上单调，则或恒成立， 当，即时，在上单调递增； 当，即时，在上单调递减． 综上，若在区间上不单调，则实数的取值范围为． 26．（2025·陕西西安·一模）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在上不单调，意味着其导数在该区间内有正有负，即在内有零点，将分离参数为，通过构造函数，求与0的大小，得到的单调性，从而求出的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】，，在上不单调， 在上有变号零点， 即存在， 使得， 在上有解，在上有解， ，，， ，即，解得，在上是增函数； ，即，解得，在上是减函数. 又，，，， 在上有解，， 当时，，设，， 当，解得，得在上是增函数； 当，解得，得在上是减函数. 则在处取最小值为，在上恒成立，即在上恒成立，得到在是增函数，不满足题意，说明不满足题意，同理也不满足题意，综上可得. 故选：B 题型六 讨论含参函数的单调性可分解 27．（河北石家庄市第二中学等校2025-2026学年高三下学期模拟联考数学试题）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）分，和三种情况讨论导数的正负即可求解. 【详解】（1）， 则． 因为， 所以，得． 又， 所以的方程为，即． （2）． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 28．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）根据函数的导数与单调性的关系，通过讨论a的范围，判断函数的单调性； 【详解】（1）已知，其定义域为.求导. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 29．（25-26高二下·广东江门·月考）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）求在处的切线斜率以及点坐标，写出切线方程即可； （2）计算，分类讨论法讨论取不同值时的正负，得出函数的单调性. 【详解】（1）由，得， 则切线斜率为，又，即切点为， 所以切线方程为. （2）由， 得， 当时，， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，， 当，即时，，则函数在上单调递增； 当，即时，令得，或， 令得，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，令得，或， 令得，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 30．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，在和上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在和上递增，在上递减． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出； （2）分别对时，时，时讨论，利用导数判断可得答案. 【详解】（1）由，知 ， 所以当时，有，， 故曲线在处的切线经过，且斜率为， 所以其方程为，即． （2）当时，对有， 对，有，故在和上递增，在（）上递减； 当时，对，有，故在上递增； 当时，对，有， 对，有，故在和上递增，在上递减． 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减． 31．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）求出切点、由导数几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解； （2）利用导数工具分、、和四种情况分析导函数正负情况即可求解函数单调性. 【详解】（1）若，函数， 所以， 所以切点为，切线斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由题可得函数定义域为，， 令或， 所以当 时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，当且仅当时， 所以函数在上单调递增； 当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上：当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 32．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，对分类讨论可得函数f（x）的单调性； （2）由题意可得在区间上有两个不相等的实数根，进而利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； 【详解】（1）函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时，，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由函数的图象上存在两个点在两点处的切线的斜率都为， 可知，在上有两个不相等的实数根， 即关于x的方程在上有两个不相等的实数根， 上述方程可整理为. 则，解得或， 故实数a的取值范围为. 题型七 讨论含参函数的单调性不可分解 33．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）求导，代入计算，即可得到结果； （2）求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）当时，， 令， 当时，恒成立，∴，∴在上单调递减． 当时，有两个根分别为，， 当时，， 当，， ∴递减区间为，， 递增区间为. 综上所述：当时，在上单调递减． 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 34．（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数，． (1)求函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）应用分类讨论，利用导数研究的区间单调性，即可解得； （2）将问题化为在上恒成立，再应用导数求右侧的最值求参数范围. 【详解】（1）由已知，，， 当时，， 令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在，上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减． 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； （2）在上单调递减， 时，恒成立，即恒成立， ，而， ，， ， ，故a的取值范围是． 35．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调递增区间； 【答案】(1)当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为和； (2) 【分析】（1）求出的导函数，对一元二次方程中判别式进行分析讨论，并分析导函数的正负求解； 【详解】（1）由题，， 则， ①当时，，在上恒成立，则的单调递增区间为， ②当时，在上恒成立， 则的单调递增区间为， ③当时，时，， 时，， 时，， 所以的单调递增区间为和， 综上：当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为和； 36．（25-26高二下·全国·课后作业）求函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】先对函数求导，然后分三种情况讨论求解． 【详解】的定义域为．． 当时，，故在上单调递增． 当时，，故在上单调递减． 当时，令，解得． 则当时，时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上知，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递减． 强化训练 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）函数（其中为自然对数的底数）的导函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求两次导判断单调性即可 【详解】， ， 令，， 令，得，故在上单调递增， 令，得或，故在上单调递减， 由此可排除AD， 又因为，所以过原点，故排除C，选B. 2．（24-25高二下·广东湛江·月考）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据导函数图象判断原函数单调性，进而结合图象直接选择即可. 【详解】由的图象可知，当时，，则单调递增； 当时，，单调递减；当，，单调递增； 满足该函数单调性的，只有选项D对应的图象. 故选：D. 3．（25-26高二下·山东泰安·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 由， 所以该函数的单调递减区间是. 4．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立， 即对恒成立，而在上递增，所以， 所以实数的取值范围是. 5．（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，a． 6．（25-26高二上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导并利用导函数符号以及方程有解可求得a的取值范围. 【详解】易知，依题意可得在上有解， 即方程在上有解，显然当时，， 因此实数a的取值范围为. 7．（24-25高二下·天津滨海新区·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出导函数，检验时的情况；当时，令，只需或.代入求解不等式，即可得出答案. 【详解】由已知可得定义域为， 当时，解可得，不满足定义域； 当时，令， 要使函数在区间内存在单调递减区间， 只需满足或. 由可得，，此时有； 由可得，，此时有. 所以，. 综上所述，. 故选：A. 8．（25-26高二下·广东揭阳·月考）（多选）已知函数，下列说法正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】ABD 【分析】求导后利用导数正负即可判断原函数单调性. 【详解】， 当时，，当时，， 故在区间、上单调递增，在上单调递减， 故A、B、D正确，C错误. 9．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 10．（25-26高二上·河南商丘·期末）（多选）设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】结合原函数与导函数的关系依次判断即可． 【详解】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确； 对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误. 故选：ABC. 11．（25-26高二下·福建福州·月考）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】通过恒成立，分离参数求最值即可求解. 【详解】的定义域为， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数， 所以当时取得最大值9， 所以，即的取值范围是. 12．（24-25高二下·天津滨海新区·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】先对函数求导，根据函数单调性与导数的关系，结合函数在上不单调这一条件，确定的取值范围. 【详解】已知，其定义域为. 对求导可得：. 令，即，因为，所以，则，解得. 当时，，，，所以，函数在上单调递减； 当时，，，，所以，函数在上单调递增. 因为函数在上不单调，所以. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意可知：存在区间，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】， 由题意可知：在区间有解，整理得， 即不等式 在区间 内有解，因为 ，所以 ， 要使 在 内有解，需 小于 的上界，即 ， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（25-26高二下·浙江·期中）设函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可； (2)将问题转化为在恒成立即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以切点是， 又得， 所以切线是. （2）若函数在区间上单调递增，则在恒成立， 由于的对称轴为，则在上单调递减，在上单调递增； 所以，所以 即的范围为， 15．（云南开远市第一中学校等校2026届高三下学期4月联考数学试题）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减． 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线垂直时斜率的关系求解； （2）分类讨论，利用导数求函数的单调区间. 【详解】（1），则， 因为，所以，得． 又， 所以的方程为，即． （2）． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得或，令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减． 16．（25-26高二下·天津津南·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）先代入确定函数，再求导确定切线斜率，最后结合点斜式方程即可写出切线方程； （2）先对函数求导，再根据的范围讨论导数的正负，从而确定单调区间. 【详解】（1）当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. （2）因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 17．（25-26高二下·甘肃白银·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的单调区间． 【答案】(1) (2)若，单调递增区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为． 【分析】（1）利用切点和导数几何意义得到切线斜率，再利用直线的点斜式方程得到切线方程； （2）分情况讨论导函数在定义域内不同区间的正负，进而确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，函数为，定义域为． 因为，所以切点为． 求导得， 在处，，即切线斜率为． 切线方程为． （2）当时，函数为，， ． 令可得或， 当时，恒成立（仅处为零），因此在上单调递增． 当时，时或；时． 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为． 当时，时，或；时，． 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上，当时， 若，单调递增区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为． 18．（25-26高三·天津·二轮复习）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程； （2）利用导数，分类讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，，定义域为 ，则， 又， 则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 令，即，解得：， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 令，解得， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 19．（25-26高二·全国·寒假作业）已知函数．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，对m进行分类讨论即可得结果. 【详解】已知，函数定义域为R， 可得， 当时，，所以在R上单调递减； 当时，因为是开口向上的二次函数，且， 若，即时，，所以；所以在R上单调递减； 若，即时，此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，因为是开口向下的二次函数，且， 此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为增函数， 在上为减函数； 综上所述，当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在和上为增函数， 在上为减函数. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $