专题02 导数的几何意义(切线问题)【5大题型】2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题02 导数的几何意义(切线问题) 题型预览 题型一 求曲线切线的斜率（倾斜角） 题型二 求在曲线上一点处的切线方程 题型三 求过一点的切线方程 题型四 切线中平行垂直的问题 题型五 公切线的问题 知识清单 曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 题型突破 题型一 求曲线切线的斜率（倾斜角） 1．（25-26高二下·上海松江·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为______． 2．（25-26高二下·天津西青·月考）函数的图象如图所示，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东江门·月考）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（   ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 4．（25-26高二下·山东泰安·月考）曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26高二下·江苏苏州·月考）函数图像如图所示，下列排序正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求在曲线上一点处的切线方程 7．（25-26高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为__________. 8．（2026·云南·模拟预测）若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 9．（25-26高二下·陕西渭南·月考）已知函数． (1)利用导数的定义求； (2)求在处的切线方程． 10．（2026·湖南·三模）已知，则曲线在点处的切线方程为______． 11．（2026·黑龙江·一模）曲线在处的切线方程为________． 12．（25-26高二下·全国·课后作业）直线是曲线的一条切线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 题型三 求过一点的切线方程 13．（25-26高三上·山西长治·开学考试）过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 14．（24-25高三下·上海浦东新·开学考试）已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为_____. 15．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（24-25高二下·吉林白山·月考）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 18．（24-25高二下·河南·月考）已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 题型四 切线中平行垂直的问题 19．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 20．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 21．（24-25高二下·江西·期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 23．（2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为_________. 24．（24-25高二上·陕西西安·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 题型五 公切线的问题 25．（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 26．（2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 27．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 28．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 29．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_____． 强化训练 1．（25-26高二下·广东东莞·期中）如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（    ） A． B．2 C．0 D．3 2．（25-26高二下·河南·期中）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高二下·河北石家庄·月考）曲线上的点到直线的最短距离为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·西藏拉萨·二模）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 5．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁沈阳·二模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C．曲线的切线的倾斜角取值范围是 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 7．（25-26高二上·河北张家口·期末）（多选）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（    ） A．0 B． C． D．2 8．（25-26高二下·安徽·期中）是函数与的公切线，则______. 9．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则______. 10．（25-26高二下·上海浦东新·月考）设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________. 11．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知曲线，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线？ (2)曲线过点的切线方程. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，和直线，且． (1)求的值； (2)是否存在实数，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 13．（25-26高二上·湖南岳阳·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数的几何意义(切线问题) 题型预览 题型一 求曲线切线的斜率（倾斜角） 题型二 求在曲线上一点处的切线方程 题型三 求过一点的切线方程 题型四 切线中平行垂直的问题 题型五 公切线的问题 知识清单 曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 题型突破 题型一 求曲线切线的斜率（倾斜角） 1．（25-26高二下·上海松江·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为______． 【答案】 【详解】注意到， 则， 从而在的斜率为：. 2．（25-26高二下·天津西青·月考）函数的图象如图所示，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义并结合图象判断求解即可. 【详解】导数的几何意义是函数在处切线的斜率； ，表示点和连线的斜率. 由图可知，单调递增，且增长越来越平缓，说明是递减的（切线斜率随增大逐渐变小）， 所有斜率都为正，因此. 3．（25-26高二下·广东江门·月考）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（   ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为切线方程为，故且， 故. 4．（25-26高二下·山东泰安·月考）曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题可知， 且曲线在点处的切线方程为，即， 所以，所以 5．（25-26高二下·江苏苏州·月考）函数图像如图所示，下列排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图易知，单调递减，所以，当x逐渐变大时， 在x处的切线倾斜角逐渐变大，即切线斜率逐渐变大，即逐渐变大， 所以当时，， 综上，． 6．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为点，为点，比较A点切线的斜率、B点切线的斜率、直线AB的斜率即可判断． 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数， 所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 题型二 求在曲线上一点处的切线方程 7．（25-26高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】结合导数，利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题可得,由于,， 所以曲线在处的切线方程为，即 8．（2026·云南·模拟预测）若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求出，进而求出切点坐标，代入直线方程求解即可. 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 9．（25-26高二下·陕西渭南·月考）已知函数． (1)利用导数的定义求； (2)求在处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，代入，求出极限值，即求出； （2）由导数的几何意义可知，在处的切线斜率即为，由点斜式方程求出切线方程. 【详解】（1）根据导数的定义，函数在处的导数为： . 当时，， ， 即， 化简整理得， 所以， 化简得. （2）由切线的点斜式方程：． 由（1）知，当时，，，代入得， 化简整理得切线方程为：. 10．（2026·湖南·三模）已知，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，再利用点斜式方程求出切线方程即可. 【详解】由，则，所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 11．（2026·黑龙江·一模）曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，代入即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程. 【详解】函数，求导得，则，切点， 由点斜式得切线方程为，整理得． 故答案为：. 12．（25-26高二下·全国·课后作业）直线是曲线的一条切线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线斜率，求出切点坐标，代入切线方程，即可得出结果. 【详解】因为的导数，所以令，得，所以切点为． 代入直线，得． 故选：C 题型三 求过一点的切线方程 13．（25-26高三上·山西长治·开学考试）过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 14．（24-25高三下·上海浦东新·开学考试）已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为_____. 【答案】 【分析】假设切点，然后利用导数求得斜率表示出切线方程代点计算即可. 【详解】设切点坐标为，则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，解得，所以切线方程为. 故答案为： 15．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 16．（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 17．（24-25高二下·吉林白山·月考）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线所过的点求出切点，即可得解. 【详解】（1）， ， 切线方程为， 即； （2）设切点为， 则， 切线方程为， 切线过点， ， ， ， 或， 切线方程为或． 18．（24-25高二下·河南·月考）已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得，根据题意，得到，且 ，列出方程组，即可求得的值，得到答案； （2）由（1）得到，求得，设切点为，得到切线方程为，将点代入切线方程，求得的值，进而求得切线方程. 【详解】（1）解：由函数，其中，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得，且，即， 解得. （2）解：由（1）知，，可得， 设切点为，则切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 解得或，所以切点为或， 此时，曲线过点的切线方程为或. 题型四 切线中平行垂直的问题 19．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）设公共点为，由求得后，再由求得． 【详解】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2），，又， 设公共点为，由题意，解得，则， 从而，所以． 20．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再求切线方程； （2）根据（1）的结果，再根据两直线平行的几何关系，列式求解. 【详解】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 21．（24-25高二下·江西·期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解. 【详解】由得，故， 由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以， 故选：C 22．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】求导，与直线垂直，求出的值. 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 23．（2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为_________. 【答案】(答案不唯一) 【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，，再根据函数的取值，即可求解. 【详解】，由题意可知，， 即，所以，得，，， 或，得，，， 所以，，, 所以的一个取值为. 故答案为：(答案不唯一) 24．（24-25高二上·陕西西安·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解. 【详解】因为，所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线的斜率等于3， 所以直线的斜率等于， 即，解得， 故选:D. 题型五 公切线的问题 25．（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【答案】/ 【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消元求解即可. 【详解】设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 因为是公切线，所以，解得 所以 所以在轴上的截距为 26．（2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 【答案】/ 【分析】首先设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求切点坐标和切线方程，再设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求实数的值. 【详解】，设直线l与曲线切于点， 则，得，所以直线l的方程为， 设直线l与曲线切于点，则， 所以点在直线l上，故，得. 故答案为： 27．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 【答案】 【分析】根据题意利用导数的几何意义求出切线方程表达式，令，可知有两个不相等的实数根，且互为倒数，即可得，由可求出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意得存在实数，使得在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 由，即， 又由，即， 令，则题目转化为有两个不相等的实数根，且互为倒数， 设两根分别为，， 则由得， 化简得， 所以，即， 因为，所以， 故的取值范围为. 故答案为： 28．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以. 故答案为：2 29．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得两条切线方程，然后根据斜率之间的关系可知，然后根据求得，最后可知结果. 【详解】设切线对应切点为，切线方程为， 将代入，解得，，从而． 设与曲线的切点为， ，解得，① 切线方程为， 将代入，得，② 将①代入②，得， 令，则， 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 若，由，，则． 而在上单调递减，故； 若，因在区间上单调递增，且， 所以，与题设矛盾，故不可能． 综上，. 故选：B． 30．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_____． 【答案】/0.5 【分析】首先根据题意求出切线方程，然后对求导，根据斜率值和切点的函数值求出的值. 【详解】因为，所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为，设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 强化训练 1．（25-26高二下·广东东莞·期中）如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（    ） A． B．2 C．0 D．3 【答案】B 【详解】根据图像得，点，切线斜率为，，则. 2．（25-26高二下·河南·期中）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义得到切线方程为，设曲线的切点为，求导得，解出得到切点，再代入得到即可． 【详解】解：由题知，，，∴， ∴曲线在处的切线方程为，即． ∵，∴， 设直线与曲线的切点为， 则，得，∴， 又，∴． 3．（25-26高二下·河北石家庄·月考）曲线上的点到直线的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】曲线上的点到直线的最短距离为曲线上平行于直线的切线与该直线间的距离， 即相应切点到直线的距离. 由，得，所以直线的斜率为. 由，得. 令，可得， 又，所以曲线上平行于直线的切线相应的切点为. 因为点到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最短距离为. 4．（2026·西藏拉萨·二模）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】求出可得函数在点处的切线的斜率为，再利用两斜率相等求出答案. 【详解】由题意知直线的斜率为 又，则 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以 解得. 5．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别表示曲线在点处的切线的斜率， 因为， 所以表示经过两点的直线的斜率， 由数形结合思想可知：. 6．（2026·辽宁沈阳·二模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C．曲线的切线的倾斜角取值范围是 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ABD 【分析】对于选项A，先求处的导数值即切线斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为的性质进行判断；对于选项B，先令等于直线的斜率，求出切点，再计算切点到直线的距离；对于选项C，先分析的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质确定倾斜角的范围；对于选项D，设切点坐标，写出切线方程，将点代入得到关于切点横坐标的方程，转化为该方程有三个不同实根的问题，通过研究对应函数的单调性与极值来确定的范围 【详解】对A，处切线斜率，直线的斜率为，两斜率乘积 ，故两直线垂直，A正确 对B，点到直线的最小距离，出现在曲线切线与平行时，即切线斜率等于， 令，得，整理为，函数在上单调递增，仅有解，对应切点为 切点到的距离为：​，即最小距离为​，B正确 对C，设切线倾斜角为，则 令​，求导得​，时，单调递减； 时，单调递增， 所以在处取最小值，故 而​，因此倾斜角范围不是，C错误 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 7．（25-26高二上·河北张家口·期末）（多选）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】AB 【分析】利用导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程为，再联立方程并结合二次方程的根求解即可. 【详解】因为的导数为， 所以曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即． 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以联立得：①有且只有一解， 当时，①式变为，则，方程①有且只有一解，符合题意; 当时，则，，解得. 综上，或. 8．（25-26高二下·安徽·期中）是函数与的公切线，则______. 【答案】 【分析】设切点坐标，由导数的几何意义进行求解． 【详解】设的切点为， ∴，∴， ∴切点为， ∴， 设的切点为， 由，得， 得切点为，则， 得， ∴. 9．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则______. 【答案】1 【分析】求得导函数，得为切线斜率，由切线与直线平行列方程求解即可． 【详解】由题意知，直线的斜率为3. 又，则. 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以，解得. 10．（25-26高二下·上海浦东新·月考）设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________. 【答案】 【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值. 【详解】令，即，解得或. 由已知，，所以，代入曲线方程求得，故切点为， 斜率为的直线方程为， 将两条平行直线的方程化为一般式得， 故两平行直线的距离为，所以的最小值为. 11．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知曲线，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线？ (2)曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用导数的定义求出切线斜率，即可得出切点坐标； （2）设切点为，求出切线方程代入点，可解得，即可得解. 【详解】（1）. 设切点为，则，解得，， 切点坐标为. 即曲线上点的切线平行于直线. （2）点不在曲线上，设所求切线的切点为， 则切线的斜率，故所求的切线方程为. 将及代入上式得，解得或， 所以切点为或. 从而所求切线方程为或， 即切线方程为或. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，和直线，且． (1)求的值； (2)是否存在实数，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】第（1）问先求导，代入已知导数值列方程解出参数； 第（2）问先分析直线恒过的定点，设出切点利用导数求出直线与一条曲线的切线方程，再验证这些切线是否为另一条曲线的切线，从而确定公切线及对应的参数. 【详解】（1）由已知得，因为，所以，所以． （2）存在．理由如下： 由已知得，直线恒过定点，若直线是曲线的切线，则设切点为． 因为，所以切线方程为，将代入切线方程， 解得． 当时，切线方程为． 当时，切线方程为． 由（1）知，． ①由得，解得或． 在处，曲线的切线方程为； 在处，曲线的切线方程为， 所以曲线与的公切线是直线． ②由得，解得或． 在处，曲线的切线方程为； 在处，曲线的切线方程为， 所以直线不是曲线与的公切线． 综上所述，曲线与的公切线是直线，此时． 13．（25-26高二上·湖南岳阳·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解切线方程； （2）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干已知条件列出方程即可求解. 【详解】（1），则， 则函数在点处的切线为，即. （2）， 在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为，则， 故切线为，即， 即，解得. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $